Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsellemsuc Unicode version

Theorem nninfsellemsuc 13626
Description: Lemma for nninfself 13627. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemsuc  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
Distinct variable groups:    k, J    Q, k    i, k
Allowed substitution hints:    Q( i)    J( i)

Proof of Theorem nninfsellemsuc
StepHypRef Expression
1 peano2 4555 . . . . 5  |-  ( J  e.  om  ->  suc  J  e.  om )
2 nninfsellemcl 13625 . . . . . 6  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  J  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
3 el2oss1o 6391 . . . . . 6  |-  ( if ( A. k  e. 
suc  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  J  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
51, 4sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
65adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
7 iftrue 3510 . . . 4  |-  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e. 
suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
87adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
96, 8sseqtrrd 3167 . 2  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
10 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J } 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1110con3i 622 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J } 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
12 df-suc 4332 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  J  =  ( suc  J  u.  { suc  J }
)
1312raleqi 2656 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  ( suc  J  u.  { suc  J } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
14 ralunb 3288 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( suc  J  u.  { suc  J } ) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1513, 14bitri 183 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1611, 15sylnibr 667 . . . . 5  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  A. k  e.  suc  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1716iffalsed 3515 . . . 4  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
18 0ss 3432 . . . 4  |-  (/)  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )
1917, 18eqsstrdi 3180 . . 3  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2019adantl 275 . 2  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  -.  A. k  e.  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
21 nninfsellemdc 13624 . . 3  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
22 exmiddc 822 . . 3  |-  (DECID  A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  -.  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2321, 22syl 14 . 2  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  -.  A. k  e.  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
249, 20, 23mpjaodan 788 1  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698  DECID wdc 820    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435    u. cun 3100    C_ wss 3102   (/)c0 3394   ifcif 3505   {csn 3560    |-> cmpt 4026   suc csuc 4326   omcom 4550   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   1oc1o 6357   2oc2o 6358    ^m cmap 6594  ℕxnninf 7064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1o 6364  df-2o 6365  df-map 6596  df-nninf 7065
This theorem is referenced by:  nninfself  13627
  Copyright terms: Public domain W3C validator