Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nntrans Unicode version

Theorem bj-nntrans 14742
Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nntrans  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )

Proof of Theorem bj-nntrans
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 3526 . . 3  |-  A. x  e.  (/)  x  C_  (/)
2 df-suc 4373 . . . . . . 7  |-  suc  z  =  ( z  u. 
{ z } )
32eleq2i 2244 . . . . . 6  |-  ( x  e.  suc  z  <->  x  e.  ( z  u.  {
z } ) )
4 elun 3278 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( z  u. 
{ z } )  <-> 
( x  e.  z  \/  x  e.  {
z } ) )
5 sssucid 4417 . . . . . . . . . 10  |-  z  C_  suc  z
6 sstr2 3164 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  z  ->  (
z  C_  suc  z  ->  x  C_  suc  z ) )
75, 6mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  z  ->  x  C_ 
suc  z )
87imim2i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  z  ->  x  C_  suc  z ) )
9 elsni 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  =  z )
109, 5eqsstrdi 3209 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  C_  suc  z )
1110a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  {
z }  ->  x  C_ 
suc  z ) )
128, 11jaod 717 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( ( x  e.  z  \/  x  e. 
{ z } )  ->  x  C_  suc  z ) )
134, 12biimtrid 152 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  ( z  u.  { z } )  ->  x  C_ 
suc  z ) )
143, 13biimtrid 152 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  suc  z  ->  x  C_  suc  z ) )
1514ralimi2 2537 . . . 4  |-  ( A. x  e.  z  x  C_  z  ->  A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z )
1615rgenw 2532 . . 3  |-  A. z  e.  om  ( A. x  e.  z  x  C_  z  ->  A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z
)
17 bdcv 14639 . . . . . 6  |- BOUNDED  y
1817bdss 14655 . . . . 5  |- BOUNDED  x  C_  y
1918ax-bdal 14609 . . . 4  |- BOUNDED  A. x  e.  y  x  C_  y
20 nfv 1528 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  (/)  x  C_  (/)
21 nfv 1528 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  z  x  C_  z
22 nfv 1528 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z
23 sseq2 3181 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x 
C_  y  <->  x  C_  (/) ) )
2423raleqbi1dv 2681 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  (/)  x  C_  (/) ) )
2524biimprd 158 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. x  e.  (/)  x  C_  (/) 
->  A. x  e.  y  x  C_  y )
)
26 sseq2 3181 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  z
) )
2726raleqbi1dv 2681 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  z  x  C_  z
) )
2827biimpd 144 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  ->  A. x  e.  z  x  C_  z
) )
29 sseq2 3181 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( x  C_  y  <->  x 
C_  suc  z )
)
3029raleqbi1dv 2681 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  suc  z
x  C_  suc  z ) )
3130biimprd 158 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( A. x  e. 
suc  z x  C_  suc  z  ->  A. x  e.  y  x  C_  y
) )
32 nfcv 2319 . . . 4  |-  F/_ y A
33 nfv 1528 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  A  x  C_  A
34 sseq2 3181 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  A
) )
3534raleqbi1dv 2681 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  A  x  C_  A
) )
3635biimpd 144 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  ->  A. x  e.  A  x  C_  A
) )
3719, 20, 21, 22, 25, 28, 31, 32, 33, 36bj-bdfindisg 14739 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  (/)  x  C_  (/)  /\  A. z  e.  om  ( A. x  e.  z  x  C_  z  ->  A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z
) )  ->  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  A  x 
C_  A ) )
381, 16, 37mp2an 426 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  A  x  C_  A
)
39 nfv 1528 . . 3  |-  F/ x  B  C_  A
40 sseq1 3180 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C_  A  <->  B  C_  A
) )
4139, 40rspc 2837 . 2  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  x  C_  A  ->  B  C_  A ) )
4238, 41syl5com 29 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455    u. cun 3129    C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   suc csuc 4367   omcom 4591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-nul 4131  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-bd0 14604  ax-bdor 14607  ax-bdal 14609  ax-bdex 14610  ax-bdeq 14611  ax-bdel 14612  ax-bdsb 14613  ax-bdsep 14675  ax-infvn 14732
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-suc 4373  df-iom 4592  df-bdc 14632  df-bj-ind 14718
This theorem is referenced by:  bj-nntrans2  14743  bj-nnelirr  14744  bj-nnen2lp  14745
  Copyright terms: Public domain W3C validator