Theorem 1arith 12382

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function M maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations R. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
1arith.2	|- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
1arith	|- M : NN -1-1-onto-> R

Distinct variable groups:   e, n, p   e, M   R, n

Allowed substitution hints:   R( e, p)   M( n, p)

Proof of Theorem 1arith

Dummy variables f g k q x y j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmex 12130	. . . . . 6 |- Prime e. _V
2	1	mptex 5757	. . . . 5 |- ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) e. _V
3		1arith.1	. . . . 5 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
4	2, 3	fnmpti 5358	. . . 4 |- M Fn NN
5	3	1arithlem3 12380	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
6		nn0ex 9199	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
7	6, 1	elmap 6694	. . . . . . 7 |- ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) <-> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
8	5, 7	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) )
9		1zzd 9297	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> 1 e. ZZ )
10		nnz 9289	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
11	9, 10	fzfigd 10448	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( 1 ... x ) e. Fin )
12		ffn 5379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 -> ( M ` x ) Fn Prime )
13		elpreima 5650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) Fn Prime -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
14	5, 12, 13	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
15	3	1arithlem2 12379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
16	15	eleq1d 2257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN <-> ( q pCnt x ) e. NN ) )
17		prmz 12128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
18		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. NN )
19		dvdsle 11867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ZZ /\ x e. NN ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
20	17, 18, 19	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
21		pcelnn 12337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. Prime /\ x e. NN ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
22	21	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
23		prmnn 12127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
24		nnuz 9580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	23, 24	eleqtrdi 2281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26		elfz5 10034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ x e. ZZ ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
27	25, 10, 26	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
28	20, 22, 27	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
29	16, 28	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
30	29	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
31	14, 30	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
32	31	ssrdv 3175	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) )
33		elfznn 10071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 1 ... x ) -> j e. NN )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> j e. NN )
35		prmdc 12147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> DECID j e. Prime )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> DECID j e. Prime )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> DECID j e. Prime )
38	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> j e. Prime )
40	38, 39	ffvelcdmd 5667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` j ) e. NN0 )
41	40	nn0zd 9390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` j ) e. ZZ )
42		elnndc 9629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M ` x ) ` j ) e. ZZ -> DECID ( ( M ` x ) ` j ) e. NN )
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> DECID ( ( M ` x ) ` j ) e. NN )
44		dcan2 935	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID j e. Prime -> (DECID ( ( M ` x ) ` j ) e. NN -> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
45	37, 43, 44	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) )
46		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ -. j e. Prime ) -> -. j e. Prime )
47	46	intnanrd 933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ -. j e. Prime ) -> -. ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) )
48	47	olcd 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ -. j e. Prime ) -> ( ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) \/ -. ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
49		df-dc 836	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) <-> ( ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) \/ -. ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
50	48, 49	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ -. j e. Prime ) -> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) )
51		exmiddc 837	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID j e. Prime -> ( j e. Prime \/ -. j e. Prime ) )
52	36, 51	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> ( j e. Prime \/ -. j e. Prime ) )
53	45, 50, 52	mpjaodan 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) )
54		elpreima 5650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M ` x ) Fn Prime -> ( j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
55	5, 12, 54	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
56	55	dcbid 839	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. NN -> (DECID j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> (DECID j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
58	53, 57	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> DECID j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) )
59	58	ralrimiva 2562	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> A. j e. ( 1 ... x )DECID j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) )
60		ssfidc 6951	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... x ) e. Fin /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) /\ A. j e. ( 1 ... x )DECID j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) ) -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
61	11, 32, 59, 60	syl3anc 1248	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
62		cnveq 4815	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( M ` x ) -> `' e = `' ( M ` x ) )
63	62	imaeq1d 4983	. . . . . . . 8 |- ( e = ( M ` x ) -> ( `' e " NN ) = ( `' ( M ` x ) " NN ) )
64	63	eleq1d 2257	. . . . . . 7 |- ( e = ( M ` x ) -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
65		1arith.2	. . . . . . 7 |- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }
66	64, 65	elrab2 2910	. . . . . 6 |- ( ( M ` x ) e. R <-> ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
67	8, 61, 66	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. R )
68	67	rgen 2542	. . . 4 |- A. x e. NN ( M ` x ) e. R
69		ffnfv 5689	. . . 4 |- ( M : NN --> R <-> ( M Fn NN /\ A. x e. NN ( M ` x ) e. R ) )
70	4, 68, 69	mpbir2an 943	. . 3 |- M : NN --> R
71	15	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
72	3	1arithlem2 12379	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
73	72	adantll 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
74	71, 73	eqeq12d 2203	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
75	74	ralbidva 2485	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
