Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsellemsuc Unicode version

Theorem nninfsellemsuc 11561
Description: Lemma for nninfself 11562. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemsuc  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
Distinct variable groups:    k, J    Q, k    i, k
Allowed substitution hints:    Q( i)    J( i)

Proof of Theorem nninfsellemsuc
StepHypRef Expression
1 peano2 4400 . . . . 5  |-  ( J  e.  om  ->  suc  J  e.  om )
2 nninfsellemcl 11560 . . . . . 6  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  J  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
3 el2oss1o 11544 . . . . . 6  |-  ( if ( A. k  e. 
suc  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
42, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  suc  J  e. 
om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
51, 4sylan2 280 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
65adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  1o )
7 iftrue 3394 . . . 4  |-  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e. 
suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
87adantl 271 . . 3  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  1o )
96, 8sseqtr4d 3061 . 2  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
10 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J } 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1110con3i 597 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J } 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
12 df-suc 4189 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  J  =  ( suc  J  u.  { suc  J }
)
1312raleqi 2566 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  ( suc  J  u.  { suc  J } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
14 ralunb 3179 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( suc  J  u.  { suc  J } ) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1513, 14bitri 182 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  J }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1611, 15sylnibr 637 . . . . 5  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  -.  A. k  e.  suc  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
1716iffalsed 3399 . . . 4  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  (/) )
18 0ss 3318 . . . 4  |-  (/)  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )
1917, 18syl6eqss 3074 . . 3  |-  ( -. 
A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2019adantl 271 . 2  |-  ( ( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  /\  J  e. 
om )  /\  -.  A. k  e.  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc 
J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
21 nninfsellemdc 11559 . . 3  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
22 exmiddc 782 . . 3  |-  (DECID  A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  -.  A. k  e.  suc  J ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2321, 22syl 14 . 2  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  ( A. k  e.  suc  J ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  \/  -.  A. k  e.  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
249, 20, 23mpjaodan 747 1  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  J  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  suc  J
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  C_  if ( A. k  e.  suc  J ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    u. cun 2995    C_ wss 2997   (/)c0 3284   ifcif 3389   {csn 3441    |-> cmpt 3891   suc csuc 4183   omcom 4395   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1oc1o 6156   2oc2o 6157    ^m cmap 6385  ℕxnninf 6768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770
This theorem is referenced by:  nninfself  11562
  Copyright terms: Public domain W3C validator