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Theorem ennnfonelemkh 12438
Description: Lemma for ennnfone 12451. Because we add zero or one entries for each new index, the length of each sequence is no greater than its index. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
ennnfonelemkh.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemkh  |-  ( ph  ->  dom  ( H `  P )  C_  ( `' N `  P ) )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    x, F, y   
j, G    j, H, x, y    j, J    j, N, x, y    ph, j, x, y
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( k, n)    P( x, y, j, k, n)    F( j, k, n)    G( x, y, k, n)    H( k, n)    J( x, y, k, n)    N( k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemkh
Dummy variables  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemkh.p . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
2 fveq2 5531 . . . . . . 7  |-  ( w  =  0  ->  ( H `  w )  =  ( H ` 
0 ) )
32dmeqd 4844 . . . . . 6  |-  ( w  =  0  ->  dom  ( H `  w )  =  dom  ( H `
 0 ) )
4 fveq2 5531 . . . . . 6  |-  ( w  =  0  ->  ( `' N `  w )  =  ( `' N `  0 ) )
53, 4sseq12d 3201 . . . . 5  |-  ( w  =  0  ->  ( dom  ( H `  w
)  C_  ( `' N `  w )  <->  dom  ( H `  0
)  C_  ( `' N `  0 )
) )
65imbi2d 230 . . . 4  |-  ( w  =  0  ->  (
( ph  ->  dom  ( H `  w )  C_  ( `' N `  w ) )  <->  ( ph  ->  dom  ( H ` 
0 )  C_  ( `' N `  0 ) ) ) )
7 fveq2 5531 . . . . . . 7  |-  ( w  =  m  ->  ( H `  w )  =  ( H `  m ) )
87dmeqd 4844 . . . . . 6  |-  ( w  =  m  ->  dom  ( H `  w )  =  dom  ( H `
 m ) )
9 fveq2 5531 . . . . . 6  |-  ( w  =  m  ->  ( `' N `  w )  =  ( `' N `  m ) )
108, 9sseq12d 3201 . . . . 5  |-  ( w  =  m  ->  ( dom  ( H `  w
)  C_  ( `' N `  w )  <->  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
) )
1110imbi2d 230 . . . 4  |-  ( w  =  m  ->  (
( ph  ->  dom  ( H `  w )  C_  ( `' N `  w ) )  <->  ( ph  ->  dom  ( H `  m )  C_  ( `' N `  m ) ) ) )
12 fveq2 5531 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( m  + 
1 )  ->  ( H `  w )  =  ( H `  ( m  +  1
) ) )
1312dmeqd 4844 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( m  + 
1 )  ->  dom  ( H `  w )  =  dom  ( H `
 ( m  + 
1 ) ) )
14 fveq2 5531 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( m  + 
1 )  ->  ( `' N `  w )  =  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) )
1513, 14sseq12d 3201 . . . . 5  |-  ( w  =  ( m  + 
1 )  ->  ( dom  ( H `  w
)  C_  ( `' N `  w )  <->  dom  ( H `  (
m  +  1 ) )  C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) ) )
1615imbi2d 230 . . . 4  |-  ( w  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  dom  ( H `  w )  C_  ( `' N `  w ) )  <->  ( ph  ->  dom  ( H `  ( m  +  1
) )  C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
17 fveq2 5531 . . . . . . 7  |-  ( w  =  P  ->  ( H `  w )  =  ( H `  P ) )
1817dmeqd 4844 . . . . . 6  |-  ( w  =  P  ->  dom  ( H `  w )  =  dom  ( H `
 P ) )
19 fveq2 5531 . . . . . 6  |-  ( w  =  P  ->  ( `' N `  w )  =  ( `' N `  P ) )
2018, 19sseq12d 3201 . . . . 5  |-  ( w  =  P  ->  ( dom  ( H `  w
)  C_  ( `' N `  w )  <->  dom  ( H `  P
)  C_  ( `' N `  P )
) )
2120imbi2d 230 . . . 4  |-  ( w  =  P  ->  (
( ph  ->  dom  ( H `  w )  C_  ( `' N `  w ) )  <->  ( ph  ->  dom  ( H `  P )  C_  ( `' N `  P ) ) ) )
22 ennnfonelemh.dceq . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
23 ennnfonelemh.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
24 ennnfonelemh.ne . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
25 ennnfonelemh.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
26 ennnfonelemh.n . . . . . . . . 9  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
27 ennnfonelemh.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
28 ennnfonelemh.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
2922, 23, 24, 25, 26, 27, 28ennnfonelem0 12431 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H `  0
)  =  (/) )
3029dmeqd 4844 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( H ` 
0 )  =  dom  (/) )
31 dm0 4856 . . . . . . 7  |-  dom  (/)  =  (/)
3230, 31eqtrdi 2238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( H ` 
0 )  =  (/) )
