Theorem xpiindim 4766

Description: Distributive law for cross product over indexed intersection. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpiindim	|- ( E. y y e. A -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, C, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem xpiindim

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4737	. . . . . 6 |- Rel ( C X. B )
2	1	rgenw 2532	. . . . 5 |- A. x e. A Rel ( C X. B )
3		r19.2m 3511	. . . . 5 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A Rel ( C X. B ) ) -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
5		reliin 4750	. . . 4 |- ( E. x e. A Rel ( C X. B ) -> Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( E. y y e. A -> Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) )
7		relxp 4737	. . 3 |- Rel ( C X. |^|_ x e. A B )
8	6, 7	jctil 312	. 2 |- ( E. y y e. A -> ( Rel ( C X. |^|_ x e. A B ) /\ Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) ) )
9		eleq1w 2238	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
10	9	cbvexv 1918	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
11		r19.28mv 3517	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) ) )
12	10, 11	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( E. y y e. A -> ( A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) ) )
13	12	bicomd 141	. . . . 5 |- ( E. y y e. A -> ( ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) <-> A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) ) )
14		eliin 3893	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( z e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A z e. B ) )
15	14	elv 2743	. . . . . 6 |- ( z e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A z e. B )
16	15	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) )
17		opelxp 4658	. . . . . 6 |- ( <. w , z >. e. ( C X. B ) <-> ( w e. C /\ z e. B ) )
18	17	ralbii 2483	. . . . 5 |- ( A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) <-> A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) )
19	13, 16, 18	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> ( ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) ) )
20		opelxp 4658	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. ( C X. |^|_ x e. A B ) <-> ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) )
21		vex 2742	. . . . . 6 |- w e. _V
22		vex 2742	. . . . . 6 |- z e. _V
23	21, 22	opex 4231	. . . . 5 |- <. w , z >. e. _V
24		eliin 3893	. . . . 5 |- ( <. w , z >. e. _V -> ( <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) )
26	19, 20, 25	3bitr4g 223	. . 3 |- ( E. y y e. A -> ( <. w , z >. e. ( C X. |^|_ x e. A B ) <-> <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) ) )
27	26	eqrelrdv2 4727	. 2 |- ( ( ( Rel ( C X. |^|_ x e. A B ) /\ Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) ) /\ E. y y e. A ) -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )
28	8, 27	mpancom 422	1 |- ( E. y y e. A -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   <.cop 3597   |^|_ciin 3889   X. cxp 4626   Rel wrel 4633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-iin 3891  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635

This theorem is referenced by:  xpriindim  4767