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Theorem 1arith 12348
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function  M maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations  R. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
1arith.2  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
1arith  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
Distinct variable groups:    e, n, p   
e, M    R, n
Allowed substitution hints:    R( e, p)    M( n, p)

Proof of Theorem 1arith
Dummy variables  f  g  k  q  x  y  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmex 12096 . . . . . 6  |-  Prime  e.  _V
21mptex 5738 . . . . 5  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e. 
_V
3 1arith.1 . . . . 5  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
42, 3fnmpti 5340 . . . 4  |-  M  Fn  NN
531arithlem3 12346 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x ) : Prime --> NN0 )
6 nn0ex 9171 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
76, 1elmap 6671 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime )  <->  ( M `  x ) : Prime --> NN0 )
85, 7sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime ) )
9 1zzd 9269 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
10 nnz 9261 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
119, 10fzfigd 10417 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
1 ... x )  e. 
Fin )
12 ffn 5361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  x ) : Prime --> NN0  ->  ( M `  x )  Fn  Prime )
13 elpreima 5631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  x )  Fn  Prime  ->  ( q  e.  ( `' ( M `  x )
" NN )  <->  ( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q )  e.  NN ) ) )
145, 12, 133syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  (
q  e.  ( `' ( M `  x
) " NN )  <-> 
( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q
)  e.  NN ) ) )
1531arithlem2 12345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( M `  x ) `  q
)  =  ( q 
pCnt  x ) )
1615eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( M `
 x ) `  q )  e.  NN  <->  ( q  pCnt  x )  e.  NN ) )
17 prmz 12094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ZZ )
18 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN )
19 dvdsle 11833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  x  e.  NN )  ->  ( q  ||  x  ->  q  <_  x )
)
2017, 18, 19syl2anr 290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( q  ||  x  ->  q  <_  x )
)
21 pcelnn 12303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  x  e.  NN )  ->  (
( q  pCnt  x
)  e.  NN  <->  q  ||  x ) )
2221ancoms 268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( q  pCnt  x )  e.  NN  <->  q  ||  x ) )
23 prmnn 12093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  NN )
24 nnuz 9552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2523, 24eleqtrdi 2270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
26 elfz5 10003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
q  e.  ( 1 ... x )  <->  q  <_  x ) )
2725, 10, 26syl2anr 290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( q  e.  ( 1 ... x )  <-> 
q  <_  x )
)
2820, 22, 273imtr4d 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( q  pCnt  x )  e.  NN  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
2916, 28sylbid 150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( M `
 x ) `  q )  e.  NN  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3029expimpd 363 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( q  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  q
)  e.  NN )  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3114, 30sylbid 150 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  (
q  e.  ( `' ( M `  x
) " NN )  ->  q  e.  ( 1 ... x ) ) )
3231ssrdv 3161 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  ( `' ( M `  x ) " NN )  C_  ( 1 ... x ) )
33 elfznn 10040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... x )  ->  j  e.  NN )
3433adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  ->  j  e.  NN )
35 prmdc 12113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  -> DECID  j  e.  Prime )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  -> DECID 
j  e.  Prime )
3736adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  j  e.  Prime )  -> DECID 
j  e.  Prime )
385ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  j  e.  Prime )  ->  ( M `  x ) : Prime --> NN0 )
39 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  j  e.  Prime )  ->  j  e.  Prime )
4038, 39ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  j  e.  Prime )  ->  ( ( M `
 x ) `  j )  e.  NN0 )
4140nn0zd 9362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  j  e.  Prime )  ->  ( ( M `
 x ) `  j )  e.  ZZ )
42 elnndc 9601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M `  x
) `  j )  e.  ZZ  -> DECID  ( ( M `  x ) `  j
)  e.  NN )
4341, 42syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  j  e.  Prime )  -> DECID 
( ( M `  x ) `  j
)  e.  NN )
44 dcan2 934 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  j  e. 
