ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmtpos Unicode version

Theorem dmtpos 6003
Description: The domain of tpos  F when  dom  F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmtpos  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )

Proof of Theorem dmtpos
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4455 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
2 ssel 3017 . . . . 5  |-  ( dom 
F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  ( (/) 
e.  dom  F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
31, 2mtoi 625 . . . 4  |-  ( dom 
F  C_  ( _V  X.  _V )  ->  -.  (/) 
e.  dom  F )
4 df-rel 4435 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  <->  dom  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
5 reldmtpos 6000 . . . 4  |-  ( Rel 
dom tpos  F  <->  -.  (/)  e.  dom  F )
63, 4, 53imtr4i 199 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
7 relcnv 4797 . . 3  |-  Rel  `' dom  F
86, 7jctir 306 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel 
dom tpos  F  /\  Rel  `' dom  F ) )
9 vex 2622 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
10 vex 2622 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
11 vex 2622 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
12 brtposg 6001 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( <. x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
139, 10, 11, 12mp3an 1273 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z )
1413a1i 9 . . . . 5  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
1514exbidv 1753 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( E. z <. x ,  y
>.tpos  F z  <->  E. z <. y ,  x >. F z ) )
169, 10opex 4047 . . . . 5  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1716eldm 4621 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  dom tpos  F  <->  E. z <. x ,  y >.tpos  F z )
189, 10opelcnv 4606 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom  F  <->  <. y ,  x >.  e.  dom  F )
1910, 9opex 4047 . . . . . 6  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
2019eldm 4621 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
dom  F  <->  E. z <. y ,  x >. F z )
2118, 20bitri 182 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' dom  F  <->  E. z <. y ,  x >. F z )
2215, 17, 213bitr4g 221 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  dom tpos  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  `' dom  F
) )
2322eqrelrdv2 4525 . 2  |-  ( ( ( Rel  dom tpos  F  /\  Rel  `' dom  F )  /\  Rel  dom  F )  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
248, 23mpancom 413 1  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    C_ wss 2997   (/)c0 3284   <.cop 3444   class class class wbr 3837    X. cxp 4426   `'ccnv 4427   dom cdm 4428   Rel wrel 4433  tpos ctpos 5991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-fv 5010  df-tpos 5992
This theorem is referenced by:  rntpos  6004  dftpos2  6008  dftpos3  6009  tposfn2  6013
  Copyright terms: Public domain W3C validator