76	3	1arithlem3 12380	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( M ` y ) : Prime --> NN0 )
77		ffn 5379	. . . . . . . 8 |- ( ( M ` y ) : Prime --> NN0 -> ( M ` y ) Fn Prime )
78		eqfnfv 5628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ` x ) Fn Prime /\ ( M ` y ) Fn Prime ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
79	12, 77, 78	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 /\ ( M ` y ) : Prime --> NN0 ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
80	5, 76, 79	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
81		nnnn0 9200	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
82		nnnn0 9200	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
83		pc11 12347	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
84	81, 82, 83	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
85	75, 80, 84	3bitr4d 220	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> x = y ) )
86	85	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) )
87	86	rgen2 2575	. . 3 |- A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y )
88		dff13 5784	. . 3 |- ( M : NN -1-1-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) ) )
89	70, 87, 88	mpbir2an 943	. 2 |- M : NN -1-1-> R
90		eqid 2188	. . . . . 6 |- ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) ) = ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) )
91		cnveq 4815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = f -> `' e = `' f )
92	91	imaeq1d 4983	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = f -> ( `' e " NN ) = ( `' f " NN ) )
93	92	eleq1d 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' f " NN ) e. Fin ) )
94	93, 65	elrab2 2910	. . . . . . . . 9 |- ( f e. R <-> ( f e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) )
95	94	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( f e. R -> f e. ( NN0 ^m Prime ) )
96	6, 1	elmap 6694	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( NN0 ^m Prime ) <-> f : Prime --> NN0 )
97	95, 96	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( f e. R -> f : Prime --> NN0 )
98	97	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> f : Prime --> NN0 )
99		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> y e. NN )
100	99	peano2nnd 8951	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> ( y + 1 ) e. NN )
101	99	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> y e. NN )
102	101	nnred 8949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> y e. RR )
103		peano2re 8110	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
104	102, 103	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
105	23	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> q e. NN )
106	105	nnred 8949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> q e. RR )
107	102	ltp1d 8904	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> y < ( y + 1 ) )
108		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( y + 1 ) <_ q )
109	102, 104, 106, 107, 108	ltletrd 8397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> y < q )
110	101	nnzd 9391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> y e. ZZ )
111	17	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> q e. ZZ )
112		zltnle 9316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( y < q <-> -. q <_ y ) )
113	110, 111, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( y < q <-> -. q <_ y ) )
114	109, 113	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> -. q <_ y )
115		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> q e. Prime )
116	115	biantrurd 305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
117	97	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> f : Prime --> NN0 )
118		ffn 5379	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : Prime --> NN0 -> f Fn Prime )
119		elpreima 5650	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn Prime -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
120	117, 118, 119	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
121	116, 120	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> q e. ( `' f " NN ) ) )
122		breq1 4020	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = q -> ( k <_ y <-> q <_ y ) )
123	122	rspccv 2852	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
124	123	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
125	121, 124	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN -> q <_ y ) )
126	114, 125	mtod 664	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> -. ( f ` q ) e. NN )
127	117, 115	ffvelcdmd 5667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) e. NN0 )
128		elnn0 9195	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` q ) e. NN0 <-> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
129	127, 128	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
130	129	ord 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( -. ( f ` q ) e. NN -> ( f ` q ) = 0 ) )
131	126, 130	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) = 0 )
132	3, 90, 98, 100, 131	1arithlem4 12381	. . . . 5 |- ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
133		cnvimass 5005	. . . . . . 7 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
134	97	fdmd 5386	. . . . . . . 8 |- ( f e. R -> dom f = Prime )
135		prmssnn 12129	. . . . . . . 8 |- Prime C_ NN
136	134, 135	eqsstrdi 3221	. . . . . . 7 |- ( f e. R -> dom f C_ NN )
137	133, 136	sstrid 3180	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) C_ NN )
138	94	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) e. Fin )
139		fiubnn 10827	. . . . . 6 |- ( ( ( `' f " NN ) C_ NN /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) -> E. y e. NN A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
140	137, 138, 139	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( f e. R -> E. y e. NN A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
141	132, 140	r19.29a 2632	. . . 4 |- ( f e. R -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
142	141	rgen 2542	. . 3 |- A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x )
143		dffo3 5678	. . 3 |- ( M : NN -onto-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x ) ) )
144	70, 142, 143	mpbir2an 943	. 2 |- M : NN -onto-> R
145		df-f1o 5237	. 2 |- ( M : NN -1-1-onto-> R <-> ( M : NN -1-1-> R /\ M : NN -onto-> R ) )
146	89, 144, 145	mpbir2an 943	1 |- M : NN -1-1-onto-> R

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363   e. wcel 2159   A.wral 2467   E.wrex 2468   {crab 2471   C_ wss 3143   ifcif 3548   class class class wbr 4017   |-> cmpt 4078   `'ccnv 4639   dom cdm 4640   "cima 4643   Fn wfn 5225   -->wf 5226   -1-1->wf1 5227   -onto->wfo 5228   -1-1-onto->wf1o 5229   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   ^m cmap 6665   Fincfn 6757   RRcr 7827   0cc0 7828   1c1 7829   + caddc 7831   < clt 8009   <_ cle 8010   NNcn 8936   NN0cn0 9193   ZZcz 9270   ZZ>=cuz 9545   ...cfz 10025   ^cexp 10536   || cdvds 11811   Primecprime 12124   pCnt cpc 12301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-isom 5239  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-1o 6434  df-2o 6435  df-er 6552  df-map 6667  df-en 6758  df-fin 6760  df-sup 7000  df-inf 7001  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-xnn0 9257  df-z 9271  df-uz 9546  df-q 9637  df-rp 9671  df-fz 10026  df-fzo 10160  df-fl 10287  df-mod 10340  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025  df-dvds 11812  df-gcd 11961  df-prm 12125  df-pc 12302

This theorem is referenced by:  1arith2  12383