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Theorem xpiindim 4561
Description: Distributive law for cross product over indexed intersection. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
xpiindim  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  ( C  X.  |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  ( C  X.  B
) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, C, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem xpiindim
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4535 . . . . . 6  |-  Rel  ( C  X.  B )
21rgenw 2430 . . . . 5  |-  A. x  e.  A  Rel  ( C  X.  B )
3 eleq1 2150 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
43cbvexv 1843 . . . . . 6  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. y  y  e.  A
)
5 r19.2m 3365 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  Rel  ( C  X.  B ) )  ->  E. x  e.  A  Rel  ( C  X.  B
) )
64, 5sylanbr 279 . . . . 5  |-  ( ( E. y  y  e.  A  /\  A. x  e.  A  Rel  ( C  X.  B ) )  ->  E. x  e.  A  Rel  ( C  X.  B
) )
72, 6mpan2 416 . . . 4  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  E. x  e.  A  Rel  ( C  X.  B
) )
8 reliin 4547 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  Rel  ( C  X.  B
)  ->  Rel  |^|_ x  e.  A  ( C  X.  B ) )
97, 8syl 14 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  Rel  |^|_ x  e.  A  ( C  X.  B
) )
10 relxp 4535 . . 3  |-  Rel  ( C  X.  |^|_ x  e.  A  B )
119, 10jctil 305 . 2  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  ( Rel  ( C  X.  |^|_ x  e.  A  B )  /\  Rel  |^|_
x  e.  A  ( C  X.  B ) ) )
12 r19.28mv 3370 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( w  e.  C  /\  z  e.  B )  <->  ( w  e.  C  /\  A. x  e.  A  z  e.  B ) ) )
134, 12sylbir 133 . . . . . 6  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( w  e.  C  /\  z  e.  B )  <->  ( w  e.  C  /\  A. x  e.  A  z  e.  B ) ) )
1413bicomd 139 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  ( ( w  e.  C  /\  A. x  e.  A  z  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( w  e.  C  /\  z  e.  B ) ) )
15 vex 2622 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
16 eliin 3730 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  |^|_ x  e.  A  B  <->  A. x  e.  A  z  e.  B ) )
1715, 16ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( z  e.  |^|_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  z  e.  B )
1817anbi2i 445 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  C  /\  z  e.  |^|_ x  e.  A  B )  <->  ( w  e.  C  /\  A. x  e.  A  z  e.  B ) )
19 opelxp 4457 . . . . . 6  |-  ( <.
w ,  z >.  e.  ( C  X.  B
)  <->  ( w  e.  C  /\  z  e.  B ) )
2019ralbii 2384 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  <. w ,  z >.  e.  ( C  X.  B )  <->  A. x  e.  A  ( w  e.  C  /\  z  e.  B
) )
2114, 18, 203bitr4g 221 . . . 4  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  ( ( w  e.  C  /\  z  e. 
|^|_ x  e.  A  B )  <->  A. x  e.  A  <. w ,  z >.  e.  ( C  X.  B ) ) )
22 opelxp 4457 . . . 4  |-  ( <.
w ,  z >.  e.  ( C  X.  |^|_ x  e.  A  B )  <-> 
( w  e.  C  /\  z  e.  |^|_ x  e.  A  B )
)
23 vex 2622 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
2423, 15opex 4047 . . . . 5  |-  <. w ,  z >.  e.  _V
25 eliin 3730 . . . . 5  |-  ( <.
w ,  z >.  e.  _V  ->  ( <. w ,  z >.  e.  |^|_ x  e.  A  ( C  X.  B )  <->  A. x  e.  A  <. w ,  z >.  e.  ( C  X.  B ) ) )
2624, 25ax-mp 7 . . . 4  |-  ( <.
w ,  z >.  e.  |^|_ x  e.  A  ( C  X.  B
)  <->  A. x  e.  A  <. w ,  z >.  e.  ( C  X.  B
) )
2721, 22, 263bitr4g 221 . . 3  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  ( <. w ,  z
>.  e.  ( C  X.  |^|_
x  e.  A  B
)  <->  <. w ,  z
>.  e.  |^|_ x  e.  A  ( C  X.  B
) ) )
2827eqrelrdv2 4525 . 2  |-  ( ( ( Rel  ( C  X.  |^|_ x  e.  A  B )  /\  Rel  |^|_
x  e.  A  ( C  X.  B ) )  /\  E. y 
y  e.  A )  ->  ( C  X.  |^|_
x  e.  A  B
)  =  |^|_ x  e.  A  ( C  X.  B ) )
2911, 28mpancom 413 1  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  ( C  X.  |^|_ x  e.  A  B )  =  |^|_ x  e.  A  ( C  X.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619   <.cop 3444   |^|_ciin 3726    X. cxp 4426   Rel wrel 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-iin 3728  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435
This theorem is referenced by:  xpriindim  4562
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