Theorem eqsstrdi 3300

Description: A chained subclass and equality deduction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrdi.1	|- ( ph -> A = B )
eqsstrdi.2	|- B C_ C

Assertion

Ref	Expression
eqsstrdi	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem eqsstrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrdi.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		eqsstrdi.2	. . 3 |- B C_ C
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
4	1, 3	eqsstrd 3284	1 |- ( ph -> A C_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqsstrrdi  3301  resasplitss  5569  fimacnv  5837  suppssdmg  6489  en2other2  7549  exmidfodomrlemim  7554  pw1on  7586  suplocexprlemex  8090  fzowrddc  11435  swrdlend  11446  1arith  13169  ennnfonelemkh  13355  cntzrcl  14153  cntzssv  14154  aprap  14689  znf1o  15077  mplbasss  15186  toponsspwpwg  15222  ntrss2  15321  cnprcl2k  15406  reldvg  15879  uhgrspansubgr  16697  trlsex  16807  bj-nntrans  17156  nninfsellemsuc  17234