Theorem cnprcl2k 14793

Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnprcl2k	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )

Proof of Theorem cnprcl2k

Dummy variables x f g j k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14601	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2	1	3ad2ant1 1021	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. Top )
3		simp2 1001	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
4		uniexg 4504	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. J e. _V )
5	4	3ad2ant1 1021	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> U. J e. _V )
6		mptexg 5832	. . . . . . 7 |- ( U. J e. _V -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
8		unieq 3873	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> U. j = U. J )
9	8	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( U. k ^m U. j ) = ( U. k ^m U. J ) )
10		rexeq 2706	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = J -> ( E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) <-> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( j = J -> ( ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2508	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
13	9, 12	rabeqbidv 2771	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } = { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
14	8, 13	mpteq12dv 4142	. . . . . . 7 |- ( j = J -> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
15		unieq 3873	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> U. k = U. K )
16	15	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( U. k ^m U. J ) = ( U. K ^m U. J ) )
17		raleq 2705	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
18	16, 17	rabeqbidv 2771	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
19	18	mpteq2dv 4151	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
20		df-cnp 14776	. . . . . . 7 |- CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
21	14, 19, 20	ovmpog 6103	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V ) -> ( J CnP K ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
22	2, 3, 7, 21	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
23	22	dmeqd 4899	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) = dom ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
24		eqid 2207	. . . . 5 |- ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
25	24	dmmptss 5198	. . . 4 |- dom ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) C_ U. J
26	23, 25	eqsstrdi 3253	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) C_ U. J )
27		toponuni 14602	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
28	27	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> X = U. J )
29	26, 28	sseqtrrd 3240	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) C_ X )
30		mptrel 4824	. . . 4 |- Rel ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
31	22	releqd 4777	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( Rel ( J CnP K ) <-> Rel ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) ) )
32	30, 31	mpbiri 168	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> Rel ( J CnP K ) )
33		simp3 1002	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
34		relelfvdm 5631	. . 3 |- ( ( Rel ( J CnP K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
36	29, 35	sseldd 3202	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   {crab 2490   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   U.cuni 3864   |-> cmpt 4121   dom cdm 4693   "cima 4696   Rel wrel 4698   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ^m cmap 6758   Topctop 14584  TopOnctopon 14597   CnP ccnp 14773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-topon 14598  df-cnp 14776

This theorem is referenced by:  cnpf2  14794  cnptopco  14809  cncnp  14817  cnptoprest2  14827  metcnpi  15102  metcnpi2  15103  metcnpi3  15104  limccnpcntop  15262  limccnp2lem  15263  limccnp2cntop  15264