Theorem eqsstrd 3278

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	|- ( ph -> A = B )
eqsstrd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
2		eqsstrd.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
3	2	sseq1d 3271	. 2 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
4	1, 3	mpbird 167	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   C_ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3279  eqsstrdi  3294  tfisi  4714  funresdfunsnss  5892  suppssof1  6293  funimass4f  6332  pw2f1odclem  7100  phplem4dom  7129  fival  7270  fiuni  7278  cardonle  7496  exmidfodomrlemim  7517  frecuzrdgtclt  10807  4sqlem19  13132  ballotfilemro  13210  ennnfonelemkh  13247  ennnfonelemf1  13253  strfvssn  13318  setscom  13336  imasaddfnlemg  13578  imasaddflemg  13580  znleval  14927  tgrest  15160  resttopon  15162  rest0  15170  lmtopcnp  15241  metequiv2  15487  xmettx  15501  ellimc3apf  15651  dvfvalap  15672  dvcjbr  15699  dvcj  15700  dvfre  15701  uhgredgm  16257  upgredgssen  16260  umgredgssen  16261  edgumgren  16263  usgredgssen  16283  nnsf  16909