Theorem exmidfodomrlemim 7157

Description: Excluded middle implies the existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates. Proposition 1.1 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomrlemim	|- (EXMID -> A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )

Distinct variable groups:   x, f, z   y, f, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemim

Dummy variables g u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6715	. . . . 5 |- ( y ~<_ x -> E. g g : y -1-1-> x )
2	1	ad2antll 483	. . . 4 |- ( (EXMID /\ ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) ) -> E. g g : y -1-1-> x )
3		df-f1 5193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g : y -1-1-> x <-> ( g : y --> x /\ Fun `' g ) )
4	3	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : y -1-1-> x -> Fun `' g )
5		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
6	5	fconst 5383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x \ ran g ) X. { z } ) : ( x \ ran g ) --> { z }
7		ffun 5340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x \ ran g ) X. { z } ) : ( x \ ran g ) --> { z } -> Fun ( ( x \ ran g ) X. { z } ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Fun ( ( x \ ran g ) X. { z } )
9	4, 8	jctir 311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : y -1-1-> x -> ( Fun `' g /\ Fun ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) )
10		df-rn 4615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran g = dom `' g
11	10	eqcomi 2169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom `' g = ran g
12	5	snm 3696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- E. w w e. { z }
13		dmxpm 4824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. w w e. { z } -> dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = ( x \ ran g ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = ( x \ ran g )
15	11, 14	ineq12i 3321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom `' g i^i dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( ran g i^i ( x \ ran g ) )
16		disjdif 3481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran g i^i ( x \ ran g ) ) = (/)
17	15, 16	eqtri 2186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom `' g i^i dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = (/)
18		funun 5232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Fun `' g /\ Fun ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) /\ ( dom `' g i^i dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = (/) ) -> Fun ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) )
19	9, 17, 18	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : y -1-1-> x -> Fun ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) )
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> Fun ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) )
21		dmun 4811	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( dom `' g u. dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) )
22	10	uneq1i 3272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran g u. dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( dom `' g u. dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) )
23	14	uneq2i 3273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran g u. dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( ran g u. ( x \ ran g ) )
24	21, 22, 23	3eqtr2i 2192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( ran g u. ( x \ ran g ) )
25		f1rn 5394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : y -1-1-> x -> ran g C_ x )
26	25	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> ran g C_ x )
27		exmidexmid 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (EXMID -> DECID u e. ran g )
28	27	ralrimivw 2540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (EXMID -> A. u e. x DECID u e. ran g )
29	28	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> A. u e. x DECID u e. ran g )
30		undifdcss 6888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ran g u. ( x \ ran g ) ) <-> ( ran g C_ x /\ A. u e. x DECID u e. ran g ) )
31	26, 29, 30	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> x = ( ran g u. ( x \ ran g ) ) )
32	24, 31	eqtr4id 2218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> dom ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = x )
33		df-fn 5191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) Fn x <-> ( Fun ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) /\ dom ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = x ) )
34	20, 32, 33	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) Fn x )
35		rnun 5012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( ran `' g u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) )
36		dfdm4 4796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom g = ran `' g
37		f1dm 5398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : y -1-1-> x -> dom g = y )
38	36, 37	eqtr3id 2213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : y -1-1-> x -> ran `' g = y )
39	38	uneq1d 3275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : y -1-1-> x -> ( ran `' g u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( y u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) )
40		exmidexmid 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (EXMID -> DECID E. v v e. ( x \ ran g ) )
41		exmiddc 826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (DECID E. v v e. ( x \ ran g ) -> ( E. v v e. ( x \ ran g ) \/ -. E. v v e. ( x \ ran g ) ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (EXMID -> ( E. v v e. ( x \ ran g ) \/ -. E. v v e. ( x \ ran g ) ) )
43		rnxpm 5033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E. v v e. ( x \ ran g ) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = { z } )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E. v v e. ( x \ ran g ) /\ z e. y ) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = { z } )
45		snssi 3717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. y -> { z } C_ y )
46	45	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E. v v e. ( x \ ran g ) /\ z e. y ) -> { z } C_ y )
47	44, 46	eqsstrd 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E. v v e. ( x \ ran g ) /\ z e. y ) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y )
48	47	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. v v e. ( x \ ran g ) -> ( z e. y -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y ) )
49		notm0 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. E. v v e. ( x \ ran g ) <-> ( x \ ran g ) = (/) )
50		xpeq1 4618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = ( (/) X. { z } ) )
51		0xp 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( (/) X. { z } ) = (/)
52	50, 51	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = (/) )
53	52	rneqd 4833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = ran (/) )
54		rn0 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ran (/) = (/)
55	53, 54	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = (/) )
56		0ss 3447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (/) C_ y
57	55, 56	eqsstrdi 3194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y )
58	57	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ( z e. y -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y ) )
59	49, 58	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E. v v e. ( x \ ran g ) -> ( z e. y -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y ) )
60	48, 59	jaoi 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E. v v e. ( x \ ran g ) \/ -. E. v v e. ( x \ ran g ) ) -> ( z e. y -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y ) )
61	42, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (EXMID -> ( z e. y -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y ) )
62	61	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y )
63		ssequn2 3295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y <-> ( y u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = y )
64	62, 63	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ( y u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = y )
65	39, 64	sylan9eqr 2221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> ( ran `' g u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = y )
66	35, 65	syl5eq 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> ran ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = y )
67		df-fo 5194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) : x -onto-> y <-> ( ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) Fn x /\ ran ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = y ) )
68	34, 66, 67	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) : x -onto-> y )
69		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- g e. _V
70	69	cnvex 5142	. . . . . . . . . . . . 13 |- `' g e. _V
71		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
72		difexg 4123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. _V -> ( x \ ran g ) e. _V )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x \ ran g ) e. _V
74	5	snex 4164	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z } e. _V
75	73, 74	xpex 4719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x \ ran g ) X. { z } ) e. _V
76	70, 75	unex 4419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) e. _V
77		foeq1 5406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) -> ( f : x -onto-> y <-> ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) : x -onto-> y ) )
78	76, 77	spcev 2821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) : x -onto-> y -> E. f f : x -onto-> y )
79	68, 78	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> E. f f : x -onto-> y )
80	79	an32s 558	. . . . . . . . 9 |- ( ( (EXMID /\ g : y -1-1-> x ) /\ z e. y ) -> E. f f : x -onto-> y )
81	80	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ g : y -1-1-> x ) -> ( z e. y -> E. f f : x -onto-> y ) )
82	81	exlimdv 1807	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ g : y -1-1-> x ) -> ( E. z z e. y -> E. f f : x -onto-> y ) )
83	82	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( (EXMID /\ g : y -1-1-> x ) /\ E. z z e. y ) -> E. f f : x -onto-> y )
84	83	an32s 558	. . . . 5 |- ( ( (EXMID /\ E. z z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> E. f f : x -onto-> y )
85	84	adantlrr 475	. . . 4 |- ( ( (EXMID /\ ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) ) /\ g : y -1-1-> x ) -> E. f f : x -onto-> y )
86	2, 85	exlimddv 1886	. . 3 |- ( (EXMID /\ ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) ) -> E. f f : x -onto-> y )
87	86	ex 114	. 2 |- (EXMID -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )
88	87	alrimivv 1863	1 |- (EXMID -> A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   u. cun 3114   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   class class class wbr 3982  EXMIDwem 4173   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   ran crn 4605   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185   -onto->wfo 5186   ~<_ cdom 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-exmid 4174  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-dom 6708

This theorem is referenced by:  exmidfodomr  7160