Theorem nninfsellemsuc 13626

Description: Lemma for nninfself 13627. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemsuc	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )

Distinct variable groups:   k, J   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   J( i)

Proof of Theorem nninfsellemsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4555	. . . . 5 |- ( J e. om -> suc J e. om )
2		nninfsellemcl 13625	. . . . . 6 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
3		el2oss1o 6391	. . . . . 6 |- ( if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
5	1, 4	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
7		iftrue 3510	. . . 4 |- ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
8	7	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
9	6, 8	sseqtrrd 3167	. 2 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
10		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
11	10	con3i 622	. . . . . 6 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
12		df-suc 4332	. . . . . . . 8 |- suc suc J = ( suc J u. { suc J } )
13	12	raleqi 2656	. . . . . . 7 |- ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. ( suc J u. { suc J } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
14		ralunb 3288	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( suc J u. { suc J } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
15	13, 14	bitri 183	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
16	11, 15	sylnibr 667	. . . . 5 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
17	16	iffalsed 3515	. . . 4 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = (/) )
18		0ss 3432	. . . 4 |- (/) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
19	17, 18	eqsstrdi 3180	. . 3 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
20	19	adantl 275	. 2 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
21		nninfsellemdc 13624	. . 3 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> DECID A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
22		exmiddc 822	. . 3 |- (DECID A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
23	21, 22	syl 14	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
24	9, 20, 23	mpjaodan 788	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   u. cun 3100   C_ wss 3102   (/)c0 3394   ifcif 3505   {csn 3560   |-> cmpt 4026   suc csuc 4326   omcom 4550   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   1oc1o 6357   2oc2o 6358   ^m cmap 6594  ℕ_∞xnninf 7064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1o 6364  df-2o 6365  df-map 6596  df-nninf 7065

This theorem is referenced by:  nninfself  13627