ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnprcl2k Unicode version

Theorem cnprcl2k 12405
Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnprcl2k  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  X )

Proof of Theorem cnprcl2k
Dummy variables  x  f  g  j  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 12211 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
213ad2ant1 1003 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  Top )
3 simp2 983 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  Top )
4 uniexg 4365 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. J  e. 
_V )
543ad2ant1 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  U. J  e. 
_V )
6 mptexg 5649 . . . . . . 7  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )  e. 
_V )
75, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )  e. 
_V )
8 unieq 3749 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
98oveq2d 5794 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( U. k  ^m  U. j
)  =  ( U. k  ^m  U. J ) )
10 rexeq 2628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  ( E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
)  <->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) )
1110imbi2d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) )  <->  ( (
f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) ) )
1211ralbidv 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( A. y  e.  k 
( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) )  <->  A. y  e.  k  ( (
f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) ) )
139, 12rabeqbidv 2682 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  =  { f  e.  ( U. k  ^m  U. J )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )
148, 13mpteq12dv 4014 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } )  =  ( x  e. 
U. J  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) )
15 unieq 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  U. k  =  U. K )
1615oveq1d 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( U. k  ^m  U. J
)  =  ( U. K  ^m  U. J ) )
17 raleq 2627 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  k 
( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) ) )
1816, 17rabeqbidv 2682 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) }  =  {
f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } )
1918mpteq2dv 4023 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. J )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )  =  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) )
20 df-cnp 12388 . . . . . . 7  |-  CnP  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) )
2114, 19, 20ovmpog 5909 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  (
x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )  e. 
_V )  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) )
222, 3, 7, 21syl3anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) )
2322dmeqd 4745 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  dom  ( J  CnP  K )  =  dom  ( x  e. 
U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) )
24 eqid 2140 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } )  =  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )
2524dmmptss 5039 . . . 4  |-  dom  (
x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )  C_  U. J
2623, 25eqsstrdi 3150 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  dom  ( J  CnP  K )  C_  U. J )
27 toponuni 12212 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
28273ad2ant1 1003 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  X  =  U. J )
2926, 28sseqtrrd 3137 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  dom  ( J  CnP  K )  C_  X )
30 mptrel 4671 . . . 4  |-  Rel  (
x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )
3122releqd 4627 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( Rel  ( J  CnP  K )  <->  Rel  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) ) )
3230, 31mpbiri 167 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  Rel  ( J  CnP  K ) )
33 simp3 984 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
34 relelfvdm 5457 . . 3  |-  ( ( Rel  ( J  CnP  K )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  dom  ( J  CnP  K
) )
3532, 33, 34syl2anc 409 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  dom  ( J  CnP  K
) )
3629, 35sseldd 3099 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   _Vcvv 2687    C_ wss 3072   U.cuni 3740    |-> cmpt 3993   dom cdm 4543   "cima 4546   Rel wrel 4548   ` cfv 5127  (class class class)co 5778    ^m cmap 6546   Topctop 12194  TopOnctopon 12207    CnP ccnp 12385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-topon 12208  df-cnp 12388
This theorem is referenced by:  cnpf2  12406  cnptopco  12421  cncnp  12429  cnptoprest2  12439  metcnpi  12714  metcnpi2  12715  metcnpi3  12716  limccnpcntop  12843  limccnp2lem  12844  limccnp2cntop  12845
  Copyright terms: Public domain W3C validator