Theorem resasplitss 5433

Description: If two functions agree on their common domain, their union contains a union of three functions with pairwise disjoint domains. If we assumed the law of the excluded middle, this would be equality rather than subset. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resasplitss	|- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( F u. G ) )

Proof of Theorem resasplitss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unidm 3302	. . . 4 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) = ( F |` ( A i^i B ) )
2	1	uneq1i 3309	. . 3 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
3		un4 3319	. . . 4 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
4		simp3 1001	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) )
5	4	uneq1d 3312	. . . . . 6 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) = ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) )
6	5	uneq2d 3313	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) = ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) )
7		resundi 4955	. . . . . . 7 |- ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) = ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) )
8		inundifss 3524	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) C_ A
9		ssres2 4969	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) C_ A -> ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F |` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A )
11	7, 10	eqsstrri 3212	. . . . . 6 |- ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A )
12		resundi 4955	. . . . . . 7 |- ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) = ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) )
13		incom 3351	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i B ) = ( B i^i A )
14	13	uneq1i 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) = ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) )
15		inundifss 3524	. . . . . . . . 9 |- ( ( B i^i A ) u. ( B \ A ) ) C_ B
16	14, 15	eqsstri 3211	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) C_ B
17		ssres2 4969	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) C_ B -> ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( G |` ( ( A i^i B ) u. ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B )
19	12, 18	eqsstrri 3212	. . . . . 6 |- ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B )
20		unss12 3331	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) C_ ( F |` A ) /\ ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) C_ ( G |` B ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
21	11, 19, 20	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( G |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) )
22	6, 21	eqsstrdi 3231	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A \ B ) ) ) u. ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
23	3, 22	eqsstrrid 3226	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( F |` ( A i^i B ) ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
24	2, 23	eqsstrrid 3226	. 2 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) )
25		fnresdm 5363	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
26		fnresdm 5363	. . . 4 |- ( G Fn B -> ( G |` B ) = G )
27		uneq12 3308	. . . 4 |- ( ( ( F |` A ) = F /\ ( G |` B ) = G ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
28	25, 26, 27	syl2an 289	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
29	28	3adant3 1019	. 2 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` A ) u. ( G |` B ) ) = ( F u. G ) )
30	24, 29	sseqtrd 3217	1 |- ( ( F Fn A /\ G Fn B /\ ( F |` ( A i^i B ) ) = ( G |` ( A i^i B ) ) ) -> ( ( F |` ( A i^i B ) ) u. ( ( F |` ( A \ B ) ) u. ( G |` ( B \ A ) ) ) ) C_ ( F u. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   \ cdif 3150   u. cun 3151   i^i cin 3152   C_ wss 3153   |` cres 4661   Fn wfn 5249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-dm 4669  df-res 4671  df-fun 5256  df-fn 5257

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