Theorem ntrss2 14844

Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntrss2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )

Proof of Theorem ntrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	ntrval 14833	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3		inss2 3428	. . . 4 |- ( J i^i ~P S ) C_ ~P S
4	3	unissi 3916	. . 3 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ U. ~P S
5		unipw 4309	. . 3 |- U. ~P S = S
6	4, 5	sseqtri 3261	. 2 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ S
7	2, 6	eqsstrdi 3279	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   i^i cin 3199   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   U.cuni 3893   ` cfv 5326   Topctop 14720   intcnt 14816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-top 14721  df-ntr 14819

This theorem is referenced by:  ntrin  14847  neiint  14868  topssnei  14885  iscnp4  14941  cnntri  14947  cnntr  14948  cnptoprest  14962  dvbss  15408  dvfgg  15411  dvcnp2cntop  15422  dvaddxxbr  15424  dvmulxxbr  15425