Theorem dmtpos 6400

Description: The domain of tpos F when dom F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	|- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4746	. . . . 5 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		ssel 3218	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
3	1, 2	mtoi 668	. . . 4 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> -. (/) e. dom F )
4		df-rel 4725	. . . 4 |- ( Rel dom F <-> dom F C_ ( _V X. _V ) )
5		reldmtpos 6397	. . . 4 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	. . 3 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
7		relcnv 5105	. . 3 |- Rel `' dom F
8	6, 7	jctir 313	. 2 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) )
9		vex 2802	. . . . . . 7 |- x e. _V
10		vex 2802	. . . . . . 7 |- y e. _V
11		vex 2802	. . . . . . 7 |- z e. _V
12		brtposg 6398	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1371	. . . . . 6 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z )
14	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
15	14	exbidv 1871	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( E. z <. x , y >.tpos F z <-> E. z <. y , x >. F z ) )
16	9, 10	opex 4314	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
17	16	eldm 4919	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> E. z <. x , y >.tpos F z )
18	9, 10	opelcnv 4903	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> <. y , x >. e. dom F )
19	10, 9	opex 4314	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
20	19	eldm 4919	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
21	18, 20	bitri 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
22	15, 17, 21	3bitr4g 223	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom F ) )
23	22	eqrelrdv2 4817	. 2 |- ( ( ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) /\ Rel dom F ) -> dom tpos F = `' dom F )
24	8, 23	mpancom 422	1 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   (/)c0 3491   <.cop 3669   class class class wbr 4082   X. cxp 4716   `'ccnv 4717   dom cdm 4718   Rel wrel 4723  tpos ctpos 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-tpos 6389

This theorem is referenced by:  rntpos  6401  dftpos2  6405  dftpos3  6406  tposfn2  6410