Theorem ntrss2 13624

Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntrss2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )

Proof of Theorem ntrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	ntrval 13613	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3		inss2 3357	. . . 4 |- ( J i^i ~P S ) C_ ~P S
4	3	unissi 3833	. . 3 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ U. ~P S
5		unipw 4218	. . 3 |- U. ~P S = S
6	4, 5	sseqtri 3190	. 2 |- U. ( J i^i ~P S ) C_ S
7	2, 6	eqsstrdi 3208	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   i^i cin 3129   C_ wss 3130   ~Pcpw 3576   U.cuni 3810   ` cfv 5217   Topctop 13500   intcnt 13596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-top 13501  df-ntr 13599

This theorem is referenced by:  ntrin  13627  neiint  13648  topssnei  13665  iscnp4  13721  cnntri  13727  cnntr  13728  cnptoprest  13742  dvbss  14157  dvfgg  14160  dvcnp2cntop  14166  dvaddxxbr  14168  dvmulxxbr  14169