Theorem bj-nntrans 13986

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans	|- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )

Proof of Theorem bj-nntrans

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 3516	. . 3 |- A. x e. (/) x C_ (/)
2		df-suc 4356	. . . . . . 7 |- suc z = ( z u. { z } )
3	2	eleq2i 2237	. . . . . 6 |- ( x e. suc z <-> x e. ( z u. { z } ) )
4		elun 3268	. . . . . . 7 |- ( x e. ( z u. { z } ) <-> ( x e. z \/ x e. { z } ) )
5		sssucid 4400	. . . . . . . . . 10 |- z C_ suc z
6		sstr2 3154	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ z -> ( z C_ suc z -> x C_ suc z ) )
7	5, 6	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ z -> x C_ suc z )
8	7	imim2i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. z -> x C_ suc z ) )
9		elsni 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { z } -> x = z )
10	9, 5	eqsstrdi 3199	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { z } -> x C_ suc z )
11	10	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. { z } -> x C_ suc z ) )
12	8, 11	jaod 712	. . . . . . 7 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( ( x e. z \/ x e. { z } ) -> x C_ suc z ) )
13	4, 12	syl5bi 151	. . . . . 6 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. ( z u. { z } ) -> x C_ suc z ) )
14	3, 13	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. suc z -> x C_ suc z ) )
15	14	ralimi2 2530	. . . 4 |- ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z )
16	15	rgenw 2525	. . 3 |- A. z e. om ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z )
17		bdcv 13883	. . . . . 6 |- BOUNDED y
18	17	bdss 13899	. . . . 5 |- BOUNDED x C_ y
19	18	ax-bdal 13853	. . . 4 |- BOUNDED A. x e. y x C_ y
20		nfv 1521	. . . 4 |- F/ y A. x e. (/) x C_ (/)
21		nfv 1521	. . . 4 |- F/ y A. x e. z x C_ z
22		nfv 1521	. . . 4 |- F/ y A. x e. suc z x C_ suc z
23		sseq2 3171	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( x C_ y <-> x C_ (/) ) )
24	23	raleqbi1dv 2673	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. (/) x C_ (/) ) )
25	24	biimprd 157	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( A. x e. (/) x C_ (/) -> A. x e. y x C_ y ) )
26		sseq2 3171	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x C_ y <-> x C_ z ) )
27	26	raleqbi1dv 2673	. . . . 5 |- ( y = z -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. z x C_ z ) )
28	27	biimpd 143	. . . 4 |- ( y = z -> ( A. x e. y x C_ y -> A. x e. z x C_ z ) )
29		sseq2 3171	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( x C_ y <-> x C_ suc z ) )
30	29	raleqbi1dv 2673	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. suc z x C_ suc z ) )
31	30	biimprd 157	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( A. x e. suc z x C_ suc z -> A. x e. y x C_ y ) )
32		nfcv 2312	. . . 4 |- F/_ y A
33		nfv 1521	. . . 4 |- F/ y A. x e. A x C_ A
34		sseq2 3171	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x C_ y <-> x C_ A ) )
35	34	raleqbi1dv 2673	. . . . 5 |- ( y = A -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. A x C_ A ) )
36	35	biimpd 143	. . . 4 |- ( y = A -> ( A. x e. y x C_ y -> A. x e. A x C_ A ) )
37	19, 20, 21, 22, 25, 28, 31, 32, 33, 36	bj-bdfindisg 13983	. . 3 |- ( ( A. x e. (/) x C_ (/) /\ A. z e. om ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z ) ) -> ( A e. om -> A. x e. A x C_ A ) )
38	1, 16, 37	mp2an 424	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
39		nfv 1521	. . 3 |- F/ x B C_ A
40		sseq1 3170	. . 3 |- ( x = B -> ( x C_ A <-> B C_ A ) )
41	39, 40	rspc 2828	. 2 |- ( B e. A -> ( A. x e. A x C_ A -> B C_ A ) )
42	38, 41	syl5com 29	1 |- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   suc csuc 4350   omcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-nul 4115  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-bd0 13848  ax-bdor 13851  ax-bdal 13853  ax-bdex 13854  ax-bdeq 13855  ax-bdel 13856  ax-bdsb 13857  ax-bdsep 13919  ax-infvn 13976

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575  df-bdc 13876  df-bj-ind 13962

This theorem is referenced by:  bj-nntrans2  13987  bj-nnelirr  13988  bj-nnen2lp  13989