Theorem cnprcl2k 14880

Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnprcl2k	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )

Proof of Theorem cnprcl2k

Dummy variables x f g j k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14688	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2	1	3ad2ant1 1042	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. Top )
3		simp2 1022	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
4		uniexg 4530	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. J e. _V )
5	4	3ad2ant1 1042	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> U. J e. _V )
6		mptexg 5864	. . . . . . 7 |- ( U. J e. _V -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
8		unieq 3897	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> U. j = U. J )
9	8	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( U. k ^m U. j ) = ( U. k ^m U. J ) )
10		rexeq 2729	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = J -> ( E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) <-> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( j = J -> ( ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2530	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
13	9, 12	rabeqbidv 2794	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } = { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
14	8, 13	mpteq12dv 4166	. . . . . . 7 |- ( j = J -> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
15		unieq 3897	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> U. k = U. K )
16	15	oveq1d 6016	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( U. k ^m U. J ) = ( U. K ^m U. J ) )
17		raleq 2728	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
18	16, 17	rabeqbidv 2794	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
19	18	mpteq2dv 4175	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
20		df-cnp 14863	. . . . . . 7 |- CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
21	14, 19, 20	ovmpog 6139	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V ) -> ( J CnP K ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
22	2, 3, 7, 21	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
23	22	dmeqd 4925	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) = dom ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
24		eqid 2229	. . . . 5 |- ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
25	24	dmmptss 5225	. . . 4 |- dom ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) C_ U. J
26	23, 25	eqsstrdi 3276	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) C_ U. J )
27		toponuni 14689	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
28	27	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> X = U. J )
29	26, 28	sseqtrrd 3263	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) C_ X )
30		mptrel 4850	. . . 4 |- Rel ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
31	22	releqd 4803	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( Rel ( J CnP K ) <-> Rel ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) ) )
32	30, 31	mpbiri 168	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> Rel ( J CnP K ) )
33		simp3 1023	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
34		relelfvdm 5659	. . 3 |- ( ( Rel ( J CnP K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
36	29, 35	sseldd 3225	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   U.cuni 3888   |-> cmpt 4145   dom cdm 4719   "cima 4722   Rel wrel 4724   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   ^m cmap 6795   Topctop 14671  TopOnctopon 14684   CnP ccnp 14860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-topon 14685  df-cnp 14863

This theorem is referenced by:  cnpf2  14881  cnptopco  14896  cncnp  14904  cnptoprest2  14914  metcnpi  15189  metcnpi2  15190  metcnpi3  15191  limccnpcntop  15349  limccnp2lem  15350  limccnp2cntop  15351