33 0ss 3476 . . . . . 6  |-  (/)  C_  ( `' N `  0 )
3432, 33eqsstrdi 3222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( H ` 
0 )  C_  ( `' N `  0 ) )
3534a1i 9 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  dom  ( H `  0 )  C_  ( `' N `  0 ) ) )
3626frechashgf1o 10448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N : om
-1-1-onto-> NN0
37 f1of 5477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N : om -1-1-onto-> NN0  ->  N : om
--> NN0 )
3836, 37mp1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  N : om --> NN0 )
3922ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
4023ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  F : om -onto-> A )
4124ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j )
)
42 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
43 nn0uz 9582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
4442, 43eleqtrrdi 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  m  e.  NN0 )
45 peano2nn0 9236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
4739, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 46ennnfonelemom 12434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  dom  ( H `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
om )
4847adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) )  e.  om )
4938, 48ffvelcdmd 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  dom  ( H `
 ( m  + 
1 ) ) )  e.  NN0 )
5049nn0red 9250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  dom  ( H `
 ( m  + 
1 ) ) )  e.  RR )
5144nn0red 9250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  m  e.  RR )
5251adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  m  e.  RR )
53 peano2re 8113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
5452, 53syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
5539, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44ennnfonelemp1 12432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) ,  ( H `  m
) ,  ( ( H `  m )  u.  { <. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. } ) ) )
5655adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) ,  ( H `  m
) ,  ( ( H `  m )  u.  { <. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. } ) ) )
57 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )
5857iftrued 3556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  if ( ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) ,  ( H `  m
) ,  ( ( H `  m )  u.  { <. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. } ) )  =  ( H `  m ) )
5956, 58eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  ( H `  m ) )
6059dmeqd 4844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  dom  ( H `
 m ) )
6160fveq2d 5535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  dom  ( H `
 ( m  + 
1 ) ) )  =  ( N `  dom  ( H `  m
) ) )
62 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )
63 0zd 9285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  0  e.  ZZ )
6439, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44ennnfonelemom 12434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  dom  ( H `
 m )  e. 
om )
65 f1ocnv 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' N : NN0
-1-1-onto-> om )
6636, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `' N : NN0
-1-1-onto-> om
67 f1of 5477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' N : NN0 -1-1-onto-> om  ->  `' N : NN0 --> om )
6866, 67mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN0  ->  `' N : NN0 --> om )
69 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e. 
NN0 )
7068, 69ffvelcdmd 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( `' N `  m )  e.  om )
7144, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( `' N `  m )  e.  om )
7263, 26, 64, 71frec2uzled 10449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( dom  ( H `  m ) 
C_  ( `' N `  m )  <->  ( N `  dom  ( H `  m ) )  <_ 
( N `  ( `' N `  m ) ) ) )
7362, 72mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( N `  dom  ( H `  m ) )  <_ 
( N `  ( `' N `  m ) ) )
74 f1ocnvfv2 5796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N : om -1-1-onto-> NN0  /\  m  e. 
