Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsellemsuc Unicode version

Theorem nninfsellemsuc 14045
Description: Lemma for nninfself 14046. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemsuc  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
Distinct variable groups:    k, J    Q, k    i, k
Allowed substitution hints:    Q( i)    J( i)

Proof of Theorem nninfsellemsuc
StepHypRef Expression
1 peano2 4579 . . . . 5  |-  ( J  e.  om  ->  suc  J  e.  om )
2 nninfsellemcl 14044 . . . . . 6  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  J  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
3 el2oss1o 6422 . . . . . 6  |-  ( if ( A. k  e. 
suc  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  J  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
51, 4sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
65adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
7 iftrue 3531 . . . 4  |-  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e. 
suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
87adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
96, 8sseqtrrd 3186 . 2  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
10 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J } 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1110con3i 627 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J } 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
12 df-suc 4356 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  J  =  ( suc  J  u.  { suc  J }
)
1312raleqi 2669 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  ( suc  J  u.  { suc  J } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
14 ralunb 3308 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( suc  J  u.  { suc  J } ) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1513, 14bitri 183 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1611, 15sylnibr 672 . . . . 5  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  A. k  e.  suc  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1716iffalsed 3536 . . . 4  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
18 0ss 3453 . . . 4  |-  (/)  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )
1917, 18eqsstrdi 3199 . . 3  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2019adantl 275 . 2  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  -.  A. k  e.  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
21 nninfsellemdc 14043 . . 3  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
22 exmiddc 831 . . 3  |-  (DECID  A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  -.  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2321, 22syl 14 . 2  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  -.  A. k  e.  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
249, 20, 23mpjaodan 793 1  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448    u. cun 3119    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   {csn 3583    |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389    ^m cmap 6626  ℕxnninf 7096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-nninf 7097
This theorem is referenced by:  nninfself  14046
  Copyright terms: Public domain W3C validator