Theorem ennnfonelemkh 13281

Description: Lemma for ennnfone 13294. Because we add zero or one entries for each new index, the length of each sequence is no greater than its index. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemkh.p	|- ( ph -> P e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemkh	|- ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y   j, G   j, H, x, y   j, J   j, N, x, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   A( k, n)   P( x, y, j, k, n)   F( j, k, n)   G( x, y, k, n)   H( k, n)   J( x, y, k, n)   N( k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemkh

Dummy variables m w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemkh.p	. 2 |- ( ph -> P e. NN0 )
2		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( w = 0 -> ( H ` w ) = ( H ` 0 ) )
3	2	dmeqd 4978	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` 0 ) )
4		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( w = 0 -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` 0 ) )
5	3, 4	sseq12d 3279	. . . . 5 |- ( w = 0 -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = 0 -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) ) ) )
7		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( w = m -> ( H ` w ) = ( H ` m ) )
8	7	dmeqd 4978	. . . . . 6 |- ( w = m -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` m ) )
9		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( w = m -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` m ) )
10	8, 9	sseq12d 3279	. . . . 5 |- ( w = m -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = m -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) ) )
12		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( m + 1 ) ) )
13	12	dmeqd 4978	. . . . . 6 |- ( w = ( m + 1 ) -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` ( m + 1 ) ) )
14		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
15	13, 14	sseq12d 3279	. . . . 5 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
17		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
18	17	dmeqd 4978	. . . . . 6 |- ( w = P -> dom ( H ` w ) = dom ( H ` P ) )
19		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( w = P -> ( `' N ` w ) = ( `' N ` P ) )
20	18, 19	sseq12d 3279	. . . . 5 |- ( w = P -> ( dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) <-> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = P -> ( ( ph -> dom ( H ` w ) C_ ( `' N ` w ) ) <-> ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) ) )
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
23		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
24		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
25		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
26		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
27		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
28		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 |- H = seq 0 ( G , J )
29	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	ennnfonelem0 13274	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( H ` 0 ) = (/) )
30	29	dmeqd 4978	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = dom (/) )
31		dm0 4990	. . . . . . 7 |- dom (/) = (/)
32	30, 31	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) = (/) )
33		0ss 3561	. . . . . 6 |- (/) C_ ( `' N ` 0 )
34	32, 33	eqsstrdi 3300	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) )
35	34	a1i 9	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> ( ph -> dom ( H ` 0 ) C_ ( `' N ` 0 ) ) )
36	26	frechashgf1o 10843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N : om -1-1-onto-> NN0
37		f1of 5634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> N : om --> NN0 )
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> N : om --> NN0 )
39	22	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
40	23	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> F : om -onto-> A )
41	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
42		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
43		nn0uz 9936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
44	42, 43	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> m e. NN0 )
45		peano2nn0 9582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( m + 1 ) e. NN0 )
47	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 46	ennnfonelemom 13277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) e. om )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) e. om )
49	38, 48	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) e. NN0 )
50	49	nn0red 9600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) e. RR )
51	44	nn0red 9600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> m e. RR )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> m e. RR )
53		peano2re 8452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. RR -> ( m + 1 ) e. RR )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( m + 1 ) e. RR )
55	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemp1 13275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) )
57		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) )
58	57	iftrued 3644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) = ( H ` m ) )
59	56, 58	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = ( H ` m ) )
60	59	dmeqd 4978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = dom ( H ` m ) )
61	60	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) = ( N ` dom ( H ` m ) ) )
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) )
63		0zd 9635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> 0 e. ZZ )
64	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemom 13277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` m ) e. om )
65		f1ocnv 5647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N : om -1-1-onto-> NN0 -> `' N : NN0 -1-1-onto-> om )
66	36, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- `' N : NN0 -1-1-onto-> om
67		f1of 5634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om -> `' N : NN0 --> om )
68	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN0 -> `' N : NN0 --> om )
69		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN0 -> m e. NN0 )
70	68, 69	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN0 -> ( `' N ` m ) e. om )
71	44, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
72	63, 26, 64, 71	frec2uzled 10844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) <-> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) ) )
73	62, 72	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ ( N ` ( `' N ` m ) ) )
74		f1ocnvfv2 5974	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
75	36, 44, 74	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
76	73, 75	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ m )
77	76	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` m ) ) <_ m )
78	61, 77	eqbrtrd 4147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ m )
79	52	lep1d 9251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> m <_ ( m + 1 ) )
