Theorem eqsstrd 3264

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	|- ( ph -> A = B )
eqsstrd.2	|- ( ph -> B C_ C )

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	|- ( ph -> A C_ C )

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ C )
2		eqsstrd.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
3	2	sseq1d 3257	. 2 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
4	1, 3	mpbird 167	1 |- ( ph -> A C_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   C_ wss 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3207  df-ss 3214

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3265  eqsstrdi  3280  tfisi  4691  funresdfunsnss  5865  suppssof1  6262  pw2f1odclem  7063  phplem4dom  7091  fival  7229  fiuni  7237  cardonle  7451  exmidfodomrlemim  7472  frecuzrdgtclt  10746  4sqlem19  13062  ennnfonelemkh  13113  ennnfonelemf1  13119  strfvssn  13184  setscom  13202  imasaddfnlemg  13477  imasaddflemg  13479  znleval  14749  tgrest  14980  resttopon  14982  rest0  14990  lmtopcnp  15061  metequiv2  15307  xmettx  15321  ellimc3apf  15471  dvfvalap  15492  dvcjbr  15519  dvcj  15520  dvfre  15521  uhgredgm  16077  upgredgssen  16080  umgredgssen  16081  edgumgren  16083  usgredgssen  16103  nnsf  16731