Theorem ennnfonelemkh 13023

Description: Lemma for ennnfone 13036. Because we add zero or one entries for each new index, the length of each sequence is no greater than its index. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemkh.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemkh	|- ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   j, H, x, y   j, J   j, N, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( x, y, j, k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( k, n)   J( x, y, k, n)   N( k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemkh

Dummy variables m w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemkh.p	. 2 |- ( ph -> P e. NN0 )
2		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( w = 0 -> ( H ` w ) = ( H ` 0 ) )
3	2	dmeqd 4931	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` 0 ) )
4		fveq2 5635	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` 0 ) )
5	3, 4	sseq12d 3256	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) ) ) )
7		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( w = m -> ( H ` w ) = ( H ` m ) )
8	7	dmeqd 4931	. . . . . 6 |- ( w = m -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` m ) )
9		fveq2 5635	. . . . . 6 |- ( w = m -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` m ) )
10	8, 9	sseq12d 3256	. . . . 5 |- ( w = m -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = m -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) ) )
12		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( m + 1 ) ) )
13	12	dmeqd 4931	. . . . . 6 |- ( w = ( m + 1 ) -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` ( m + 1 ) ) )
14		fveq2 5635	. . . . . 6 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
15	13, 14	sseq12d 3256	. . . . 5 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
17		fveq2 5635	. . . . . . 7 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
18	17	dmeqd 4931	. . . . . 6 |- ( w = P -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` P ) )
19		fveq2 5635	. . . . . 6 |- ( w = P -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` P ) )
20	18, 19	sseq12d 3256	. . . . 5 |- ( w = P -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = P -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) ) )
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
23		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
24		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
25		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
26		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
27		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
28		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 |- H = seq 0 ( G , J )
29	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	ennnfonelem0 13016	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
30	29	dmeqd 4931	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
31		dm0 4943	. . . . . . 7 |- dom (/) = (/)
32	30, 31	eqtrdi 2278	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = (/) )
33		0ss 3531	. . . . . 6 |- (/) C_ ( `' N ` 0 )
34	32, 33	eqsstrdi 3277	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) )
35	34	a1i 9	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> ( ph -> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) ) )
36	26	frechashgf1o 10680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N : om -1-1-onto-> NN0
37		f1of 5580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> N : om --> NN0 )
39	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
40	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> F : om -onto-> A )
41	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
42		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
43		nn0uz 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
44	42, 43	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> m e. NN0 )
45		peano2nn0 9432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( m + 1 ) e. NN0 )
47	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 46	ennnfonelemom 13019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) e. om )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) e. om )
49	38, 48	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) e. NN0 )
50	49	nn0red 9446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) e. RR )
51	44	nn0red 9446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> m e. RR )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> m e. RR )
53		peano2re 8305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. RR -> ( m + 1 ) e. RR )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( m + 1 ) e. RR )
55	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemp1 13017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) )
57		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) )
58	57	iftrued 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) = ( H ` m ) )
59	56, 58	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = ( H ` m ) )
60	59	dmeqd 4931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = dom ( H ` m ) )
61	60	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) = ( N ` dom ( H ` m ) ) )
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) )
63		0zd 9481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> 0 e. ZZ )
64	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemom 13019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` m ) e. om )
65		f1ocnv 5593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
66	36, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
67		f1of 5580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
68	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN0 -> `' N : NN0 --> om )
69		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN0 -> m e. NN0 )
70	68, 69	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN0 -> ( `' N ` m ) e. om )
71	44, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
72	63, 26, 64, 71	frec2uzled 10681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) ) )
73	62, 72	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) )
74		f1ocnvfv2 5914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
75	36, 44, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
76	73, 75	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ m )
77	76	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ m )
78	61, 77	eqbrtrd 4108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ m )