80	50, 52, 54, 78, 79	letrd 8440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( m + 1 ) )
81		f1ocnvfv2 5974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( m + 1 ) e. NN0 ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
82	36, 46, 81	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
84	80, 83	breqtrrd 4153	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
85	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> `' N : NN0 --> om )
86	85, 46	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( `' N ` ( m + 1 ) ) e. om )
87	63, 26, 47, 86	frec2uzled 10844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
89	84, 88	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
90	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) )
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) )
92	91	iffalsed 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> if ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) , ( H ` m ) , ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) ) = ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
93	90, 92	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( H ` ( m + 1 ) ) = ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
94	93	dmeqd 4978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = dom ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
95		dmun 4983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( ( H ` m ) u. { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) = ( dom ( H ` m ) u. dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } )
96	94, 95	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = ( dom ( H ` m ) u. dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) )
97		fof 5610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
98	40, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> F : om --> A )
99	98, 71	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( F ` ( `' N ` m ) ) e. A )
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( F ` ( `' N ` m ) ) e. A )
101		dmsnopg 5254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. A -> dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } = { dom ( H ` m ) } )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } = { dom ( H ` m ) } )
103	102	uneq2d 3383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` m ) u. dom { <. dom ( H ` m ) , ( F ` ( `' N ` m ) ) >. } ) = ( dom ( H ` m ) u. { dom ( H ` m ) } ) )
104	96, 103	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = ( dom ( H ` m ) u. { dom ( H ` m ) } ) )
105		df-suc 4511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- suc dom ( H ` m ) = ( dom ( H ` m ) u. { dom ( H ` m ) } )
106	104, 105	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) = suc dom ( H ` m ) )
107		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) )
108	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( `' N ` m ) e. om )
109		nnsucsssuc 6755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( dom ( H ` m ) e. om /\ ( `' N ` m ) e. om ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) <-> suc dom ( H ` m ) C_ suc ( `' N ` m ) ) )
110	64, 108, 109	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) <-> suc dom ( H ` m ) C_ suc ( `' N ` m ) ) )
111	107, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> suc dom ( H ` m ) C_ suc ( `' N ` m ) )
112	106, 111	eqsstrd 3284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ suc ( `' N ` m ) )
113		0zd 9635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> 0 e. ZZ )
114	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) e. om )
115		peano2 4737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' N ` m ) e. om -> suc ( `' N ` m ) e. om )
116	108, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> suc ( `' N ` m ) e. om )
117	113, 26, 114, 116	frec2uzled 10844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ suc ( `' N ` m ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` suc ( `' N ` m ) ) ) )
118	112, 117	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` suc ( `' N ` m ) ) )
119	113, 26, 108	frec2uzsucd 10816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` m ) ) = ( ( N ` ( `' N ` m ) ) + 1 ) )
120	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` m ) ) = m )
121	120	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( ( N ` ( `' N ` m ) ) + 1 ) = ( m + 1 ) )
122	119, 121	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` suc ( `' N ` m ) ) = ( m + 1 ) )
123	118, 122	breqtrd 4151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( m + 1 ) )
124	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) = ( m + 1 ) )
125	123, 124	breqtrrd 4153	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
126	86	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( `' N ` ( m + 1 ) ) e. om )
127	113, 26, 114, 126	frec2uzled 10844	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> ( dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) <-> ( N ` dom ( H ` ( m + 1 ) ) ) <_ ( N ` ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
128	125, 127	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) /\ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
129	39, 40, 71	ennnfonelemdc 13268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> DECID ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) )
130		exmiddc 848	. . . . . . . . 9 |- (DECID ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) )
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) \/ -. ( F ` ( `' N ` m ) ) e. ( F " ( `' N ` m ) ) ) )
132	89, 128, 131	mpjaodan 810	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) /\ dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) )
133	132	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) )
134	133	expcom 116	. . . . 5 |- ( m e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> ( dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
135	134	a2d 26	. . . 4 |- ( m e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( ph -> dom ( H ` m ) C_ ( `' N ` m ) ) -> ( ph -> dom ( H ` ( m + 1 ) ) C_ ( `' N ` ( m + 1 ) ) ) ) )
136	6, 11, 16, 21, 35, 135	uzind4 9967	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) )
137	136, 43	eleq2s 2333	. 2 |- ( P e. NN0 -> ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) ) )
138	1, 137	mpcom 36	1 |- ( ph -> dom ( H ` P ) C_ ( `' N ` P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   {csn 3705   <.cop 3708   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   suc csuc 4505   omcom 4732   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   "cima 4772   -->wf 5368   -onto->wfo 5370   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077  freccfrec 6651   ^pm cpm 6913   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   <_ cle 8351   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pm 6915  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863

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