Prime  ->  (DECID  ( ( M `  x ) `  j
)  e.  NN  -> DECID  ( j  e.  Prime  /\  (
( M `  x
) `  j )  e.  NN ) ) )
4537, 43, 44sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  j  e.  Prime )  -> DECID 
( j  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  j
)  e.  NN ) )
46 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  -.  j  e. 
Prime )  ->  -.  j  e.  Prime )
4746intnanrd 932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  -.  j  e. 
Prime )  ->  -.  (
j  e.  Prime  /\  (
( M `  x
) `  j )  e.  NN ) )
4847olcd 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  -.  j  e. 
Prime )  ->  ( ( j  e.  Prime  /\  (
( M `  x
) `  j )  e.  NN )  \/  -.  ( j  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  j
)  e.  NN ) ) )
49 df-dc 835 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  ( j  e.  Prime  /\  (
( M `  x
) `  j )  e.  NN )  <->  ( (
j  e.  Prime  /\  (
( M `  x
) `  j )  e.  NN )  \/  -.  ( j  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  j
)  e.  NN ) ) )
5048, 49sylibr 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  /\  -.  j  e. 
Prime )  -> DECID  ( j  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  j
)  e.  NN ) )
51 exmiddc 836 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  j  e. 
Prime  ->  ( j  e. 
Prime  \/  -.  j  e. 
Prime ) )
5236, 51syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  ->  ( j  e. 
Prime  \/  -.  j  e. 
Prime ) )
5345, 50, 52mpjaodan 798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  -> DECID 
( j  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  j
)  e.  NN ) )
54 elpreima 5631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M `  x )  Fn  Prime  ->  ( j  e.  ( `' ( M `  x )
" NN )  <->  ( j  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  j )  e.  NN ) ) )
555, 12, 543syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
j  e.  ( `' ( M `  x
) " NN )  <-> 
( j  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  j
)  e.  NN ) ) )
5655dcbid 838 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  (DECID  j  e.  ( `' ( M `
 x ) " NN )  <-> DECID  ( j  e.  Prime  /\  ( ( M `  x ) `  j
)  e.  NN ) ) )
5756adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  ->  (DECID  j  e.  ( `' ( M `  x
) " NN )  <-> DECID  (
j  e.  Prime  /\  (
( M `  x
) `  j )  e.  NN ) ) )
5853, 57mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... x ) )  -> DECID 
j  e.  ( `' ( M `  x
) " NN ) )
5958ralrimiva 2550 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  A. j  e.  ( 1 ... x
)DECID  j  e.  ( `' ( M `  x
) " NN ) )
60 ssfidc 6928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... x
)  e.  Fin  /\  ( `' ( M `  x ) " NN )  C_  ( 1 ... x )  /\  A. j  e.  ( 1 ... x )DECID  j  e.  ( `' ( M `
 x ) " NN ) )  ->  ( `' ( M `  x ) " NN )  e.  Fin )
6111, 32, 59, 60syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  ( `' ( M `  x ) " NN )  e.  Fin )
62 cnveq 4797 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  `' e  =  `' ( M `  x )
)
6362imaeq1d 4965 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  ( `' e " NN )  =  ( `' ( M `  x )
" NN ) )
6463eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( M `  x )  ->  (
( `' e " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( M `  x ) " NN )  e.  Fin )
)
65 1arith.2 . . . . . . 7  |-  R  =  { e  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' e
" NN )  e. 
Fin }
6664, 65elrab2 2896 . . . . . 6  |-  ( ( M `  x )  e.  R  <->  ( ( M `  x )  e.  ( NN0  ^m  Prime )  /\  ( `' ( M `  x )
" NN )  e. 
