Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnprcl2k Unicode version

Theorem cnprcl2k 12405
 Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
cnprcl2k TopOn

Proof of Theorem cnprcl2k
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 12211 . . . . . . 7 TopOn
213ad2ant1 1003 . . . . . 6 TopOn
3 simp2 983 . . . . . 6 TopOn
4 uniexg 4365 . . . . . . . 8 TopOn
543ad2ant1 1003 . . . . . . 7 TopOn
6 mptexg 5649 . . . . . . 7
75, 6syl 14 . . . . . 6 TopOn
8 unieq 3749 . . . . . . . 8
98oveq2d 5794 . . . . . . . . 9
10 rexeq 2628 . . . . . . . . . . 11
1110imbi2d 229 . . . . . . . . . 10
1211ralbidv 2438 . . . . . . . . 9
139, 12rabeqbidv 2682 . . . . . . . 8
148, 13mpteq12dv 4014 . . . . . . 7
15 unieq 3749 . . . . . . . . . 10
1615oveq1d 5793 . . . . . . . . 9
17 raleq 2627 . . . . . . . . 9
1816, 17rabeqbidv 2682 . . . . . . . 8
1918mpteq2dv 4023 . . . . . . 7
20 df-cnp 12388 . . . . . . 7
2114, 19, 20ovmpog 5909 . . . . . 6
222, 3, 7, 21syl3anc 1217 . . . . 5 TopOn
2322dmeqd 4745 . . . 4 TopOn
24 eqid 2140 . . . . 5
2524dmmptss 5039 . . . 4
2623, 25eqsstrdi 3150 . . 3 TopOn
27 toponuni 12212 . . . 4 TopOn
28273ad2ant1 1003 . . 3 TopOn
2926, 28sseqtrrd 3137 . 2 TopOn
30 mptrel 4671 . . . 4
3122releqd 4627 . . . 4 TopOn
3230, 31mpbiri 167 . . 3 TopOn
33 simp3 984 . . 3 TopOn
34 relelfvdm 5457 . . 3
3532, 33, 34syl2anc 409 . 2 TopOn
3629, 35sseldd 3099 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  crab 2421  cvv 2687   wss 3072  cuni 3740   cmpt 3993   cdm 4543  cima 4546   wrel 4548  cfv 5127  (class class class)co 5778   cmap 6546  ctop 12194  TopOnctopon 12207   ccnp 12385 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-topon 12208  df-cnp 12388 This theorem is referenced by:  cnpf2  12406  cnptopco  12421  cncnp  12429  cnptoprest2  12439  metcnpi  12714  metcnpi2  12715  metcnpi3  12716  limccnpcntop  12843  limccnp2lem  12844  limccnp2cntop  12845
 Copyright terms: Public domain W3C validator