Theorem mapen 6733

Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapen	|- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )

Proof of Theorem mapen

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6634	. 2 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )
2		bren 6634	. 2 |- ( C ~~ D <-> E. g g : C -1-1-onto-> D )
3		eeanv 1902	. . 3 |- ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) <-> ( E. f f : A -1-1-onto-> B /\ E. g g : C -1-1-onto-> D ) )
4		fnmap 6542	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
5		f1odm 5364	. . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> dom f = A )
6	5	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> dom f = A )
7		vex 2684	. . . . . . . 8 |- f e. _V
8	7	dmex 4800	. . . . . . 7 |- dom f e. _V
9	6, 8	eqeltrrdi 2229	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> A e. _V )
10		f1odm 5364	. . . . . . . 8 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> dom g = C )
11	10	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> dom g = C )
12		vex 2684	. . . . . . . 8 |- g e. _V
13	12	dmex 4800	. . . . . . 7 |- dom g e. _V
14	11, 13	eqeltrrdi 2229	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> C e. _V )
15		fnovex 5797	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A ^m C ) e. _V )
16	4, 9, 14, 15	mp3an2i 1320	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) e. _V )
17		f1ofo 5367	. . . . . . . . 9 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
18	17	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> f : A -onto-> B )
19		forn 5343	. . . . . . . 8 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ran f = B )
21	7	rnex 4801	. . . . . . 7 |- ran f e. _V
22	20, 21	eqeltrrdi 2229	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> B e. _V )
23		f1ofo 5367	. . . . . . . . 9 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> g : C -onto-> D )
24	23	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> g : C -onto-> D )
25		forn 5343	. . . . . . . 8 |- ( g : C -onto-> D -> ran g = D )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ran g = D )
27	12	rnex 4801	. . . . . . 7 |- ran g e. _V
28	26, 27	eqeltrrdi 2229	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> D e. _V )
29		fnovex 5797	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ B e. _V /\ D e. _V ) -> ( B ^m D ) e. _V )
30	4, 22, 28, 29	mp3an2i 1320	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( B ^m D ) e. _V )
31		elmapi 6557	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A ^m C ) -> x : C --> A )
32		f1of 5360	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A --> B )
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> f : A --> B )
34		fco 5283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> B /\ x : C --> A ) -> ( f o. x ) : C --> B )
35	33, 34	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ x : C --> A ) -> ( f o. x ) : C --> B )
36		f1ocnv 5373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> `' g : D -1-1-onto-> C )
37	36	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' g : D -1-1-onto-> C )
38		f1of 5360	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' g : D -1-1-onto-> C -> `' g : D --> C )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' g : D --> C )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ x : C --> A ) -> `' g : D --> C )
41		fco 5283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f o. x ) : C --> B /\ `' g : D --> C ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B )
42	35, 40, 41	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ x : C --> A ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B )
43	42	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( x : C --> A -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B ) )
44	31, 43	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. ( A ^m C ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B ) )
45	22, 28	elmapd 6549	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( ( f o. x ) o. `' g ) e. ( B ^m D ) <-> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B ) )
46	44, 45	sylibrd 168	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. ( A ^m C ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) e. ( B ^m D ) ) )
47		elmapi 6557	. . . . . . 7 |- ( y e. ( B ^m D ) -> y : D --> B )
48		f1ocnv 5373	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> `' f : B -1-1-onto-> A )
49	48	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' f : B -1-1-onto-> A )
50		f1of 5360	. . . . . . . . . 10 |- ( `' f : B -1-1-onto-> A -> `' f : B --> A )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' f : B --> A )
52		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( y : D --> B -> y : D --> B )
53		f1of 5360	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> g : C --> D )
54	53	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> g : C --> D )
55		fco 5283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y : D --> B /\ g : C --> D ) -> ( y o. g ) : C --> B )
56	52, 54, 55	syl2anr 288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ y : D --> B ) -> ( y o. g ) : C --> B )
57		fco 5283	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' f : B --> A /\ ( y o. g ) : C --> B ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A )
58	51, 56, 57	syl2an2r 584	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ y : D --> B ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A )
