Theorem eqsstrdi 3244

Description: A chained subclass and equality deduction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrdi.2	⊢ 𝐵 ⊆ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
eqsstrdi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrdi.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eqsstrdi.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐶
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	1, 3	eqsstrd 3228	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ⊆ wss 3165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-11 1528  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-in 3171  df-ss 3178

This theorem is referenced by:  eqsstrrdi  3245  resasplitss  5454  fimacnv  5708  en2other2  7303  exmidfodomrlemim  7308  pw1on  7337  suplocexprlemex  7834  1arith  12632  ennnfonelemkh  12725  aprap  13990  znf1o  14355  mplbasss  14400  toponsspwpwg  14436  ntrss2  14535  cnprcl2k  14620  reldvg  15093  bj-nntrans  15820  nninfsellemsuc  15882