Theorem dmtpos 6421

Description: The domain of tpos F when dom F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	|- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4753	. . . . 5 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		ssel 3221	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
3	1, 2	mtoi 670	. . . 4 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> -. (/) e. dom F )
4		df-rel 4732	. . . 4 |- ( Rel dom F <-> dom F C_ ( _V X. _V ) )
5		reldmtpos 6418	. . . 4 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	. . 3 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
7		relcnv 5114	. . 3 |- Rel `' dom F
8	6, 7	jctir 313	. 2 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) )
9		vex 2805	. . . . . . 7 |- x e. _V
10		vex 2805	. . . . . . 7 |- y e. _V
11		vex 2805	. . . . . . 7 |- z e. _V
12		brtposg 6419	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1373	. . . . . 6 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z )
14	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
15	14	exbidv 1873	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( E. z <. x , y >.tpos F z <-> E. z <. y , x >. F z ) )
16	9, 10	opex 4321	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
17	16	eldm 4928	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> E. z <. x , y >.tpos F z )
18	9, 10	opelcnv 4912	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> <. y , x >. e. dom F )
19	10, 9	opex 4321	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
20	19	eldm 4928	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
21	18, 20	bitri 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
22	15, 17, 21	3bitr4g 223	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom F ) )
23	22	eqrelrdv2 4825	. 2 |- ( ( ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) /\ Rel dom F ) -> dom tpos F = `' dom F )
24	8, 23	mpancom 422	1 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   (/)c0 3494   <.cop 3672   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   dom cdm 4725   Rel wrel 4730  tpos ctpos 6409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-tpos 6410

This theorem is referenced by:  rntpos  6422  dftpos2  6426  dftpos3  6427  tposfn2  6431