Theorem resasplitss 5505

Description: If two functions agree on their common domain, their union contains a union of three functions with pairwise disjoint domains. If we assumed the law of the excluded middle, this would be equality rather than subset. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resasplitss	|- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( F u. G ) )

Proof of Theorem resasplitss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unidm 3347	. . . 4 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) = ( F |` ( A i^i B ) )
2	1	uneq1i 3354	. . 3 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
3		un4 3364	. . . 4 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
4		simp3 1023	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) )
5	4	uneq1d 3357	. . . . . 6 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) = ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
6	5	uneq2d 3358	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) )
7		resundi 5018	. . . . . . 7 |- ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) = ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) )
8		inundifss 3569	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) C_ A
9		ssres2 5032	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) C_ A -> ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A )
11	7, 10	eqsstrri 3257	. . . . . 6 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A )
12		resundi 5018	. . . . . . 7 |- ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) = ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) )
13		incom 3396	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )
14	13	uneq1i 3354	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) = ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) )
15		inundifss 3569	. . . . . . . . 9 |- ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) ) C_ B
16	14, 15	eqsstri 3256	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) C_ B
17		ssres2 5032	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) C_ B -> ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B )
19	12, 18	eqsstrri 3257	. . . . . 6 |- ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B )
20		unss12 3376	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A ) /\ ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
21	11, 19, 20	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) )
22	6, 21	eqsstrdi 3276	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
23	3, 22	eqsstrrid 3271	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
24	2, 23	eqsstrrid 3271	. 2 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
25		fnresdm 5432	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
26		fnresdm 5432	. . . 4 |- ( G Fn B -> ( G |` B ) = G )
27		uneq12 3353	. . . 4 |- ( ( ( F |` A ) = F /\ ( G |` B ) = G ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
28	25, 26, 27	syl2an 289	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
29	28	3adant3 1041	. 2 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
30	24, 29	sseqtrd 3262	1 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( F u. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   \ cdif 3194   u. cun 3195   i^i cin 3196   C_ wss 3197   |` cres 4721   Fn wfn 5313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726  df-dm 4729  df-res 4731  df-fun 5320  df-fn 5321

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