Theorem xpiindim 4741

Description: Distributive law for cross product over indexed intersection. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpiindim	|- ( E. y y e. A -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, C, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem xpiindim

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4713	. . . . . 6 |- Rel ( C X. B )
2	1	rgenw 2521	. . . . 5 |- A. x e. A Rel ( C X. B )
3		r19.2m 3495	. . . . 5 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A Rel ( C X. B ) ) -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
4	2, 3	mpan2 422	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
5		reliin 4726	. . . 4 |- ( E. x e. A Rel ( C X. B ) -> Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( E. y y e. A -> Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) )
7		relxp 4713	. . 3 |- Rel ( C X. |^|_ x e. A B )
8	6, 7	jctil 310	. 2 |- ( E. y y e. A -> ( Rel ( C X. |^|_ x e. A B ) /\ Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) ) )
9		eleq1w 2227	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
10	9	cbvexv 1906	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
11		r19.28mv 3501	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) ) )
12	10, 11	sylbir 134	. . . . . 6 |- ( E. y y e. A -> ( A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) ) )
13	12	bicomd 140	. . . . 5 |- ( E. y y e. A -> ( ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) <-> A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) ) )
14		eliin 3871	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( z e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A z e. B ) )
15	14	elv 2730	. . . . . 6 |- ( z e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A z e. B )
16	15	anbi2i 453	. . . . 5 |- ( ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) )
17		opelxp 4634	. . . . . 6 |- ( <. w , z >. e. ( C X. B ) <-> ( w e. C /\ z e. B ) )
18	17	ralbii 2472	. . . . 5 |- ( A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) <-> A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) )
19	13, 16, 18	3bitr4g 222	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> ( ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) ) )
20		opelxp 4634	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. ( C X. |^|_ x e. A B ) <-> ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) )
21		vex 2729	. . . . . 6 |- w e. _V
22		vex 2729	. . . . . 6 |- z e. _V
23	21, 22	opex 4207	. . . . 5 |- <. w , z >. e. _V
24		eliin 3871	. . . . 5 |- ( <. w , z >. e. _V -> ( <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) )
26	19, 20, 25	3bitr4g 222	. . 3 |- ( E. y y e. A -> ( <. w , z >. e. ( C X. |^|_ x e. A B ) <-> <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) ) )
27	26	eqrelrdv2 4703	. 2 |- ( ( ( Rel ( C X. |^|_ x e. A B ) /\ Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) ) /\ E. y y e. A ) -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )
28	8, 27	mpancom 419	1 |- ( E. y y e. A -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   <.cop 3579   |^|_ciin 3867   X. cxp 4602   Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-iin 3869  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611

This theorem is referenced by:  xpriindim  4742