Theorem cnprcl2k 12156

Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnprcl2k	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )

Proof of Theorem cnprcl2k

Dummy variables x f g j k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 11963	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2	1	3ad2ant1 970	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. Top )
3		simp2 950	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
4		uniexg 4299	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. J e. _V )
5	4	3ad2ant1 970	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> U. J e. _V )
6		mptexg 5577	. . . . . . 7 |- ( U. J e. _V -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
8		unieq 3692	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> U. j = U. J )
9	8	oveq2d 5722	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( U. k ^m U. j ) = ( U. k ^m U. J ) )
10		rexeq 2585	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = J -> ( E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) <-> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) )
11	10	imbi2d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( j = J -> ( ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2396	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
13	9, 12	rabeqbidv 2636	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } = { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
14	8, 13	mpteq12dv 3950	. . . . . . 7 |- ( j = J -> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
15		unieq 3692	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> U. k = U. K )
16	15	oveq1d 5721	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( U. k ^m U. J ) = ( U. K ^m U. J ) )
17		raleq 2584	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
18	16, 17	rabeqbidv 2636	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
19	18	mpteq2dv 3959	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
20		df-cnp 12140	. . . . . . 7 |- CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
21	14, 19, 20	ovmpog 5837	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V ) -> ( J CnP K ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
22	2, 3, 7, 21	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
23	22	dmeqd 4679	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) = dom ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
24		eqid 2100	. . . . 5 |- ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
25	24	dmmptss 4971	. . . 4 |- dom ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) C_ U. J
26	23, 25	syl6eqss 3099	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) C_ U. J )
27		toponuni 11964	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
28	27	3ad2ant1 970	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> X = U. J )
29	26, 28	sseqtr4d 3086	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) C_ X )
30		mptrel 4605	. . . 4 |- Rel ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
31	22	releqd 4561	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( Rel ( J CnP K ) <-> Rel ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) ) )
32	30, 31	mpbiri 167	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> Rel ( J CnP K ) )
33		simp3 951	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
34		relelfvdm 5385	. . 3 |- ( ( Rel ( J CnP K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 406	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
36	29, 35	sseldd 3048	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   {crab 2379   _Vcvv 2641   C_ wss 3021   U.cuni 3683   |-> cmpt 3929   dom cdm 4477   "cima 4480   Rel wrel 4482   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   ^m cmap 6472   Topctop 11946  TopOnctopon 11959   CnP ccnp 12137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-topon 11960  df-cnp 12140

This theorem is referenced by:  cnpf2  12157  cnptopco  12172  cncnp  12180  cnptoprest2  12190  metcnpi  12439  metcnpi2  12440  metcnpi3  12441  limccnpcntop  12520