Theorem nninfsellemsuc 16790

Description: Lemma for nninfself 16791. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemsuc	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )

Distinct variable groups:   k, J   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   J( i)

Proof of Theorem nninfsellemsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4717	. . . . 5 |- ( J e. om -> suc J e. om )
2		nninfsellemcl 16789	. . . . . 6 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
3		el2oss1o 6676	. . . . . 6 |- ( if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
5	1, 4	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
7		iftrue 3627	. . . 4 |- ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
9	6, 8	sseqtrrd 3277	. 2 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
10		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
11	10	con3i 637	. . . . . 6 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
12		df-suc 4492	. . . . . . . 8 |- suc suc J = ( suc J u. { suc J } )
13	12	raleqi 2745	. . . . . . 7 |- ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. ( suc J u. { suc J } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
14		ralunb 3400	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( suc J u. { suc J } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
15	13, 14	bitri 184	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
16	11, 15	sylnibr 684	. . . . 5 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
17	16	iffalsed 3632	. . . 4 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = (/) )
18		0ss 3547	. . . 4 |- (/) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
19	17, 18	eqsstrdi 3290	. . 3 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
20	19	adantl 277	. 2 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
21		nninfsellemdc 16788	. . 3 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> DECID A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
22		exmiddc 844	. . 3 |- (DECID A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
23	21, 22	syl 14	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
24	9, 20, 23	mpjaodan 806	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   u. cun 3209   C_ wss 3211   (/)c0 3508   ifcif 3620   {csn 3689   |-> cmpt 4171   suc csuc 4486   omcom 4712   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1oc1o 6640   2oc2o 6641   ^m cmap 6882  ℕ_∞xnninf 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-nninf 7411

This theorem is referenced by:  nninfself  16791