Theorem resasplitss 5564

Description: If two functions agree on their common domain, their union contains a union of three functions with pairwise disjoint domains. If we assumed the law of the excluded middle, this would be equality rather than subset. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resasplitss	|- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( F u. G ) )

Proof of Theorem resasplitss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unidm 3372	. . . 4 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) = ( F |` ( A i^i B ) )
2	1	uneq1i 3379	. . 3 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
3		un4 3389	. . . 4 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
4		simp3 1030	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) )
5	4	uneq1d 3382	. . . . . 6 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) = ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
6	5	uneq2d 3383	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) )
7		resundi 5071	. . . . . . 7 |- ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) = ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) )
8		inundifss 3602	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) C_ A
9		ssres2 5085	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) C_ A -> ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A )
11	7, 10	eqsstrri 3281	. . . . . 6 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A )
12		resundi 5071	. . . . . . 7 |- ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) = ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) )
13		incom 3421	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )
14	13	uneq1i 3379	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) = ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) )
15		inundifss 3602	. . . . . . . . 9 |- ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) ) C_ B
16	14, 15	eqsstri 3280	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) C_ B
17		ssres2 5085	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) C_ B -> ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B )
19	12, 18	eqsstrri 3281	. . . . . 6 |- ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B )
20		unss12 3401	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A ) /\ ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
21	11, 19, 20	mp2an 430	. . . . 5 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) )
22	6, 21	eqsstrdi 3300	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
23	3, 22	eqsstrrid 3295	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
24	2, 23	eqsstrrid 3295	. 2 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
25		fnresdm 5487	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
26		fnresdm 5487	. . . 4 |- ( G Fn B -> ( G |` B ) = G )
27		uneq12 3378	. . . 4 |- ( ( ( F |` A ) = F /\ ( G |` B ) = G ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
28	25, 26, 27	syl2an 289	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
29	28	3adant3 1048	. 2 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
30	24, 29	sseqtrd 3286	1 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( F u. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   |` cres 4771   Fn wfn 5367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776  df-dm 4779  df-res 4781  df-fun 5374  df-fn 5375

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