Theorem cnprcl2k 14103

Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cnprcl2k	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )

Proof of Theorem cnprcl2k

Dummy variables x f g j k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 13911	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2	1	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. Top )
3		simp2 1000	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> K e. Top )
4		uniexg 4454	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> U. J e. _V )
5	4	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> U. J e. _V )
6		mptexg 5757	. . . . . . 7 |- ( U. J e. _V -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V )
8		unieq 3833	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> U. j = U. J )
9	8	oveq2d 5907	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( U. k ^m U. j ) = ( U. k ^m U. J ) )
10		rexeq 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = J -> ( E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) <-> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( j = J -> ( ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2490	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
13	9, 12	rabeqbidv 2747	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } = { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
14	8, 13	mpteq12dv 4100	. . . . . . 7 |- ( j = J -> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
15		unieq 3833	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> U. k = U. K )
16	15	oveq1d 5906	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( U. k ^m U. J ) = ( U. K ^m U. J ) )
17		raleq 2686	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) ) )
18	16, 17	rabeqbidv 2747	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } = { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
19	18	mpteq2dv 4109	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( x e. U. J |-> { f e. ( U. k ^m U. J ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
20		df-cnp 14086	. . . . . . 7 |- CnP = ( j e. Top , k e. Top |-> ( x e. U. j |-> { f e. ( U. k ^m U. j ) | A. y e. k ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. j ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
21	14, 19, 20	ovmpog 6026	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) e. _V ) -> ( J CnP K ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
22	2, 3, 7, 21	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( J CnP K ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
23	22	dmeqd 4844	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) = dom ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) )
24		eqid 2189	. . . . 5 |- ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) = ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
25	24	dmmptss 5140	. . . 4 |- dom ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) C_ U. J
26	23, 25	eqsstrdi 3222	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) C_ U. J )
27		toponuni 13912	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
28	27	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> X = U. J )
29	26, 28	sseqtrrd 3209	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> dom ( J CnP K ) C_ X )
30		mptrel 4770	. . . 4 |- Rel ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } )
31	22	releqd 4725	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( Rel ( J CnP K ) <-> Rel ( x e. U. J |-> { f e. ( U. K ^m U. J ) | A. y e. K ( ( f ` x ) e. y -> E. g e. J ( x e. g /\ ( f " g ) C_ y ) ) } ) ) )
32	30, 31	mpbiri 168	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> Rel ( J CnP K ) )
33		simp3 1001	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
34		relelfvdm 5562	. . 3 |- ( ( Rel ( J CnP K ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. dom ( J CnP K ) )
36	29, 35	sseldd 3171	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. Top /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> P e. X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   {crab 2472   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   U.cuni 3824   |-> cmpt 4079   dom cdm 4641   "cima 4644   Rel wrel 4646   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   ^m cmap 6666   Topctop 13894  TopOnctopon 13907   CnP ccnp 14083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-topon 13908  df-cnp 14086

This theorem is referenced by:  cnpf2  14104  cnptopco  14119  cncnp  14127  cnptoprest2  14137  metcnpi  14412  metcnpi2  14413  metcnpi3  14414  limccnpcntop  14541  limccnp2lem  14542  limccnp2cntop  14543