Fin ) )
678, 61, 66sylanbrc 417 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  ( M `  x )  e.  R )
6867rgen 2530 . . . 4  |-  A. x  e.  NN  ( M `  x )  e.  R
69 ffnfv 5670 . . . 4  |-  ( M : NN --> R  <->  ( M  Fn  NN  /\  A. x  e.  NN  ( M `  x )  e.  R
) )
704, 68, 69mpbir2an 942 . . 3  |-  M : NN
--> R
7115adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( M `
 x ) `  q )  =  ( q  pCnt  x )
)
7231arithlem2 12345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( M `  y ) `  q
)  =  ( q 
pCnt  y ) )
7372adantll 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( M `
 y ) `  q )  =  ( q  pCnt  y )
)
7471, 73eqeq12d 2192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( ( M `  x ) `
 q )  =  ( ( M `  y ) `  q
)  <->  ( q  pCnt  x )  =  ( q 
pCnt  y ) ) )
7574ralbidva 2473 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. q  e. 
Prime  ( ( M `  x ) `  q
)  =  ( ( M `  y ) `
 q )  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q 
pCnt  y ) ) )
7631arithlem3 12346 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( M `  y ) : Prime --> NN0 )
77 ffn 5361 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  y ) : Prime --> NN0  ->  ( M `  y )  Fn  Prime )
78 eqfnfv 5609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M `  x
)  Fn  Prime  /\  ( M `  y )  Fn  Prime )  ->  (
( M `  x
)  =  ( M `
 y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `
 x ) `  q )  =  ( ( M `  y
) `  q )
) )
7912, 77, 78syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M `  x
) : Prime --> NN0  /\  ( M `  y ) : Prime --> NN0 )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `  x
) `  q )  =  ( ( M `
 y ) `  q ) ) )
805, 76, 79syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <->  A. q  e.  Prime  ( ( M `  x
) `  q )  =  ( ( M `
 y ) `  q ) ) )
81 nnnn0 9172 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
82 nnnn0 9172 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
83 pc11 12313 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  =  y  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q  pCnt  y ) ) )
8481, 82, 83syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  y  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  x )  =  ( q  pCnt  y ) ) )
8575, 80, 843bitr4d 220 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  <-> 
x  =  y ) )
8685biimpd 144 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( M `  x )  =  ( M `  y )  ->  x  =  y ) )
8786rgen2 2563 . . 3  |-  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( ( M `
 x )  =  ( M `  y
)  ->  x  =  y )
88 dff13 5763 . . 3  |-  ( M : NN -1-1-> R  <->  ( M : NN --> R  /\  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( ( M `
 x )  =  ( M `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
8970, 87, 88mpbir2an 942 . 2  |-  M : NN
-1-1-> R
90 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( g  e.  NN  |->  if ( g  e.  Prime ,  ( g ^ ( f `
 g ) ) ,  1 ) )  =  ( g  e.  NN  |->  if ( g  e.  Prime ,  ( g ^ ( f `  g ) ) ,  1 ) )
91 cnveq 4797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  f  ->  `' e  =  `' f
)
9291imaeq1d 4965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  f  ->  ( `' e " NN )  =  ( `' f " NN ) )
9392eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  f  ->  (
( `' e " NN )  e.  Fin  <->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
)
9493, 65elrab2 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  R  <->  ( f  e.  ( NN0  ^m  Prime )  /\  ( `' f
" NN )  e. 
Fin ) )
9594simplbi 274 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  R  ->  f  e.  ( NN0  ^m  Prime ) )
966, 1elmap 6671 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( NN0  ^m  Prime )  <->  f : Prime --> NN0 )
9795, 96sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  R  ->  f : Prime --> NN0 )
9897ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  f : Prime --> NN0 )
99 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  y  e.  NN )
10099peano2nnd 8923 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  ( y  +  1 )  e.  NN )
10199adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  e.  NN )
102101nnred 8921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  e.  RR )
103 peano2re 8083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
104102, 103syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( y  +  1 )  e.  RR )
10523ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  q  e.  NN )
106105nnred 8921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  q  e.  RR )
107102ltp1d 8876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
108 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( y  +  1 )  <_ 
q )
109102, 104, 106, 107, 108ltletrd 8370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  <  q )
110101nnzd 9363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  y  e.  ZZ )
11117ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  q  e.  ZZ )
112 zltnle 9288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  q  e.  ZZ )  ->  ( y  <  q  <->  -.  q  <_  y )
)
113110, 111, 112syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( y  <  q  <->  -.  q  <_  y ) )
114109, 113mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  -.  q  <_  y )
115 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  q  e.  Prime )
116115biantrurd 305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  <->  ( q  e. 
Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
11797ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  f : Prime --> NN0 )
118 ffn 5361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : Prime --> NN0  ->  f  Fn  Prime )
119 elpreima 5631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  Prime  ->  ( q  e.  ( `' f
" NN )  <->  ( q  e.  Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
120117, 118, 1193syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( q  e.  ( `' f " NN )  <->  ( q  e. 
Prime  /\  ( f `  q )  e.  NN ) ) )
121116, 120bitr4d 191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  <->  q  e.  ( `' f " NN ) ) )
122 breq1 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  q  ->  (
k  <_  y  <->  q  <_  y ) )
123122rspccv 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y  ->  (
q  e.  ( `' f " NN )  ->  q  <_  y
) )
124123ad2antlr 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( q  e.  ( `' f " NN )  ->  q  <_ 
y ) )
125121, 124sylbid 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  ->  q  <_  y ) )
126114, 125mtod 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  -.  (
f `  q )  e.  NN )
127117, 115ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( f `  q )  e.  NN0 )
128 elnn0 9167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  q )  e.  NN0  <->  ( ( f `
 q )  e.  NN  \/  ( f `
 q )  =  0 ) )
129127, 128sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( (
f `  q )  e.  NN  \/  ( f `
 q )  =  0 ) )
130129ord 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( -.  ( f `  q
)  e.  NN  ->  ( f `  q )  =  0 ) )
131126, 130mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )  /\  ( q  e.  Prime  /\  ( y  +  1 )  <_  q )
)  ->  ( f `  q )  =  0 )
1323, 90, 98, 100, 1311arithlem4 12347 . . . . 5  |-  ( ( ( f  e.  R  /\  y  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) )
133 cnvimass 4987 . . . . . . 7  |-  ( `' f " NN ) 
C_  dom  f
13497fdmd 5368 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  R  ->  dom  f  =  Prime )
135 prmssnn 12095 . . . . . . . 8  |-  Prime  C_  NN
136134, 135eqsstrdi 3207 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  R  ->  dom  f  C_  NN )
137133, 136sstrid 3166 . . . . . 6  |-  ( f  e.  R  ->  ( `' f " NN )  C_  NN )
13894simprbi 275 . . . . . 6  |-  ( f  e.  R  ->  ( `' f " NN )  e.  Fin )
139 fiubnn 10794 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' f " NN )  C_  NN  /\  ( `' f " NN )  e.  Fin )  ->  E. y  e.  NN  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y )
140137, 138, 139syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( f  e.  R  ->  E. y  e.  NN  A. k  e.  ( `' f " NN ) k  <_  y
)
141132, 140r19.29a 2620 . . . 4  |-  ( f  e.  R  ->  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) )
142141rgen 2530 . . 3  |-  A. f  e.  R  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x )
143 dffo3 5659 . . 3  |-  ( M : NN -onto-> R  <->  ( M : NN --> R  /\  A. f  e.  R  E. x  e.  NN  f  =  ( M `  x ) ) )
14470, 142, 143mpbir2an 942 . 2  |-  M : NN -onto-> R
145 df-f1o 5219 . 2  |-  ( M : NN -1-1-onto-> R  <->  ( M : NN
-1-1-> R  /\  M : NN -onto-> R ) )
14689, 144, 145mpbir2an 942 1  |-  M : NN
-1-1-onto-> R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459    C_ wss 3129   ifcif 3534   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   `'ccnv 4622   dom cdm 4623   "cima 4626    Fn wfn 5207   -->wf 5208   -1-1->wf1 5209   -onto->wfo 5210   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869    ^m cmap 6642   Fincfn 6734   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803    + caddc 7805    < clt 7982    <_ cle 7983   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995   ^cexp 10505    || cdvds 11778   Primecprime 12090    pCnt cpc 12267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-map 6644  df-en 6735  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-xnn0 9229  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-pc 12268
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