Theorem bj-nntrans 15597

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans	|- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )

Proof of Theorem bj-nntrans

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 3552	. . 3 |- A. x e. (/) x C_ (/)
2		df-suc 4406	. . . . . . 7 |- suc z = ( z u. { z } )
3	2	eleq2i 2263	. . . . . 6 |- ( x e. suc z <-> x e. ( z u. { z } ) )
4		elun 3304	. . . . . . 7 |- ( x e. ( z u. { z } ) <-> ( x e. z \/ x e. { z } ) )
5		sssucid 4450	. . . . . . . . . 10 |- z C_ suc z
6		sstr2 3190	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ z -> ( z C_ suc z -> x C_ suc z ) )
7	5, 6	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ z -> x C_ suc z )
8	7	imim2i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. z -> x C_ suc z ) )
9		elsni 3640	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { z } -> x = z )
10	9, 5	eqsstrdi 3235	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { z } -> x C_ suc z )
11	10	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. { z } -> x C_ suc z ) )
12	8, 11	jaod 718	. . . . . . 7 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( ( x e. z \/ x e. { z } ) -> x C_ suc z ) )
13	4, 12	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. ( z u. { z } ) -> x C_ suc z ) )
14	3, 13	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. suc z -> x C_ suc z ) )
15	14	ralimi2 2557	. . . 4 |- ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z )
16	15	rgenw 2552	. . 3 |- A. z e. om ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z )
17		bdcv 15494	. . . . . 6 |- BOUNDED y
18	17	bdss 15510	. . . . 5 |- BOUNDED x C_ y
19	18	ax-bdal 15464	. . . 4 |- BOUNDED A. x e. y x C_ y
20		nfv 1542	. . . 4 |- F/ y A. x e. (/) x C_ (/)
21		nfv 1542	. . . 4 |- F/ y A. x e. z x C_ z
22		nfv 1542	. . . 4 |- F/ y A. x e. suc z x C_ suc z
23		sseq2 3207	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( x C_ y <-> x C_ (/) ) )
24	23	raleqbi1dv 2705	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. (/) x C_ (/) ) )
25	24	biimprd 158	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( A. x e. (/) x C_ (/) -> A. x e. y x C_ y ) )
26		sseq2 3207	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x C_ y <-> x C_ z ) )
27	26	raleqbi1dv 2705	. . . . 5 |- ( y = z -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. z x C_ z ) )
28	27	biimpd 144	. . . 4 |- ( y = z -> ( A. x e. y x C_ y -> A. x e. z x C_ z ) )
29		sseq2 3207	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( x C_ y <-> x C_ suc z ) )
30	29	raleqbi1dv 2705	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. suc z x C_ suc z ) )
31	30	biimprd 158	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( A. x e. suc z x C_ suc z -> A. x e. y x C_ y ) )
32		nfcv 2339	. . . 4 |- F/_ y A
33		nfv 1542	. . . 4 |- F/ y A. x e. A x C_ A
34		sseq2 3207	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x C_ y <-> x C_ A ) )
35	34	raleqbi1dv 2705	. . . . 5 |- ( y = A -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. A x C_ A ) )
36	35	biimpd 144	. . . 4 |- ( y = A -> ( A. x e. y x C_ y -> A. x e. A x C_ A ) )
37	19, 20, 21, 22, 25, 28, 31, 32, 33, 36	bj-bdfindisg 15594	. . 3 |- ( ( A. x e. (/) x C_ (/) /\ A. z e. om ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z ) ) -> ( A e. om -> A. x e. A x C_ A ) )
38	1, 16, 37	mp2an 426	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
39		nfv 1542	. . 3 |- F/ x B C_ A
40		sseq1 3206	. . 3 |- ( x = B -> ( x C_ A <-> B C_ A ) )
41	39, 40	rspc 2862	. 2 |- ( B e. A -> ( A. x e. A x C_ A -> B C_ A ) )
42	38, 41	syl5com 29	1 |- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   suc csuc 4400   omcom 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-nul 4159  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-bd0 15459  ax-bdor 15462  ax-bdal 15464  ax-bdex 15465  ax-bdeq 15466  ax-bdel 15467  ax-bdsb 15468  ax-bdsep 15530  ax-infvn 15587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-suc 4406  df-iom 4627  df-bdc 15487  df-bj-ind 15573

This theorem is referenced by:  bj-nntrans2  15598  bj-nnelirr  15599  bj-nnen2lp  15600