Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsellemsuc Unicode version

Theorem nninfsellemsuc 13010
Description: Lemma for nninfself 13011. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemsuc  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
Distinct variable groups:    k, J    Q, k    i, k
Allowed substitution hints:    Q( i)    J( i)

Proof of Theorem nninfsellemsuc
StepHypRef Expression
1 peano2 4477 . . . . 5  |-  ( J  e.  om  ->  suc  J  e.  om )
2 nninfsellemcl 13009 . . . . . 6  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  J  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
3 el2oss1o 12990 . . . . . 6  |-  ( if ( A. k  e. 
suc  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  J  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
51, 4sylan2 282 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
65adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
7 iftrue 3447 . . . 4  |-  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e. 
suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
87adantl 273 . . 3  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
96, 8sseqtrrd 3104 . 2  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
10 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J } 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1110con3i 604 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J } 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
12 df-suc 4261 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  J  =  ( suc  J  u.  { suc  J }
)
1312raleqi 2605 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  ( suc  J  u.  { suc  J } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
14 ralunb 3225 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( suc  J  u.  { suc  J } ) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1513, 14bitri 183 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1611, 15sylnibr 649 . . . . 5  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  A. k  e.  suc  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1716iffalsed 3452 . . . 4  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
18 0ss 3369 . . . 4  |-  (/)  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )
1917, 18eqsstrdi 3117 . . 3  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2019adantl 273 . 2  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  -.  A. k  e.  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
21 nninfsellemdc 13008 . . 3  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
22 exmiddc 804 . . 3  |-  (DECID  A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  -.  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2321, 22syl 14 . 2  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  -.  A. k  e.  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
249, 20, 23mpjaodan 770 1  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391    u. cun 3037    C_ wss 3039   (/)c0 3331   ifcif 3442   {csn 3495    |-> cmpt 3957   suc csuc 4255   omcom 4472   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1oc1o 6272   2oc2o 6273    ^m cmap 6508  ℕxnninf 6971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-nninf 6973
This theorem is referenced by:  nninfself  13011
  Copyright terms: Public domain W3C validator