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Theorem exmidfodomrlemim 7025
Description: Excluded middle implies the existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates. Proposition 1.1 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemim  |-  (EXMID  ->  A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y ) )
Distinct variable groups:    x, f, z   
y, f, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemim
Dummy variables  g  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6611 . . . . 5  |-  ( y  ~<_  x  ->  E. g 
g : y -1-1-> x
)
21ad2antll 482 . . . 4  |-  ( (EXMID  /\  ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x ) )  ->  E. g  g :
y -1-1-> x )
3 df-f1 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g : y -1-1-> x  <->  ( g : y --> x  /\  Fun  `' g ) )
43simprbi 273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : y -1-1-> x  ->  Fun  `' g )
5 vex 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
65fconst 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } ) : ( x  \  ran  g
) --> { z }
7 ffun 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) : ( x  \  ran  g ) --> { z }  ->  Fun  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } )
94, 8jctir 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : y -1-1-> x  -> 
( Fun  `' g  /\  Fun  ( ( x 
\  ran  g )  X.  { z } ) ) )
10 df-rn 4520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  g  =  dom  `' g
1110eqcomi 2121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  `' g  =  ran  g
125snm 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  E. w  w  e.  { z }
13 dmxpm 4729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. w  w  e.  {
z }  ->  dom  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  =  ( x  \  ran  g ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  =  ( x  \  ran  g )
1511, 14ineq12i 3245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  `' g  i^i  dom  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  ( ran  g  i^i  ( x  \  ran  g ) )
16 disjdif 3405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  g  i^i  ( x 
\  ran  g )
)  =  (/)
1715, 16eqtri 2138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  `' g  i^i  dom  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  (/)
18 funun 5137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  `' g  /\  Fun  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } ) )  /\  ( dom  `' g  i^i 
dom  ( ( x 
\  ran  g )  X.  { z } ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( `' g  u.  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) ) )
199, 17, 18sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : y -1-1-> x  ->  Fun  ( `' g  u.  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) ) )
2019adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  ->  Fun  ( `' g  u.  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) ) )
21 f1rn 5299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : y -1-1-> x  ->  ran  g  C_  x )
2221adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  ->  ran  g  C_  x )
23 exmidexmid 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (EXMID  -> DECID  u  e.  ran  g )
2423ralrimivw 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (EXMID  ->  A. u  e.  x DECID  u  e.  ran  g )
2524ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  ->  A. u  e.  x DECID  u  e.  ran  g )
26 undifdcss 6779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ran  g  u.  ( x  \  ran  g ) )  <->  ( ran  g  C_  x  /\  A. u  e.  x DECID  u  e.  ran  g ) )
2722, 25, 26sylanbrc 413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  ->  x  =  ( ran  g  u.  ( x  \  ran  g ) ) )
28 dmun 4716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( `' g  u.  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  ( dom  `' g  u.  dom  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } ) )
2910uneq1i 3196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  g  u.  dom  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  ( dom  `' g  u.  dom  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } ) )
3014uneq2i 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  g  u.  dom  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  ( ran  g  u.  ( x  \  ran  g ) )
3128, 29, 303eqtr2i 2144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( `' g  u.  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  ( ran  g  u.  ( x  \  ran  g ) )
3227, 31syl6reqr 2169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  ->  dom  ( `' g  u.  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  x )
33 df-fn 5096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' g  u.  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  Fn  x  <->  ( Fun  ( `' g  u.  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  /\  dom  ( `' g  u.  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } ) )  =  x ) )
3420, 32, 33sylanbrc 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  -> 
( `' g  u.  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  Fn  x )
35 rnun 4917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  ( `' g  u.  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  ( ran  `' g  u.  ran  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } ) )
36 dfdm4 4701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  g  =  ran  `' g
37 f1dm 5303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : y -1-1-> x  ->  dom  g  =  y
)
3836, 37syl5eqr 2164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : y -1-1-> x  ->  ran  `' g  =  y
)
3938uneq1d 3199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : y -1-1-> x  -> 
( ran  `' g  u.  ran  ( ( x 
\  ran  g )  X.  { z } ) )  =  ( y  u.  ran  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } ) ) )
40 exmidexmid 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (EXMID  -> DECID  E. v  v  e.  ( x  \  ran  g ) )
41 exmiddc 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (DECID  E. v 
v  e.  ( x 
\  ran  g )  ->  ( E. v  v  e.  ( x  \  ran  g )  \/  -.  E. v  v  e.  ( x  \  ran  g
) ) )
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (EXMID  ->  ( E. v  v  e.  ( x  \  ran  g
)  \/  -.  E. v  v  e.  (
x  \  ran  g ) ) )
43 rnxpm 4938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. v  v  e.  ( x  \  ran  g
)  ->  ran  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } )  =  {
z } )
4443adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E. v  v  e.  ( x  \  ran  g )  /\  z  e.  y )  ->  ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  =  { z } )
45 snssi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  y  ->  { z }  C_  y )
4645adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E. v  v  e.  ( x  \  ran  g )  /\  z  e.  y )  ->  { z }  C_  y )
4744, 46eqsstrd 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E. v  v  e.  ( x  \  ran  g )  /\  z  e.  y )  ->  ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  C_  y )
4847ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. v  v  e.  ( x  \  ran  g
)  ->  ( z  e.  y  ->  ran  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  C_  y ) )
49 notm0 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -. 
