Theorem nninfsellemsuc 13892

Description: Lemma for nninfself 13893. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemsuc	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )

Distinct variable groups:   k, J   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   J( i)

Proof of Theorem nninfsellemsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4572	. . . . 5 |- ( J e. om -> suc J e. om )
2		nninfsellemcl 13891	. . . . . 6 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )
3		el2oss1o 6411	. . . . . 6 |- ( if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ suc J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
5	1, 4	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ 1o )
7		iftrue 3525	. . . 4 |- ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
8	7	adantl 275	. . 3 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = 1o )
9	6, 8	sseqtrrd 3181	. 2 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
10		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
11	10	con3i 622	. . . . . 6 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
12		df-suc 4349	. . . . . . . 8 |- suc suc J = ( suc J u. { suc J } )
13	12	raleqi 2665	. . . . . . 7 |- ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. ( suc J u. { suc J } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
14		ralunb 3303	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( suc J u. { suc J } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
15	13, 14	bitri 183	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc J } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
16	11, 15	sylnibr 667	. . . . 5 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> -. A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
17	16	iffalsed 3530	. . . 4 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = (/) )
18		0ss 3447	. . . 4 |- (/) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
19	17, 18	eqsstrdi 3194	. . 3 |- ( -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
20	19	adantl 275	. 2 |- ( ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) /\ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
21		nninfsellemdc 13890	. . 3 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> DECID A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
22		exmiddc 826	. . 3 |- (DECID A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
23	21, 22	syl 14	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o \/ -. A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
24	9, 20, 23	mpjaodan 788	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ J e. om ) -> if ( A. k e. suc suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) C_ if ( A. k e. suc J ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   {csn 3576   |-> cmpt 4043   suc csuc 4343   omcom 4567   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1oc1o 6377   2oc2o 6378   ^m cmap 6614  ℕ_∞xnninf 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-nninf 7085

This theorem is referenced by:  nninfself  13893