Theorem bj-nntrans 13320

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans	|- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )

Proof of Theorem bj-nntrans

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 3469	. . 3 |- A. x e. (/) x C_ (/)
2		df-suc 4301	. . . . . . 7 |- suc z = ( z u. { z } )
3	2	eleq2i 2207	. . . . . 6 |- ( x e. suc z <-> x e. ( z u. { z } ) )
4		elun 3222	. . . . . . 7 |- ( x e. ( z u. { z } ) <-> ( x e. z \/ x e. { z } ) )
5		sssucid 4345	. . . . . . . . . 10 |- z C_ suc z
6		sstr2 3109	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ z -> ( z C_ suc z -> x C_ suc z ) )
7	5, 6	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ z -> x C_ suc z )
8	7	imim2i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. z -> x C_ suc z ) )
9		elsni 3550	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { z } -> x = z )
10	9, 5	eqsstrdi 3154	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { z } -> x C_ suc z )
11	10	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. { z } -> x C_ suc z ) )
12	8, 11	jaod 707	. . . . . . 7 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( ( x e. z \/ x e. { z } ) -> x C_ suc z ) )
13	4, 12	syl5bi 151	. . . . . 6 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. ( z u. { z } ) -> x C_ suc z ) )
14	3, 13	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. suc z -> x C_ suc z ) )
15	14	ralimi2 2495	. . . 4 |- ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z )
16	15	rgenw 2490	. . 3 |- A. z e. om ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z )
17		bdcv 13217	. . . . . 6 |- BOUNDED y
18	17	bdss 13233	. . . . 5 |- BOUNDED x C_ y
19	18	ax-bdal 13187	. . . 4 |- BOUNDED A. x e. y x C_ y
20		nfv 1509	. . . 4 |- F/ y A. x e. (/) x C_ (/)
21		nfv 1509	. . . 4 |- F/ y A. x e. z x C_ z
22		nfv 1509	. . . 4 |- F/ y A. x e. suc z x C_ suc z
23		sseq2 3126	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( x C_ y <-> x C_ (/) ) )
24	23	raleqbi1dv 2637	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. (/) x C_ (/) ) )
25	24	biimprd 157	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( A. x e. (/) x C_ (/) -> A. x e. y x C_ y ) )
26		sseq2 3126	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x C_ y <-> x C_ z ) )
27	26	raleqbi1dv 2637	. . . . 5 |- ( y = z -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. z x C_ z ) )
28	27	biimpd 143	. . . 4 |- ( y = z -> ( A. x e. y x C_ y -> A. x e. z x C_ z ) )
29		sseq2 3126	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( x C_ y <-> x C_ suc z ) )
30	29	raleqbi1dv 2637	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. suc z x C_ suc z ) )
31	30	biimprd 157	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( A. x e. suc z x C_ suc z -> A. x e. y x C_ y ) )
32		nfcv 2282	. . . 4 |- F/_ y A
33		nfv 1509	. . . 4 |- F/ y A. x e. A x C_ A
34		sseq2 3126	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x C_ y <-> x C_ A ) )
35	34	raleqbi1dv 2637	. . . . 5 |- ( y = A -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. A x C_ A ) )
36	35	biimpd 143	. . . 4 |- ( y = A -> ( A. x e. y x C_ y -> A. x e. A x C_ A ) )
37	19, 20, 21, 22, 25, 28, 31, 32, 33, 36	bj-bdfindisg 13317	. . 3 |- ( ( A. x e. (/) x C_ (/) /\ A. z e. om ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z ) ) -> ( A e. om -> A. x e. A x C_ A ) )
38	1, 16, 37	mp2an 423	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
39		nfv 1509	. . 3 |- F/ x B C_ A
40		sseq1 3125	. . 3 |- ( x = B -> ( x C_ A <-> B C_ A ) )
41	39, 40	rspc 2787	. 2 |- ( B e. A -> ( A. x e. A x C_ A -> B C_ A ) )
42	38, 41	syl5com 29	1 |- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   u. cun 3074   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   suc csuc 4295   omcom 4512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-nul 4062  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-bd0 13182  ax-bdor 13185  ax-bdal 13187  ax-bdex 13188  ax-bdeq 13189  ax-bdel 13190  ax-bdsb 13191  ax-bdsep 13253  ax-infvn 13310

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-suc 4301  df-iom 4513  df-bdc 13210  df-bj-ind 13296

This theorem is referenced by:  bj-nntrans2  13321  bj-nnelirr  13322  bj-nnen2lp  13323