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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cnprcl2k | Unicode version |
Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.) |
Ref | Expression |
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cnprcl2k |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | topontop 13911 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . 6
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3 | simp2 1000 |
. . . . . 6
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4 | uniexg 4454 |
. . . . . . . 8
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5 | 4 | 3ad2ant1 1020 |
. . . . . . 7
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6 | mptexg 5757 |
. . . . . . 7
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7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . . . 6
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8 | unieq 3833 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | oveq2d 5907 |
. . . . . . . . 9
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10 | rexeq 2687 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 10 | imbi2d 230 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 11 | ralbidv 2490 |
. . . . . . . . 9
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13 | 9, 12 | rabeqbidv 2747 |
. . . . . . . 8
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14 | 8, 13 | mpteq12dv 4100 |
. . . . . . 7
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15 | unieq 3833 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | oveq1d 5906 |
. . . . . . . . 9
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17 | raleq 2686 |
. . . . . . . . 9
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18 | 16, 17 | rabeqbidv 2747 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | mpteq2dv 4109 |
. . . . . . 7
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20 | df-cnp 14086 |
. . . . . . 7
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21 | 14, 19, 20 | ovmpog 6026 |
. . . . . 6
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22 | 2, 3, 7, 21 | syl3anc 1249 |
. . . . 5
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23 | 22 | dmeqd 4844 |
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24 | eqid 2189 |
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25 | 24 | dmmptss 5140 |
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26 | 23, 25 | eqsstrdi 3222 |
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27 | toponuni 13912 |
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28 | 27 | 3ad2ant1 1020 |
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29 | 26, 28 | sseqtrrd 3209 |
. 2
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30 | mptrel 4770 |
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31 | 22 | releqd 4725 |
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32 | 30, 31 | mpbiri 168 |
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33 | simp3 1001 |
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34 | relelfvdm 5562 |
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35 | 32, 33, 34 | syl2anc 411 |
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36 | 29, 35 | sseldd 3171 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4308 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-topon 13908 df-cnp 14086 |
This theorem is referenced by: cnpf2 14104 cnptopco 14119 cncnp 14127 cnptoprest2 14137 metcnpi 14412 metcnpi2 14413 metcnpi3 14414 limccnpcntop 14541 limccnp2lem 14542 limccnp2cntop 14543 |
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