NN0 )  ->  ( N `  ( `' N `  m )
)  =  m )
7536, 44, 74sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( N `  ( `' N `  m ) )  =  m )
7673, 75breqtrd 4044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( N `  dom  ( H `  m ) )  <_  m )
7776adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  dom  ( H `
 m ) )  <_  m )
7861, 77eqbrtrd 4040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  dom  ( H `
 ( m  + 
1 ) ) )  <_  m )
7952lep1d 8908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  m  <_  ( m  +  1 ) )
8050, 52, 54, 78, 79letrd 8101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  dom  ( H `
 ( m  + 
1 ) ) )  <_  ( m  + 
1 ) )
81 f1ocnvfv2 5796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  ( N `  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( m  +  1 ) )
8236, 46, 81sylancr 414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( N `  ( `' N `  ( m  +  1
) ) )  =  ( m  +  1 ) )
8382adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( m  +  1 ) )
8480, 83breqtrrd 4046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  dom  ( H `
 ( m  + 
1 ) ) )  <_  ( N `  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) ) )
8566, 67mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  `' N : NN0 --> om )
8685, 46ffvelcdmd 5669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( `' N `  ( m  +  1 ) )  e.  om )
8763, 26, 47, 86frec2uzled 10449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( dom  ( H `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) )  <->  ( N `  dom  ( H `  ( m  +  1
) ) )  <_ 
( N `  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
8887adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  ( dom  ( H `  (
m  +  1 ) )  C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) )  <-> 
( N `  dom  ( H `  ( m  +  1 ) ) )  <_  ( N `  ( `' N `  ( m  +  1
) ) ) ) )
8984, 88mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) )
9055adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( H `  ( m  +  1
) )  =  if ( ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) ,  ( H `  m
) ,  ( ( H `  m )  u.  { <. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. } ) ) )
91 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  -.  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) ) )
9291iffalsed 3559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  if ( ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) ,  ( H `  m
) ,  ( ( H `  m )  u.  { <. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. } ) )  =  ( ( H `
 m )  u. 
{ <. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. } ) )
9390, 92eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( H `  ( m  +  1
) )  =  ( ( H `  m
)  u.  { <. dom  ( H `  m
) ,  ( F `
 ( `' N `  m ) ) >. } ) )
9493dmeqd 4844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  dom  ( ( H `  m )  u.  { <. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. } ) )
95 dmun 4849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
( H `  m
)  u.  { <. dom  ( H `  m
) ,  ( F `
 ( `' N `  m ) ) >. } )  =  ( dom  ( H `  m )  u.  dom  {
<. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. } )
9694, 95eqtrdi 2238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  ( dom  ( H `  m )  u.  dom  {
<. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. } ) )
97 fof 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : om -onto-> A  ->  F : om --> A )
9840, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  F : om
--> A )
9998, 71ffvelcdmd 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  A )
10099adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  A )
101 dmsnopg 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  A  ->  dom  { <. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. }  =  { dom  ( H `  m
) } )
102100, 101syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  { <. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. }  =  { dom  ( H `  m
) } )
103102uneq2d 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( dom  ( H `  m )  u.  dom  { <. dom  ( H `  m ) ,  ( F `  ( `' N `  m ) ) >. } )  =  ( dom  ( H `
 m )  u. 
