Theorem 1arith 13090

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function M maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations R. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	|- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
1arith.2	|- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
1arith	|- M : NN -1-1-onto-> R

Distinct variable groups:   e, n, p   e, M   R, n

Allowed substitution hints:   R( e, p)   M( n, p)

Proof of Theorem 1arith

Dummy variables f g k q x y j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmex 12835	. . . . . 6 |- Prime e. _V
2	1	mptex 5917	. . . . 5 |- ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) e. _V
3		1arith.1	. . . . 5 |- M = ( n e. NN |-> ( p e. Prime |-> ( p pCnt n ) ) )
4	2, 3	fnmpti 5492	. . . 4 |- M Fn NN
5	3	1arithlem3 13088	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
6		nn0ex 9519	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
7	6, 1	elmap 6924	. . . . . . 7 |- ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) <-> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
8	5, 7	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) )
9		1zzd 9621	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> 1 e. ZZ )
10		nnz 9613	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
11	9, 10	fzfigd 10817	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( 1 ... x ) e. Fin )
12		ffn 5513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 -> ( M ` x ) Fn Prime )
13		elpreima 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` x ) Fn Prime -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
14	5, 12, 13	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) ) )
15	3	1arithlem2 13087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
16	15	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN <-> ( q pCnt x ) e. NN ) )
17		prmz 12833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
18		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. NN )
19		dvdsle 12555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ZZ /\ x e. NN ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
20	17, 18, 19	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q || x -> q <_ x ) )
21		pcelnn 13044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. Prime /\ x e. NN ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
22	21	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN <-> q || x ) )
23		prmnn 12832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
24		nnuz 9908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
25	23, 24	eleqtrdi 2327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26		elfz5 10370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ x e. ZZ ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
27	25, 10, 26	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( q e. ( 1 ... x ) <-> q <_ x ) )
28	20, 22, 27	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( q pCnt x ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
29	16, 28	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) e. NN -> q e. ( 1 ... x ) ) )
30	29	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( ( q e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` q ) e. NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
31	14, 30	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN -> ( q e. ( `' ( M ` x ) " NN ) -> q e. ( 1 ... x ) ) )
32	31	ssrdv 3248	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) )
33		elfznn 10409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 1 ... x ) -> j e. NN )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> j e. NN )
35		prmdc 12852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> DECID j e. Prime )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> DECID j e. Prime )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> DECID j e. Prime )
38	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> ( M ` x ) : Prime --> NN0 )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> j e. Prime )
40	38, 39	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` j ) e. NN0 )
41	40	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` j ) e. ZZ )
42		elnndc 9962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M ` x ) ` j ) e. ZZ -> DECID ( ( M ` x ) ` j ) e. NN )
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> DECID ( ( M ` x ) ` j ) e. NN )
44		dcan2 943	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID j e. Prime -> (DECID ( ( M ` x ) ` j ) e. NN -> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
45	37, 43, 44	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ j e. Prime ) -> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) )
46		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ -. j e. Prime ) -> -. j e. Prime )
47	46	intnanrd 940	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ -. j e. Prime ) -> -. ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) )
48	47	olcd 742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ -. j e. Prime ) -> ( ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) \/ -. ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
49		df-dc 843	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) <-> ( ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) \/ -. ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
