Theorem f1ococnv2 5459

Description: The composition of a one-to-one onto function and its converse equals the identity relation restricted to the function's range. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv2	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Proof of Theorem f1ococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 5439	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
2		fococnv2 5458	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   _I cid 4266   `'ccnv 4603   |` cres 4606   o. ccom 4608   -onto->wfo 5186   -1-1-onto->wf1o 5187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195

This theorem is referenced by:  f1ococnv1  5461  f1ocnvfv2  5746  mapen  6812  hashfacen  10749