Theorem exmidfodomrlemim 7455

Description: Excluded middle implies the existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates. Proposition 1.1 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomrlemim	|- (EXMID -> A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )

Distinct variable groups:   x, f, z   y, f, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemim

Dummy variables g u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6963	. . . . 5 |- ( y ~<_ x -> E. g g : y -1-1-> x )
2	1	ad2antll 491	. . . 4 |- ( (EXMID /\ ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) ) -> E. g g : y -1-1-> x )
3		df-f1 5338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g : y -1-1-> x <-> ( g : y --> x /\ Fun `' g ) )
4	3	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : y -1-1-> x -> Fun `' g )
5		vex 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
6	5	fconst 5541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x \ ran g ) X. { z } ) : ( x \ ran g ) --> { z }
7		ffun 5492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x \ ran g ) X. { z } ) : ( x \ ran g ) --> { z } -> Fun ( ( x \ ran g ) X. { z } ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Fun ( ( x \ ran g ) X. { z } )
9	4, 8	jctir 313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : y -1-1-> x -> ( Fun `' g /\ Fun ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) )
10		df-rn 4742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran g = dom `' g
11	10	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom `' g = ran g
12	5	snm 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- E. w w e. { z }
13		dmxpm 4958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. w w e. { z } -> dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = ( x \ ran g ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = ( x \ ran g )
15	11, 14	ineq12i 3408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom `' g i^i dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( ran g i^i ( x \ ran g ) )
16		disjdif 3569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran g i^i ( x \ ran g ) ) = (/)
17	15, 16	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom `' g i^i dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = (/)
18		funun 5378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Fun `' g /\ Fun ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) /\ ( dom `' g i^i dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = (/) ) -> Fun ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) )
19	9, 17, 18	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : y -1-1-> x -> Fun ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> Fun ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) )
21		dmun 4944	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( dom `' g u. dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) )
22	10	uneq1i 3359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran g u. dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( dom `' g u. dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) )
23	14	uneq2i 3360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran g u. dom ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( ran g u. ( x \ ran g ) )
24	21, 22, 23	3eqtr2i 2258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( ran g u. ( x \ ran g ) )
25		f1rn 5552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : y -1-1-> x -> ran g C_ x )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> ran g C_ x )
27		exmidexmid 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (EXMID -> DECID u e. ran g )
28	27	ralrimivw 2607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (EXMID -> A. u e. x DECID u e. ran g )
29	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> A. u e. x DECID u e. ran g )
30		undifdcss 7158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ran g u. ( x \ ran g ) ) <-> ( ran g C_ x /\ A. u e. x DECID u e. ran g ) )
31	26, 29, 30	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> x = ( ran g u. ( x \ ran g ) ) )
32	24, 31	eqtr4id 2283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> dom ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = x )
33		df-fn 5336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) Fn x <-> ( Fun ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) /\ dom ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = x ) )
34	20, 32, 33	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) Fn x )
35		rnun 5152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( ran `' g u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) )
36		dfdm4 4929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom g = ran `' g
37		f1dm 5556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : y -1-1-> x -> dom g = y )
38	36, 37	eqtr3id 2278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : y -1-1-> x -> ran `' g = y )
39	38	uneq1d 3362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : y -1-1-> x -> ( ran `' g u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = ( y u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) )
40		exmidexmid 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (EXMID -> DECID E. v v e. ( x \ ran g ) )
41		exmiddc 844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (DECID E. v v e. ( x \ ran g ) -> ( E. v v e. ( x \ ran g ) \/ -. E. v v e. ( x \ ran g ) ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (EXMID -> ( E. v v e. ( x \ ran g ) \/ -. E. v v e. ( x \ ran g ) ) )
