Theorem dmtpos 6342

Description: The domain of tpos F when dom F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	|- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4703	. . . . 5 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		ssel 3187	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
3	1, 2	mtoi 666	. . . 4 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> -. (/) e. dom F )
4		df-rel 4682	. . . 4 |- ( Rel dom F <-> dom F C_ ( _V X. _V ) )
5		reldmtpos 6339	. . . 4 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	. . 3 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
7		relcnv 5060	. . 3 |- Rel `' dom F
8	6, 7	jctir 313	. 2 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) )
9		vex 2775	. . . . . . 7 |- x e. _V
10		vex 2775	. . . . . . 7 |- y e. _V
11		vex 2775	. . . . . . 7 |- z e. _V
12		brtposg 6340	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1350	. . . . . 6 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z )
14	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
15	14	exbidv 1848	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( E. z <. x , y >.tpos F z <-> E. z <. y , x >. F z ) )
16	9, 10	opex 4273	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
17	16	eldm 4875	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> E. z <. x , y >.tpos F z )
18	9, 10	opelcnv 4860	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> <. y , x >. e. dom F )
19	10, 9	opex 4273	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
20	19	eldm 4875	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
21	18, 20	bitri 184	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
22	15, 17, 21	3bitr4g 223	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom F ) )
23	22	eqrelrdv2 4774	. 2 |- ( ( ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) /\ Rel dom F ) -> dom tpos F = `' dom F )
24	8, 23	mpancom 422	1 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   (/)c0 3460   <.cop 3636   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   `'ccnv 4674   dom cdm 4675   Rel wrel 4680  tpos ctpos 6330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-tpos 6331

This theorem is referenced by:  rntpos  6343  dftpos2  6347  dftpos3  6348  tposfn2  6352