E. v  v  e.  ( x  \  ran  g )  <->  ( x  \  ran  g )  =  (/) )
50 xpeq1 4523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  \  ran  g
)  =  (/)  ->  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  =  ( (/)  X.  { z } ) )
51 0xp 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (/)  X. 
{ z } )  =  (/)
5250, 51syl6eq 2166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  \  ran  g
)  =  (/)  ->  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  =  (/) )
5352rneqd 4738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  \  ran  g
)  =  (/)  ->  ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  =  ran  (/) )
54 rn0 4765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ran  (/)  =  (/)
5553, 54syl6eq 2166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  \  ran  g
)  =  (/)  ->  ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  =  (/) )
56 0ss 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  C_  y
5755, 56eqsstrdi 3119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  \  ran  g
)  =  (/)  ->  ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  C_  y )
5857a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  \  ran  g
)  =  (/)  ->  (
z  e.  y  ->  ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  C_  y ) )
5949, 58sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
E. v  v  e.  ( x  \  ran  g )  ->  (
z  e.  y  ->  ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  C_  y ) )
6048, 59jaoi 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E. v  v  e.  ( x  \  ran  g )  \/  -.  E. v  v  e.  ( x  \  ran  g
) )  ->  (
z  e.  y  ->  ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  C_  y ) )
6142, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (EXMID  ->  (
z  e.  y  ->  ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  C_  y ) )
6261imp 123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (EXMID  /\  z  e.  y )  ->  ran  ( (
x  \  ran  g )  X.  { z } )  C_  y )
63 ssequn2 3219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } )  C_  y 
<->  ( y  u.  ran  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  y )
6462, 63sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (EXMID  /\  z  e.  y )  ->  ( y  u. 
ran  ( ( x 
\  ran  g )  X.  { z } ) )  =  y )
6539, 64sylan9eqr 2172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  -> 
( ran  `' g  u.  ran  ( ( x 
\  ran  g )  X.  { z } ) )  =  y )
6635, 65syl5eq 2162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  ->  ran  ( `' g  u.  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  y )
67 df-fo 5099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' g  u.  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) ) : x -onto-> y  <->  ( ( `' g  u.  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  Fn  x  /\  ran  ( `' g  u.  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) )  =  y ) )
6834, 66, 67sylanbrc 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  -> 
( `' g  u.  ( ( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) ) : x -onto-> y )
69 vex 2663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  g  e. 
_V
7069cnvex 5047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' g  e.  _V
71 vex 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
72 difexg 4039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  ran  g )  e.  _V )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
\  ran  g )  e.  _V
745snex 4079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z }  e.  _V
7573, 74xpex 4624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } )  e.  _V
7670, 75unex 4332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' g  u.  ( ( x  \  ran  g
)  X.  { z } ) )  e. 
_V
77 foeq1 5311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( `' g  u.  ( ( x 
\  ran  g )  X.  { z } ) )  ->  ( f : x -onto-> y  <->  ( `' g  u.  ( (
x  \  ran  g )  X.  { z } ) ) : x
-onto-> y ) )
7876, 77spcev 2754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' g  u.  (
( x  \  ran  g )  X.  {
z } ) ) : x -onto-> y  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
7968, 78syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
8079an32s 542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (EXMID 
/\  g : y
-1-1-> x )  /\  z  e.  y )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )
8180ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\  g : y -1-1-> x
)  ->  ( z  e.  y  ->  E. f 
f : x -onto-> y ) )
8281exlimdv 1775 . . . . . . 7  |-  ( (EXMID  /\  g : y -1-1-> x
)  ->  ( E. z  z  e.  y  ->  E. f  f : x -onto-> y ) )
8382imp 123 . . . . . 6  |-  ( ( (EXMID 
/\  g : y
-1-1-> x )  /\  E. z  z  e.  y
)  ->  E. f 
f : x -onto-> y )
8483an32s 542 . . . . 5  |-  ( ( (EXMID 
/\  E. z  z  e.  y )  /\  g : y -1-1-> x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )
8584adantlrr 474 . . . 4  |-  ( ( (EXMID 
/\  ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x ) )  /\  g : y
-1-1-> x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )
862, 85exlimddv 1854 . . 3  |-  ( (EXMID  /\  ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x ) )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
8786ex 114 . 2  |-  (EXMID  ->  (
( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y ) )
8887alrimivv 1831 1  |-  (EXMID  ->  A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682  DECID wdc 804   A.wal 1314    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   A.wral 2393   _Vcvv 2660    \ cdif 3038    u. cun 3039    i^i cin 3040    C_ wss 3041   (/)c0 3333   {csn 3497   class class class wbr 3899  EXMIDwem 4088    X. cxp 4507   `'ccnv 4508   dom cdm 4509   ran crn 4510   Fun wfun 5087    Fn wfn 5088   -->wf 5089   -1-1->wf1 5090   -onto->wfo 5091    ~<_ cdom 6601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-exmid 4089  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-dom 6604
This theorem is referenced by:  exmidfodomr  7028
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