Theorem bj-nntrans 13138

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans	|- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )

Proof of Theorem bj-nntrans

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 3459	. . 3 |- A. x e. (/) x C_ (/)
2		df-suc 4288	. . . . . . 7 |- suc z = ( z u. { z } )
3	2	eleq2i 2204	. . . . . 6 |- ( x e. suc z <-> x e. ( z u. { z } ) )
4		elun 3212	. . . . . . 7 |- ( x e. ( z u. { z } ) <-> ( x e. z \/ x e. { z } ) )
5		sssucid 4332	. . . . . . . . . 10 |- z C_ suc z
6		sstr2 3099	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ z -> ( z C_ suc z -> x C_ suc z ) )
7	5, 6	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ z -> x C_ suc z )
8	7	imim2i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. z -> x C_ suc z ) )
9		elsni 3540	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { z } -> x = z )
10	9, 5	eqsstrdi 3144	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { z } -> x C_ suc z )
11	10	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. { z } -> x C_ suc z ) )
12	8, 11	jaod 706	. . . . . . 7 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( ( x e. z \/ x e. { z } ) -> x C_ suc z ) )
13	4, 12	syl5bi 151	. . . . . 6 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. ( z u. { z } ) -> x C_ suc z ) )
14	3, 13	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. suc z -> x C_ suc z ) )
15	14	ralimi2 2490	. . . 4 |- ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z )
16	15	rgenw 2485	. . 3 |- A. z e. om ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z )
17		bdcv 13035	. . . . . 6 |- BOUNDED y
18	17	bdss 13051	. . . . 5 |- BOUNDED x C_ y
19	18	ax-bdal 13005	. . . 4 |- BOUNDED A. x e. y x C_ y
20		nfv 1508	. . . 4 |- F/ y A. x e. (/) x C_ (/)
21		nfv 1508	. . . 4 |- F/ y A. x e. z x C_ z
22		nfv 1508	. . . 4 |- F/ y A. x e. suc z x C_ suc z
23		sseq2 3116	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( x C_ y <-> x C_ (/) ) )
24	23	raleqbi1dv 2632	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. (/) x C_ (/) ) )
25	24	biimprd 157	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( A. x e. (/) x C_ (/) -> A. x e. y x C_ y ) )
26		sseq2 3116	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x C_ y <-> x C_ z ) )
27	26	raleqbi1dv 2632	. . . . 5 |- ( y = z -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. z x C_ z ) )
28	27	biimpd 143	. . . 4 |- ( y = z -> ( A. x e. y x C_ y -> A. x e. z x C_ z ) )
29		sseq2 3116	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( x C_ y <-> x C_ suc z ) )
30	29	raleqbi1dv 2632	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. suc z x C_ suc z ) )
31	30	biimprd 157	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( A. x e. suc z x C_ suc z -> A. x e. y x C_ y ) )
32		nfcv 2279	. . . 4 |- F/_ y A
33		nfv 1508	. . . 4 |- F/ y A. x e. A x C_ A
34		sseq2 3116	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x C_ y <-> x C_ A ) )
35	34	raleqbi1dv 2632	. . . . 5 |- ( y = A -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. A x C_ A ) )
36	35	biimpd 143	. . . 4 |- ( y = A -> ( A. x e. y x C_ y -> A. x e. A x C_ A ) )
37	19, 20, 21, 22, 25, 28, 31, 32, 33, 36	bj-bdfindisg 13135	. . 3 |- ( ( A. x e. (/) x C_ (/) /\ A. z e. om ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z ) ) -> ( A e. om -> A. x e. A x C_ A ) )
38	1, 16, 37	mp2an 422	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
39		nfv 1508	. . 3 |- F/ x B C_ A
40		sseq1 3115	. . 3 |- ( x = B -> ( x C_ A <-> B C_ A ) )
41	39, 40	rspc 2778	. 2 |- ( B e. A -> ( A. x e. A x C_ A -> B C_ A ) )
42	38, 41	syl5com 29	1 |- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   u. cun 3064   C_ wss 3066   (/)c0 3358   {csn 3522   suc csuc 4282   omcom 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-nul 4049  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-bd0 13000  ax-bdor 13003  ax-bdal 13005  ax-bdex 13006  ax-bdeq 13007  ax-bdel 13008  ax-bdsb 13009  ax-bdsep 13071  ax-infvn 13128

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-suc 4288  df-iom 4500  df-bdc 13028  df-bj-ind 13114

This theorem is referenced by:  bj-nntrans2  13139  bj-nnelirr  13140  bj-nnen2lp  13141