Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsellemsuc Unicode version

Theorem nninfsellemsuc 13135
Description: Lemma for nninfself 13136. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemsuc  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
Distinct variable groups:    k, J    Q, k    i, k
Allowed substitution hints:    Q( i)    J( i)

Proof of Theorem nninfsellemsuc
StepHypRef Expression
1 peano2 4479 . . . . 5  |-  ( J  e.  om  ->  suc  J  e.  om )
2 nninfsellemcl 13134 . . . . . 6  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  J  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
3 el2oss1o 13115 . . . . . 6  |-  ( if ( A. k  e. 
suc  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  J  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
51, 4sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
65adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
7 iftrue 3449 . . . 4  |-  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e. 
suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
87adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
96, 8sseqtrrd 3106 . 2  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
10 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J } 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1110con3i 606 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J } 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
12 df-suc 4263 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  J  =  ( suc  J  u.  { suc  J }
)
1312raleqi 2607 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  ( suc  J  u.  { suc  J } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
14 ralunb 3227 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( suc  J  u.  { suc  J } ) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1513, 14bitri 183 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1611, 15sylnibr 651 . . . . 5  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  A. k  e.  suc  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1716iffalsed 3454 . . . 4  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
18 0ss 3371 . . . 4  |-  (/)  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )
1917, 18eqsstrdi 3119 . . 3  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2019adantl 275 . 2  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  -.  A. k  e.  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
21 nninfsellemdc 13133 . . 3  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
22 exmiddc 806 . . 3  |-  (DECID  A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  -.  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2321, 22syl 14 . 2  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  -.  A. k  e.  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
249, 20, 23mpjaodan 772 1  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393    u. cun 3039    C_ wss 3041   (/)c0 3333   ifcif 3444   {csn 3497    |-> cmpt 3959   suc csuc 4257   omcom 4474   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   1oc1o 6274   2oc2o 6275    ^m cmap 6510  ℕxnninf 6973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1o 6281  df-2o 6282  df-map 6512  df-nninf 6975
This theorem is referenced by:  nninfself  13136
  Copyright terms: Public domain W3C validator