Theorem eqsstrdi 3300

Description: A chained subclass and equality deduction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrdi.2	⊢ 𝐵 ⊆ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
eqsstrdi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrdi.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		eqsstrdi.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐶
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	1, 3	eqsstrd 3284	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqsstrrdi  3301  resasplitss  5572  fimacnv  5840  suppssdmg  6493  funisfsuppdc  7298  snopfsupp  7306  en2other2  7554  exmidfodomrlemim  7559  pw1on  7591  suplocexprlemex  8095  fzowrddc  11440  swrdlend  11451  1arith  13174  ennnfonelemkh  13360  cntzrcl  14158  cntzssv  14159  aprap  14706  znf1o  15094  toponsspwpwg  15265  ntrss2  15364  cnprcl2k  15449  reldvg  15922  uhgrspansubgr  16740  trlsex  16850  bj-nntrans  17199  nninfsellemsuc  17278