Theorem f1ococnv2 5527

Description: The composition of a one-to-one onto function and its converse equals the identity relation restricted to the function's range. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv2	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Proof of Theorem f1ococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ofo 5507	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
2		fococnv2 5526	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   _I cid 4319   `'ccnv 4658   |` cres 4661   o. ccom 4663   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261

This theorem is referenced by:  f1ococnv1  5529  f1ocnvfv2  5821  mapen  6902  hashfacen  10907