50	48, 49	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) /\ -. j e. Prime ) -> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) )
51		exmiddc 844	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID j e. Prime -> ( j e. Prime \/ -. j e. Prime ) )
52	36, 51	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> ( j e. Prime \/ -. j e. Prime ) )
53	45, 50, 52	mpjaodan 806	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) )
54		elpreima 5802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M ` x ) Fn Prime -> ( j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
55	5, 12, 54	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> ( j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
56	55	dcbid 846	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. NN -> (DECID j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> (DECID j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) <-> DECID ( j e. Prime /\ ( ( M ` x ) ` j ) e. NN ) ) )
58	53, 57	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ j e. ( 1 ... x ) ) -> DECID j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) )
59	58	ralrimiva 2617	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> A. j e. ( 1 ... x )DECID j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) )
60		ssfidc 7211	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... x ) e. Fin /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) C_ ( 1 ... x ) /\ A. j e. ( 1 ... x )DECID j e. ( `' ( M ` x ) " NN ) ) -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
61	11, 32, 59, 60	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin )
62		cnveq 4934	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( M ` x ) -> `' e = `' ( M ` x ) )
63	62	imaeq1d 5105	. . . . . . . 8 |- ( e = ( M ` x ) -> ( `' e " NN ) = ( `' ( M ` x ) " NN ) )
64	63	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( e = ( M ` x ) -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
65		1arith.2	. . . . . . 7 |- R = { e e. ( NN0 ^m Prime ) | ( `' e " NN ) e. Fin }
66	64, 65	elrab2 2979	. . . . . 6 |- ( ( M ` x ) e. R <-> ( ( M ` x ) e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' ( M ` x ) " NN ) e. Fin ) )
67	8, 61, 66	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( x e. NN -> ( M ` x ) e. R )
68	67	rgen 2597	. . . 4 |- A. x e. NN ( M ` x ) e. R
69		ffnfv 5840	. . . 4 |- ( M : NN --> R <-> ( M Fn NN /\ A. x e. NN ( M ` x ) e. R ) )
70	4, 68, 69	mpbir2an 951	. . 3 |- M : NN --> R
71	15	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` x ) ` q ) = ( q pCnt x ) )
72	3	1arithlem2 13087	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
73	72	adantll 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( M ` y ) ` q ) = ( q pCnt y ) )
74	71, 73	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. NN /\ y e. NN ) /\ q e. Prime ) -> ( ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
75	74	ralbidva 2540	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
76	3	1arithlem3 13088	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( M ` y ) : Prime --> NN0 )
77		ffn 5513	. . . . . . . 8 |- ( ( M ` y ) : Prime --> NN0 -> ( M ` y ) Fn Prime )
78		eqfnfv 5780	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ` x ) Fn Prime /\ ( M ` y ) Fn Prime ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
79	12, 77, 78	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ` x ) : Prime --> NN0 /\ ( M ` y ) : Prime --> NN0 ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
80	5, 76, 79	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> A. q e. Prime ( ( M ` x ) ` q ) = ( ( M ` y ) ` q ) ) )
81		nnnn0 9520	. . . . . . 7 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
82		nnnn0 9520	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y e. NN0 )
83		pc11 13054	. . . . . . 7 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
84	81, 82, 83	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x = y <-> A. q e. Prime ( q pCnt x ) = ( q pCnt y ) ) )
85	75, 80, 84	3bitr4d 220	. . . . 5 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) <-> x = y ) )
86	85	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) )
87	86	rgen2 2630	. . 3 |- A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y )
88		dff13 5947	. . 3 |- ( M : NN -1-1-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. x e. NN A. y e. NN ( ( M ` x ) = ( M ` y ) -> x = y ) ) )
89	70, 87, 88	mpbir2an 951	. 2 |- M : NN -1-1-> R
90		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) ) = ( g e. NN |-> if ( g e. Prime , ( g ^ ( f ` g ) ) , 1 ) )
91		cnveq 4934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = f -> `' e = `' f )
92	91	imaeq1d 5105	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = f -> ( `' e " NN ) = ( `' f " NN ) )
93	92	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( ( `' e " NN ) e. Fin <-> ( `' f " NN ) e. Fin ) )
94	93, 65	elrab2 2979	. . . . . . . . 9 |- ( f e. R <-> ( f e. ( NN0 ^m Prime ) /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) )
95	94	simplbi 274	. . . . . . . 8 |- ( f e. R -> f e. ( NN0 ^m Prime ) )
96	6, 1	elmap 6924	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( NN0 ^m Prime ) <-> f : Prime --> NN0 )
