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Theorem cnprcl2k 14103
Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnprcl2k  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  X )

Proof of Theorem cnprcl2k
Dummy variables  x  f  g  j  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 13911 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
213ad2ant1 1020 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  J  e.  Top )
3 simp2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  K  e.  Top )
4 uniexg 4454 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. J  e. 
_V )
543ad2ant1 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  U. J  e. 
_V )
6 mptexg 5757 . . . . . . 7  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )  e. 
_V )
75, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )  e. 
_V )
8 unieq 3833 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
98oveq2d 5907 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( U. k  ^m  U. j
)  =  ( U. k  ^m  U. J ) )
10 rexeq 2687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  ( E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
)  <->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) )
1110imbi2d 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) )  <->  ( (
f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) ) )
1211ralbidv 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( A. y  e.  k 
( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) )  <->  A. y  e.  k  ( (
f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) ) )
139, 12rabeqbidv 2747 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  j  ( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) }  =  { f  e.  ( U. k  ^m  U. J )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )
148, 13mpteq12dv 4100 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } )  =  ( x  e. 
U. J  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) )
15 unieq 3833 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  U. k  =  U. K )
1615oveq1d 5906 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( U. k  ^m  U. J
)  =  ( U. K  ^m  U. J ) )
17 raleq 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  k 
( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) ) )
1816, 17rabeqbidv 2747 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  k  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) }  =  {
f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } )
1918mpteq2dv 4109 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. J )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )  =  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) )
20 df-cnp 14086 . . . . . . 7  |-  CnP  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  ( x  e.  U. j  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  j 
( x  e.  g  /\  ( f "
g )  C_  y
) ) } ) )
2114, 19, 20ovmpog 6026 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  (
x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )  e. 
_V )  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) )
222, 3, 7, 21syl3anc 1249 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( J  CnP  K )  =  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) )
2322dmeqd 4844 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  dom  ( J  CnP  K )  =  dom  ( x  e. 
U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  K  ( ( f `  x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) )
24 eqid 2189 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( ( f `
 x )  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  (
f " g ) 
C_  y ) ) } )  =  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )
2524dmmptss 5140 . . . 4  |-  dom  (
x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )  C_  U. J
2623, 25eqsstrdi 3222 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  dom  ( J  CnP  K )  C_  U. J )
27 toponuni 13912 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
28273ad2ant1 1020 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  X  =  U. J )
2926, 28sseqtrrd 3209 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  dom  ( J  CnP  K )  C_  X )
30 mptrel 4770 . . . 4  |-  Rel  (
x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } )
3122releqd 4725 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  ( Rel  ( J  CnP  K )  <->  Rel  ( x  e.  U. J  |->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  (
( f `  x
)  e.  y  ->  E. g  e.  J  ( x  e.  g  /\  ( f " g
)  C_  y )
) } ) ) )
3230, 31mpbiri 168 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  Rel  ( J  CnP  K ) )
33 simp3 1001 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
34 relelfvdm 5562 . . 3  |-  ( ( Rel  ( J  CnP  K )  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  dom  ( J  CnP  K
) )
3532, 33, 34syl2anc 411 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  dom  ( J  CnP  K
) )
3629, 35sseldd 3171 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  P  e.  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   {crab 2472   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   U.cuni 3824    |-> cmpt 4079   dom cdm 4641   "cima 4644   Rel wrel 4646   ` cfv 5231  (class class class)co 5891    ^m cmap 6666   Topctop 13894  TopOnctopon 13907    CnP ccnp 14083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-topon 13908  df-cnp 14086
This theorem is referenced by:  cnpf2  14104  cnptopco  14119  cncnp  14127  cnptoprest2  14137  metcnpi  14412  metcnpi2  14413  metcnpi3  14414  limccnpcntop  14541  limccnp2lem  14542  limccnp2cntop  14543
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