59	58	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( y : D --> B -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) )
60	47, 59	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. ( B ^m D ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) )
61	9, 14	elmapd 6549	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( `' f o. ( y o. g ) ) e. ( A ^m C ) <-> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) )
62	60, 61	sylibrd 168	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. ( B ^m D ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) e. ( A ^m C ) ) )
63		coass 5052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f o. `' f ) o. ( y o. g ) ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) )
64		f1ococnv2 5387	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( f o. `' f ) = ( _I |` B ) )
65	64	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( f o. `' f ) = ( _I |` B ) )
66	65	coeq1d 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. `' f ) o. ( y o. g ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( y o. g ) ) )
67	56	adantrl 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( y o. g ) : C --> B )
68		fcoi2 5299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : C --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( _I |` B ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
70	66, 69	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. `' f ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
71	63, 70	syl5eqr 2184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) = ( y o. g ) )
72	71	eqeq2d 2149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> ( f o. x ) = ( y o. g ) ) )
73		coass 5052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( ( f o. x ) o. ( `' g o. g ) )
74		f1ococnv1 5389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> ( `' g o. g ) = ( _I |` C ) )
75	74	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( `' g o. g ) = ( _I |` C ) )
76	75	coeq2d 4696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( ( f o. x ) o. ( _I |` C ) ) )
77	35	adantrr 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( f o. x ) : C --> B )
78		fcoi1 5298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f o. x ) : C --> B -> ( ( f o. x ) o. ( _I |` C ) ) = ( f o. x ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. ( _I |` C ) ) = ( f o. x ) )
80	76, 79	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( f o. x ) )
81	73, 80	syl5eq 2182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( f o. x ) )
82	81	eqeq2d 2149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> ( y o. g ) = ( f o. x ) ) )
83		eqcom 2139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y o. g ) = ( f o. x ) <-> ( f o. x ) = ( y o. g ) )
84	82, 83	syl6bb 195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> ( f o. x ) = ( y o. g ) ) )
85	72, 84	bitr4d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) ) )
86		f1of1 5359	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -1-1-> B )
87	86	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> f : A -1-1-> B )
88		simprl 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> x : C --> A )
89	58	adantrl 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A )
90		cocan1 5681	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ x : C --> A /\ ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' f o. ( y o. g ) ) ) )
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' f o. ( y o. g ) ) ) )
92	24	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> g : C -onto-> D )
93		ffn 5267	. . . . . . . . . 10 |- ( y : D --> B -> y Fn D )
94	93	ad2antll 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> y Fn D )
95	42	adantrr 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B )
96		ffn 5267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B -> ( ( f o. x ) o. `' g ) Fn D )
97	95, 96	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) Fn D )
98		cocan2 5682	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : C -onto-> D /\ y Fn D /\ ( ( f o. x ) o. `' g ) Fn D ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) )
99	92, 94, 97, 98	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) )
100	85, 91, 99	3bitr3d 217	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( x = ( `' f o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) )
101	100	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x : C --> A /\ y : D --> B ) -> ( x = ( `' f o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) ) )
102	31, 47, 101	syl2ani 405	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x e. ( A ^m C ) /\ y e. ( B ^m D ) ) -> ( x = ( `' f o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) ) )
103	16, 30, 46, 62, 102	en3d 6656	. . . 4 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )
104	103	exlimivv 1868	. . 3 |- ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )
105	3, 104	sylbir 134	. 2 |- ( ( E. f f : A -1-1-onto-> B /\ E. g g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )
106	1, 2, 105	syl2anb 289	1 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   class class class wbr 3924   _I cid 4205   X. cxp 4532   `'ccnv 4533   dom cdm 4534   ran crn 4535   |` cres 4536   o. ccom 4538   Fn wfn 5113   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115   -onto->wfo 5116   -1-1-onto->wf1o 5117  (class class class)co 5767   ^m cmap 6535   ~~ cen 6625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537  df-en 6628

This theorem is referenced by:  mapdom1g  6734