Theorem nninfsellemsuc 16378

Description: Lemma for nninfself 16379. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemsuc	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )

Distinct variable groups:   k, J   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   J( i)

Proof of Theorem nninfsellemsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4687	. . . . 5 |- ( J e. om -> suc J e. om )
2		nninfsellemcl 16377	. . . . . 6 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
3		el2oss1o 6589	. . . . . 6 |- ( if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
5	1, 4	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
7		iftrue 3607	. . . 4 |- ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
9	6, 8	sseqtrrd 3263	. 2 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
10		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
11	10	con3i 635	. . . . . 6 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
12		df-suc 4462	. . . . . . . 8 |- suc suc J = ( suc J u. { suc J } )
13	12	raleqi 2732	. . . . . . 7 |- ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. ( suc J u. { suc J } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
14		ralunb 3385	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( suc J u. { suc J } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
15	13, 14	bitri 184	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
16	11, 15	sylnibr 681	. . . . 5 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
17	16	iffalsed 3612	. . . 4 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = (/) )
18		0ss 3530	. . . 4 |- (/) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
19	17, 18	eqsstrdi 3276	. . 3 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
20	19	adantl 277	. 2 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
21		nninfsellemdc 16376	. . 3 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> DECID A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
22		exmiddc 841	. . 3 |- (DECID A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
23	21, 22	syl 14	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
24	9, 20, 23	mpjaodan 803	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   u. cun 3195   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   |-> cmpt 4145   suc csuc 4456   omcom 4682   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   1oc1o 6555   2oc2o 6556   ^m cmap 6795  ℕ_∞xnninf 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1o 6562  df-2o 6563  df-map 6797  df-nninf 7287

This theorem is referenced by:  nninfself  16379