Theorem cnprcl2k 12846

Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnprcl2k	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )

Proof of Theorem cnprcl2k

Dummy variables x f g j k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 12652	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2	1	3ad2ant1 1008	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. Top )
3		simp2 988	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
4		uniexg 4417	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. J e. _V )
5	4	3ad2ant1 1008	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> U. J e. _V )
6		mptexg 5710	. . . . . . 7 |- ( U. J e. _V -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
8		unieq 3798	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> U. j = U. J )
9	8	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( U. k ^m U. j ) = ( U. k ^m U. J ) )
10		rexeq 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = J -> ( E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) <-> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) )
11	10	imbi2d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( j = J -> ( ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2466	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
13	9, 12	rabeqbidv 2721	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } = { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
14	8, 13	mpteq12dv 4064	. . . . . . 7 |- ( j = J -> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
15		unieq 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> U. k = U. K )
16	15	oveq1d 5857	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( U. k ^m U. J ) = ( U. K ^m U. J ) )
17		raleq 2661	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
18	16, 17	rabeqbidv 2721	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
19	18	mpteq2dv 4073	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
20		df-cnp 12829	. . . . . . 7 |- CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
21	14, 19, 20	ovmpog 5976	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V ) -> ( J CnP K ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
22	2, 3, 7, 21	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
23	22	dmeqd 4806	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) = dom ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
24		eqid 2165	. . . . 5 |- ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
25	24	dmmptss 5100	. . . 4 |- dom ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) C_ U. J
26	23, 25	eqsstrdi 3194	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) C_ U. J )
27		toponuni 12653	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
28	27	3ad2ant1 1008	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> X = U. J )
29	26, 28	sseqtrrd 3181	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) C_ X )
30		mptrel 4732	. . . 4 |- Rel ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
31	22	releqd 4688	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( Rel ( J CnP K ) <-> Rel ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) ) )
32	30, 31	mpbiri 167	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> Rel ( J CnP K ) )
33		simp3 989	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
34		relelfvdm 5518	. . 3 |- ( ( Rel ( J CnP K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 409	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
36	29, 35	sseldd 3143	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   U.cuni 3789   |-> cmpt 4043   dom cdm 4604   "cima 4607   Rel wrel 4609   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   CnP ccnp 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-topon 12649  df-cnp 12829

This theorem is referenced by:  cnpf2  12847  cnptopco  12862  cncnp  12870  cnptoprest2  12880  metcnpi  13155  metcnpi2  13156  metcnpi3  13157  limccnpcntop  13284  limccnp2lem  13285  limccnp2cntop  13286