43		rnxpm 5173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E. v v e. ( x \ ran g ) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = { z } )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E. v v e. ( x \ ran g ) /\ z e. y ) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = { z } )
45		snssi 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. y -> { z } C_ y )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E. v v e. ( x \ ran g ) /\ z e. y ) -> { z } C_ y )
47	44, 46	eqsstrd 3264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E. v v e. ( x \ ran g ) /\ z e. y ) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y )
48	47	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. v v e. ( x \ ran g ) -> ( z e. y -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y ) )
49		notm0 3517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. E. v v e. ( x \ ran g ) <-> ( x \ ran g ) = (/) )
50		xpeq1 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = ( (/) X. { z } ) )
51		0xp 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( (/) X. { z } ) = (/)
52	50, 51	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = (/) )
53	52	rneqd 4967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = ran (/) )
54		rn0 4994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ran (/) = (/)
55	53, 54	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) = (/) )
56		0ss 3535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (/) C_ y
57	55, 56	eqsstrdi 3280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y )
58	57	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x \ ran g ) = (/) -> ( z e. y -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y ) )
59	49, 58	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E. v v e. ( x \ ran g ) -> ( z e. y -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y ) )
60	48, 59	jaoi 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E. v v e. ( x \ ran g ) \/ -. E. v v e. ( x \ ran g ) ) -> ( z e. y -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y ) )
61	42, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (EXMID -> ( z e. y -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y ) )
62	61	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y )
63		ssequn2 3382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) C_ y <-> ( y u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = y )
64	62, 63	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ( y u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = y )
65	39, 64	sylan9eqr 2286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> ( ran `' g u. ran ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = y )
66	35, 65	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> ran ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = y )
67		df-fo 5339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) : x -onto-> y <-> ( ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) Fn x /\ ran ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) = y ) )
68	34, 66, 67	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) : x -onto-> y )
69		vex 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- g e. _V
70	69	cnvex 5282	. . . . . . . . . . . . 13 |- `' g e. _V
71		vex 2806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
72		difexg 4236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. _V -> ( x \ ran g ) e. _V )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x \ ran g ) e. _V
74	5	snex 4281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z } e. _V
75	73, 74	xpex 4848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x \ ran g ) X. { z } ) e. _V
76	70, 75	unex 4544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) e. _V
77		foeq1 5564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) -> ( f : x -onto-> y <-> ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) : x -onto-> y ) )
78	76, 77	spcev 2902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' g u. ( ( x \ ran g ) X. { z } ) ) : x -onto-> y -> E. f f : x -onto-> y )
79	68, 78	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> E. f f : x -onto-> y )
80	79	an32s 570	. . . . . . . . 9 |- ( ( (EXMID /\ g : y -1-1-> x ) /\ z e. y ) -> E. f f : x -onto-> y )
81	80	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ g : y -1-1-> x ) -> ( z e. y -> E. f f : x -onto-> y ) )
82	81	exlimdv 1867	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ g : y -1-1-> x ) -> ( E. z z e. y -> E. f f : x -onto-> y ) )
83	82	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( (EXMID /\ g : y -1-1-> x ) /\ E. z z e. y ) -> E. f f : x -onto-> y )
84	83	an32s 570	. . . . 5 |- ( ( (EXMID /\ E. z z e. y ) /\ g : y -1-1-> x ) -> E. f f : x -onto-> y )
85	84	adantlrr 483	. . . 4 |- ( ( (EXMID /\ ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) ) /\ g : y -1-1-> x ) -> E. f f : x -onto-> y )
86	2, 85	exlimddv 1947	. . 3 |- ( (EXMID /\ ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) ) -> E. f f : x -onto-> y )
87	86	ex 115	. 2 |- (EXMID -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )
88	87	alrimivv 1923	1 |- (EXMID -> A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   u. cun 3199   i^i cin 3200   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   class class class wbr 4093  EXMIDwem 4290   X. cxp 4729   `'ccnv 4730   dom cdm 4731   ran crn 4732   Fun wfun 5327   Fn wfn 5328   -->wf 5329   -1-1->wf1 5330   -onto->wfo 5331   ~<_ cdom 6951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-exmid 4291  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-dom 6954

This theorem is referenced by:  exmidfodomr  7458