Theorem eqsstrdi 3279

Description: A chained subclass and equality deduction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrdi.2	⊢ 𝐵 ⊆ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
eqsstrdi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrdi.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eqsstrdi.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐶
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	1, 3	eqsstrd 3263	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  eqsstrrdi  3280  resasplitss  5516  fimacnv  5776  en2other2  7407  exmidfodomrlemim  7412  pw1on  7444  suplocexprlemex  7942  fzowrddc  11232  swrdlend  11243  1arith  12945  ennnfonelemkh  13038  aprap  14306  znf1o  14671  mplbasss  14716  toponsspwpwg  14752  ntrss2  14851  cnprcl2k  14936  reldvg  15409  uhgrspansubgr  16134  trlsex  16244  bj-nntrans  16572  nninfsellemsuc  16640