Theorem eqsstrd 3263

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	|- ( ph -> A = B )
eqsstrd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
2		eqsstrd.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
3	2	sseq1d 3256	. 2 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
4	1, 3	mpbird 167	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   C_ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3264  eqsstrdi  3279  tfisi  4685  funresdfunsnss  5857  suppssof1  6253  pw2f1odclem  7020  phplem4dom  7048  fival  7169  fiuni  7177  cardonle  7391  exmidfodomrlemim  7412  frecuzrdgtclt  10684  4sqlem19  13000  ennnfonelemkh  13051  ennnfonelemf1  13057  strfvssn  13122  setscom  13140  imasaddfnlemg  13415  imasaddflemg  13417  znleval  14686  tgrest  14912  resttopon  14914  rest0  14922  lmtopcnp  14993  metequiv2  15239  xmettx  15253  ellimc3apf  15403  dvfvalap  15424  dvcjbr  15451  dvcj  15452  dvfre  15453  uhgredgm  16006  upgredgssen  16009  umgredgssen  16010  edgumgren  16012  usgredgssen  16032  nnsf  16658