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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cnprcl2k | Unicode version |
Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.) |
Ref | Expression |
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cnprcl2k |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | topontop 11963 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | 3ad2ant1 970 |
. . . . . 6
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3 | simp2 950 |
. . . . . 6
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4 | uniexg 4299 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | 3ad2ant1 970 |
. . . . . . 7
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6 | mptexg 5577 |
. . . . . . 7
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7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . . . 6
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8 | unieq 3692 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | oveq2d 5722 |
. . . . . . . . 9
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10 | rexeq 2585 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 10 | imbi2d 229 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 11 | ralbidv 2396 |
. . . . . . . . 9
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13 | 9, 12 | rabeqbidv 2636 |
. . . . . . . 8
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14 | 8, 13 | mpteq12dv 3950 |
. . . . . . 7
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15 | unieq 3692 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | oveq1d 5721 |
. . . . . . . . 9
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17 | raleq 2584 |
. . . . . . . . 9
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18 | 16, 17 | rabeqbidv 2636 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | mpteq2dv 3959 |
. . . . . . 7
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20 | df-cnp 12140 |
. . . . . . 7
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21 | 14, 19, 20 | ovmpog 5837 |
. . . . . 6
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22 | 2, 3, 7, 21 | syl3anc 1184 |
. . . . 5
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23 | 22 | dmeqd 4679 |
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24 | eqid 2100 |
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25 | 24 | dmmptss 4971 |
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26 | 23, 25 | syl6eqss 3099 |
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27 | toponuni 11964 |
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28 | 27 | 3ad2ant1 970 |
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29 | 26, 28 | sseqtr4d 3086 |
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30 | mptrel 4605 |
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31 | 22 | releqd 4561 |
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32 | 30, 31 | mpbiri 167 |
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33 | simp3 951 |
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34 | relelfvdm 5385 |
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35 | 32, 33, 34 | syl2anc 406 |
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36 | 29, 35 | sseldd 3048 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-id 4153 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-topon 11960 df-cnp 12140 |
This theorem is referenced by: cnpf2 12157 cnptopco 12172 cncnp 12180 cnptoprest2 12190 metcnpi 12439 metcnpi2 12440 metcnpi3 12441 limccnpcntop 12520 |
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