{ dom  ( H `  m ) } ) )
10496, 103eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  ( dom  ( H `  m )  u.  { dom  ( H `  m
) } ) )
105 df-suc 4386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  suc  dom  ( H `  m )  =  ( dom  ( H `  m )  u.  { dom  ( H `
 m ) } )
106104, 105eqtr4di 2240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) )  =  suc  dom  ( H `  m
) )
107 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  m )  C_  ( `' N `  m ) )
10871adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( `' N `  m )  e.  om )
109 nnsucsssuc 6512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( H `  m )  e.  om  /\  ( `' N `  m )  e.  om )  ->  ( dom  ( H `  m )  C_  ( `' N `  m )  <->  suc  dom  ( H `  m )  C_ 
suc  ( `' N `  m ) ) )
11064, 108, 109syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( dom  ( H `  m )  C_  ( `' N `  m )  <->  suc  dom  ( H `  m )  C_ 
suc  ( `' N `  m ) ) )
111107, 110mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  suc  dom  ( H `
 m )  C_  suc  ( `' N `  m ) )
112106, 111eqsstrd 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) )  C_  suc  ( `' N `  m ) )
113 0zd 9285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
11447adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) )  e.  om )
115 peano2 4609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' N `  m )  e.  om  ->  suc  ( `' N `  m )  e.  om )
116108, 115syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  suc  ( `' N `  m )  e.  om )
117113, 26, 114, 116frec2uzled 10449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( dom  ( H `  ( m  +  1 ) ) 
C_  suc  ( `' N `  m )  <->  ( N `  dom  ( H `  ( m  +  1 ) ) )  <_  ( N `  suc  ( `' N `  m ) ) ) )
118112, 117mpbid 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  dom  ( H `  (
m  +  1 ) ) )  <_  ( N `  suc  ( `' N `  m ) ) )
119113, 26, 108frec2uzsucd 10421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  suc  ( `' N `  m ) )  =  ( ( N `  ( `' N `  m ) )  +  1 ) )
12075adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  ( `' N `  m ) )  =  m )
121120oveq1d 5907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( ( N `
 ( `' N `  m ) )  +  1 )  =  ( m  +  1 ) )
122119, 121eqtrd 2222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  suc  ( `' N `  m ) )  =  ( m  +  1 ) )
123118, 122breqtrd 4044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  dom  ( H `  (
m  +  1 ) ) )  <_  (
m  +  1 ) )
12482adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) )  =  ( m  +  1 ) )
125123, 124breqtrrd 4046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( N `  dom  ( H `  (
m  +  1 ) ) )  <_  ( N `  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) ) )
12686adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( `' N `  ( m  +  1 ) )  e.  om )
127113, 26, 114, 126frec2uzled 10449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  ( dom  ( H `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) )  <->  ( N `  dom  ( H `  ( m  +  1
) ) )  <_ 
( N `  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
128125, 127mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  /\  dom  ( H `  m
)  C_  ( `' N `  m )
)  /\  -.  ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) )  C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) )
12939, 40, 71ennnfonelemdc 12425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  -> DECID  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) )
130 exmiddc 837 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  ( F `
 ( `' N `  m ) )  e.  ( F " ( `' N `  m ) )  ->  ( ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) )  \/ 
-.  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) ) )
131129, 130syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( ( F `  ( `' N `  m )
)  e.  ( F
" ( `' N `  m ) )  \/ 
-.  ( F `  ( `' N `  m ) )  e.  ( F
" ( `' N `  m ) ) ) )
13289, 128, 131mpjaodan 799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  /\  dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  dom  ( H `
 ( m  + 
1 ) )  C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) )
133132ex 115 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  ( dom  ( H `  m ) 
C_  ( `' N `  m )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) ) 
C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) ) )
134133expcom 116 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( dom  ( H `
 m )  C_  ( `' N `  m )  ->  dom  ( H `  ( m  +  1 ) )  C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
135134a2d 26 . . . 4  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ( ph  ->  dom  ( H `  m )  C_  ( `' N `  m ) )  ->  ( ph  ->  dom  ( H `  ( m  +  1
) )  C_  ( `' N `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
1366, 11, 16, 21, 35, 135uzind4 9608 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  dom  ( H `  P )  C_  ( `' N `  P ) ) )
137136, 43eleq2s 2284 . 2  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( ph  ->  dom  ( H `  P )  C_  ( `' N `  P ) ) )
1381, 137mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  dom  ( H `  P )  C_  ( `' N `  P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   A.wral 2468   E.wrex 2469    u. cun 3142    C_ wss 3144   (/)c0 3437   ifcif 3549   {csn 3607   <.cop 3610   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079   suc csuc 4380   omcom 4604   `'ccnv 4640   dom cdm 4641   "cima 4644   -->wf 5228   -onto->wfo 5230   -1-1-onto->wf1o 5231   ` cfv 5232  (class class class)co 5892    e. cmpo 5894  freccfrec 6410    ^pm cpm 6668   RRcr 7830   0cc0 7831   1c1 7832    + caddc 7834    <_ cle 8013    - cmin 8148   NN0cn0 9196   ZZcz 9273   ZZ>=cuz 9548    seqcseq 10465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-ltadd 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pm 6670  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-seqfrec 10466
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