79	52	lep1d 9101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> m <_ ( m + 1 ) )
80	50, 52, 54, 78, 79	letrd 8293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( m + 1 ) )
81		f1ocnvfv2 5914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( m + 1 ) e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
82	36, 46, 81	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
84	80, 83	breqtrrd 4114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
85	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> `' N : NN0 --> om )
86	85, 46	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( `' N ` ( m + 1 ) ) e. om )
87	63, 26, 47, 86	frec2uzled 10681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
89	84, 88	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
90	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) )
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) )
92	91	iffalsed 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) = ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
93	90, 92	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
94	93	dmeqd 4931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = dom ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
95		dmun 4936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) = ( dom ( H ` m ) u. dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } )
96	94, 95	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = ( dom ( H ` m ) u. dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
97		fof 5556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
98	40, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> F : om --> A )
99	98, 71	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( F ` ( `' N ` m ) ) e. A )
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` m ) ) e. A )
101		dmsnopg 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. A -> dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } = { dom ( H ` m ) } )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } = { dom ( H ` m ) } )
103	102	uneq2d 3359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` m ) u. dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) = ( dom ( H ` m ) u. { dom ( H ` m ) } ) )
104	96, 103	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = ( dom ( H ` m ) u. { dom ( H ` m ) } ) )
105		df-suc 4466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- suc dom ( H ` m ) = ( dom ( H ` m ) u. { dom ( H ` m ) } )
106	104, 105	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = suc dom ( H ` m ) )
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) )
108	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
109		nnsucsssuc 6655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( dom ( H ` m ) e. om /\ ( `' N ` m ) e. om ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) <-> suc dom ( H ` m ) C_ suc ( `' N ` m ) ) )
110	64, 108, 109	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) <-> suc dom ( H ` m ) C_ suc ( `' N ` m ) ) )
111	107, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> suc dom ( H ` m ) C_ suc ( `' N ` m ) )
112	106, 111	eqsstrd 3261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ suc ( `' N ` m ) )
113		0zd 9481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> 0 e. ZZ )
114	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) e. om )
115		peano2 4691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' N ` m ) e. om -> suc ( `' N ` m ) e. om )
116	108, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> suc ( `' N ` m ) e. om )
117	113, 26, 114, 116	frec2uzled 10681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ suc ( `' N ` m ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` suc ( `' N ` m ) ) ) )
118	112, 117	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` suc ( `' N ` m ) ) )
119	113, 26, 108	frec2uzsucd 10653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` m ) ) = ( ( N ` ( `' N ` m ) ) + 1 ) )
120	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
121	120	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` m ) ) + 1 ) = ( m + 1 ) )
122	119, 121	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` m ) ) = ( m + 1 ) )
123	118, 122	breqtrd 4112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( m + 1 ) )
124	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
125	123, 124	breqtrrd 4114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
126	86	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( `' N ` ( m + 1 ) ) e. om )
127	113, 26, 114, 126	frec2uzled 10681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
128	125, 127	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
129	39, 40, 71	ennnfonelemdc 13010	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> DECID ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) )
130		exmiddc 841	. . . . . . . . 9 |- (DECID ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) )
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) )
132	89, 128, 131	mpjaodan 803	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
133	132	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
134	133	expcom 116	. . . . 5 |- ( m e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
135	134	a2d 26	. . . 4 |- ( m e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( ph -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( ph -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
136	6, 11, 16, 21, 35, 135	uzind4 9812	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) )
137	136, 43	eleq2s 2324	. 2 |- ( P e. NN0 -> ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) )
138	1, 137	mpcom 36	1 |- ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   u. cun 3196   C_ wss 3198   (/)c0 3492   ifcif 3603   {csn 3667   <.cop 3670   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   suc csuc 4460   omcom 4686   `'ccnv 4722   dom cdm 4723   "cima 4726   -->wf 5320   -onto->wfo 5322   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   e. cmpo 6015  freccfrec 6551   ^pm cpm 6813   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   <_ cle 8205   - cmin 8340   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   seqcseq 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pm 6815  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700

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