Theorem nninfsellemsuc 16960

Description: Lemma for nninfself 16961. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemsuc	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )

Distinct variable groups:   k, J   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   J( i)

Proof of Theorem nninfsellemsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4737	. . . . 5 |- ( J e. om -> suc J e. om )
2		nninfsellemcl 16959	. . . . . 6 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
3		el2oss1o 6706	. . . . . 6 |- ( if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
5	1, 4	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
7		iftrue 3642	. . . 4 |- ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
9	6, 8	sseqtrrd 3287	. 2 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
10		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
11	10	con3i 641	. . . . . 6 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
12		df-suc 4511	. . . . . . . 8 |- suc suc J = ( suc J u. { suc J } )
13	12	raleqi 2753	. . . . . . 7 |- ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. ( suc J u. { suc J } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
14		ralunb 3410	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( suc J u. { suc J } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
15	13, 14	bitri 184	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
16	11, 15	sylnibr 688	. . . . 5 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
17	16	iffalsed 3647	. . . 4 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = (/) )
18		0ss 3561	. . . 4 |- (/) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
19	17, 18	eqsstrdi 3300	. . 3 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
20	19	adantl 277	. 2 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
21		nninfsellemdc 16958	. . 3 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> DECID A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
22		exmiddc 848	. . 3 |- (DECID A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
23	21, 22	syl 14	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
24	9, 20, 23	mpjaodan 810	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   {csn 3705   |-> cmpt 4187   suc csuc 4505   omcom 4732   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ^m cmap 6912  ℕ_∞xnninf 7449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914  df-nninf 7450

This theorem is referenced by:  nninfself  16961