Theorem dmtpos 6107

Description: The domain of tpos F when dom F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	|- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4527	. . . . 5 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		ssel 3057	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
3	1, 2	mtoi 636	. . . 4 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> -. (/) e. dom F )
4		df-rel 4506	. . . 4 |- ( Rel dom F <-> dom F C_ ( _V X. _V ) )
5		reldmtpos 6104	. . . 4 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )
6	3, 4, 5	3imtr4i 200	. . 3 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
7		relcnv 4875	. . 3 |- Rel `' dom F
8	6, 7	jctir 309	. 2 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) )
9		vex 2660	. . . . . . 7 |- x e. _V
10		vex 2660	. . . . . . 7 |- y e. _V
11		vex 2660	. . . . . . 7 |- z e. _V
12		brtposg 6105	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1298	. . . . . 6 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z )
14	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
15	14	exbidv 1779	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( E. z <. x , y >.tpos F z <-> E. z <. y , x >. F z ) )
16	9, 10	opex 4111	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
17	16	eldm 4696	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> E. z <. x , y >.tpos F z )
18	9, 10	opelcnv 4681	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> <. y , x >. e. dom F )
19	10, 9	opex 4111	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
20	19	eldm 4696	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
21	18, 20	bitri 183	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
22	15, 17, 21	3bitr4g 222	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom F ) )
23	22	eqrelrdv2 4598	. 2 |- ( ( ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) /\ Rel dom F ) -> dom tpos F = `' dom F )
24	8, 23	mpancom 416	1 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   _Vcvv 2657   C_ wss 3037   (/)c0 3329   <.cop 3496   class class class wbr 3895   X. cxp 4497   `'ccnv 4498   dom cdm 4499   Rel wrel 4504  tpos ctpos 6095

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-fv 5089  df-tpos 6096

This theorem is referenced by:  rntpos  6108  dftpos2  6112  dftpos3  6113  tposfn2  6117