Theorem toponsspwpwg 12228

Description: The set of topologies on a set is included in the double power set of that set. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
toponsspwpwg	|- ( A e. V -> (TopOn ` A ) C_ ~P ~P A )

Proof of Theorem toponsspwpwg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2700	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		rabssab 3189	. . . . . 6 |- { y e. Top | A = U. y } C_ { y | A = U. y }
3		eqcom 2142	. . . . . . 7 |- ( A = U. y <-> U. y = A )
4	3	abbii 2256	. . . . . 6 |- { y | A = U. y } = { y | U. y = A }
5	2, 4	sseqtri 3136	. . . . 5 |- { y e. Top | A = U. y } C_ { y | U. y = A }
6		pwpwssunieq 3909	. . . . 5 |- { y | U. y = A } C_ ~P ~P A
7	5, 6	sstri 3111	. . . 4 |- { y e. Top | A = U. y } C_ ~P ~P A
8		pwexg 4112	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
9	8	pwexd 4113	. . . 4 |- ( A e. V -> ~P ~P A e. _V )
10		ssexg 4075	. . . 4 |- ( ( { y e. Top | A = U. y } C_ ~P ~P A /\ ~P ~P A e. _V ) -> { y e. Top | A = U. y } e. _V )
11	7, 9, 10	sylancr 411	. . 3 |- ( A e. V -> { y e. Top | A = U. y } e. _V )
12		eqeq1 2147	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x = U. y <-> A = U. y ) )
13	12	rabbidv 2678	. . . 4 |- ( x = A -> { y e. Top | x = U. y } = { y e. Top | A = U. y } )
14		df-topon 12217	. . . 4 |- TopOn = ( x e. _V |-> { y e. Top | x = U. y } )
15	13, 14	fvmptg 5505	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ { y e. Top | A = U. y } e. _V ) -> (TopOn ` A ) = { y e. Top | A = U. y } )
16	1, 11, 15	syl2anc 409	. 2 |- ( A e. V -> (TopOn ` A ) = { y e. Top | A = U. y } )
17	16, 7	eqsstrdi 3154	1 |- ( A e. V -> (TopOn ` A ) C_ ~P ~P A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   {crab 2421   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   U.cuni 3744   ` cfv 5131   Topctop 12203  TopOnctopon 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-topon 12217

This theorem is referenced by: (None)