97	95, 96	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( f e. R -> f : Prime --> NN0 )
98	97	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> f : Prime --> NN0 )
99		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> y e. NN )
100	99	peano2nnd 9269	. . . . . 6 |- ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> ( y + 1 ) e. NN )
101	99	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> y e. NN )
102	101	nnred 9267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> y e. RR )
103		peano2re 8425	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
104	102, 103	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
105	23	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> q e. NN )
106	105	nnred 9267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> q e. RR )
107	102	ltp1d 9221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> y < ( y + 1 ) )
108		simprr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( y + 1 ) <_ q )
109	102, 104, 106, 107, 108	ltletrd 8714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> y < q )
110	101	nnzd 9717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> y e. ZZ )
111	17	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> q e. ZZ )
112		zltnle 9640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( y < q <-> -. q <_ y ) )
113	110, 111, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( y < q <-> -. q <_ y ) )
114	109, 113	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> -. q <_ y )
115		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> q e. Prime )
116	115	biantrurd 305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
117	97	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> f : Prime --> NN0 )
118		ffn 5513	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : Prime --> NN0 -> f Fn Prime )
119		elpreima 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn Prime -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
120	117, 118, 119	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) <-> ( q e. Prime /\ ( f ` q ) e. NN ) ) )
121	116, 120	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN <-> q e. ( `' f " NN ) ) )
122		breq1 4117	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = q -> ( k <_ y <-> q <_ y ) )
123	122	rspccv 2920	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
124	123	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( q e. ( `' f " NN ) -> q <_ y ) )
125	121, 124	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN -> q <_ y ) )
126	114, 125	mtod 669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> -. ( f ` q ) e. NN )
127	117, 115	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) e. NN0 )
128		elnn0 9515	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` q ) e. NN0 <-> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
129	127, 128	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( ( f ` q ) e. NN \/ ( f ` q ) = 0 ) )
130	129	ord 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( -. ( f ` q ) e. NN -> ( f ` q ) = 0 ) )
131	126, 130	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) /\ ( q e. Prime /\ ( y + 1 ) <_ q ) ) -> ( f ` q ) = 0 )
132	3, 90, 98, 100, 131	1arithlem4 13089	. . . . 5 |- ( ( ( f e. R /\ y e. NN ) /\ A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y ) -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
133		cnvimass 5130	. . . . . . 7 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
134	97	fdmd 5520	. . . . . . . 8 |- ( f e. R -> dom f = Prime )
135		prmssnn 12834	. . . . . . . 8 |- Prime C_ NN
136	134, 135	eqsstrdi 3294	. . . . . . 7 |- ( f e. R -> dom f C_ NN )
137	133, 136	sstrid 3253	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) C_ NN )
138	94	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( f e. R -> ( `' f " NN ) e. Fin )
139		fiubnn 11222	. . . . . 6 |- ( ( ( `' f " NN ) C_ NN /\ ( `' f " NN ) e. Fin ) -> E. y e. NN A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
140	137, 138, 139	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( f e. R -> E. y e. NN A. k e. ( `' f " NN ) k <_ y )
141	132, 140	r19.29a 2688	. . . 4 |- ( f e. R -> E. x e. NN f = ( M ` x ) )
142	141	rgen 2597	. . 3 |- A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x )
143		dffo3 5829	. . 3 |- ( M : NN -onto-> R <-> ( M : NN --> R /\ A. f e. R E. x e. NN f = ( M ` x ) ) )
144	70, 142, 143	mpbir2an 951	. 2 |- M : NN -onto-> R
145		df-f1o 5364	. 2 |- ( M : NN -1-1-onto-> R <-> ( M : NN -1-1-> R /\ M : NN -onto-> R ) )
146	89, 144, 145	mpbir2an 951	1 |- M : NN -1-1-onto-> R

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   C_ wss 3214   ifcif 3624   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   `'ccnv 4753   dom cdm 4754   "cima 4757   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -1-1->wf1 5354   -onto->wfo 5355   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   Fincfn 6988   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   ^cexp 10924   || cdvds 12498   Primecprime 12829   pCnt cpc 13007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-xnn0 9581  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830  df-pc 13008

This theorem is referenced by:  1arith2  13091