Theorem xpiindim 4814

Description: Distributive law for cross product over indexed intersection. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpiindim	|- ( E. y y e. A -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, C, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem xpiindim

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4783	. . . . . 6 |- Rel ( C X. B )
2	1	rgenw 2560	. . . . 5 |- A. x e. A Rel ( C X. B )
3		r19.2m 3546	. . . . 5 |- ( ( E. y y e. A /\ A. x e. A Rel ( C X. B ) ) -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> E. x e. A Rel ( C X. B ) )
5		reliin 4796	. . . 4 |- ( E. x e. A Rel ( C X. B ) -> Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( E. y y e. A -> Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) )
7		relxp 4783	. . 3 |- Rel ( C X. |^|_ x e. A B )
8	6, 7	jctil 312	. 2 |- ( E. y y e. A -> ( Rel ( C X. |^|_ x e. A B ) /\ Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) ) )
9		eleq1w 2265	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
10	9	cbvexv 1941	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A <-> E. y y e. A )
11		r19.28mv 3552	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) ) )
12	10, 11	sylbir 135	. . . . . 6 |- ( E. y y e. A -> ( A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) ) )
13	12	bicomd 141	. . . . 5 |- ( E. y y e. A -> ( ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) <-> A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) ) )
14		eliin 3931	. . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( z e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A z e. B ) )
15	14	elv 2775	. . . . . 6 |- ( z e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A z e. B )
16	15	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) <-> ( w e. C /\ A. x e. A z e. B ) )
17		opelxp 4704	. . . . . 6 |- ( <. w , z >. e. ( C X. B ) <-> ( w e. C /\ z e. B ) )
18	17	ralbii 2511	. . . . 5 |- ( A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) <-> A. x e. A ( w e. C /\ z e. B ) )
19	13, 16, 18	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( E. y y e. A -> ( ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) ) )
20		opelxp 4704	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. ( C X. |^|_ x e. A B ) <-> ( w e. C /\ z e. |^|_ x e. A B ) )
21		vex 2774	. . . . . 6 |- w e. _V
22		vex 2774	. . . . . 6 |- z e. _V
23	21, 22	opex 4272	. . . . 5 |- <. w , z >. e. _V
24		eliin 3931	. . . . 5 |- ( <. w , z >. e. _V -> ( <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 |- ( <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) <-> A. x e. A <. w , z >. e. ( C X. B ) )
26	19, 20, 25	3bitr4g 223	. . 3 |- ( E. y y e. A -> ( <. w , z >. e. ( C X. |^|_ x e. A B ) <-> <. w , z >. e. |^|_ x e. A ( C X. B ) ) )
27	26	eqrelrdv2 4773	. 2 |- ( ( ( Rel ( C X. |^|_ x e. A B ) /\ Rel |^|_ x e. A ( C X. B ) ) /\ E. y y e. A ) -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )
28	8, 27	mpancom 422	1 |- ( E. y y e. A -> ( C X. |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A ( C X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   _Vcvv 2771   <.cop 3635   |^|_ciin 3927   X. cxp 4672   Rel wrel 4679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-iin 3929  df-opab 4105  df-xp 4680  df-rel 4681

This theorem is referenced by:  xpriindim  4815