Theorem mapen 6968

Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapen	|- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )

Proof of Theorem mapen

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6858	. 2 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )
2		bren 6858	. 2 |- ( C ~~ D <-> E. g g : C -1-1-onto-> D )
3		eeanv 1961	. . 3 |- ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) <-> ( E. f f : A -1-1-onto-> B /\ E. g g : C -1-1-onto-> D ) )
4		fnmap 6765	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
5		f1odm 5548	. . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> dom f = A )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> dom f = A )
7		vex 2779	. . . . . . . 8 |- f e. _V
8	7	dmex 4964	. . . . . . 7 |- dom f e. _V
9	6, 8	eqeltrrdi 2299	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> A e. _V )
10		f1odm 5548	. . . . . . . 8 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> dom g = C )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> dom g = C )
12		vex 2779	. . . . . . . 8 |- g e. _V
13	12	dmex 4964	. . . . . . 7 |- dom g e. _V
14	11, 13	eqeltrrdi 2299	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> C e. _V )
15		fnovex 6000	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A ^m C ) e. _V )
16	4, 9, 14, 15	mp3an2i 1355	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) e. _V )
17		f1ofo 5551	. . . . . . . . 9 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
18	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> f : A -onto-> B )
19		forn 5523	. . . . . . . 8 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ran f = B )
21	7	rnex 4965	. . . . . . 7 |- ran f e. _V
22	20, 21	eqeltrrdi 2299	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> B e. _V )
23		f1ofo 5551	. . . . . . . . 9 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> g : C -onto-> D )
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> g : C -onto-> D )
25		forn 5523	. . . . . . . 8 |- ( g : C -onto-> D -> ran g = D )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ran g = D )
27	12	rnex 4965	. . . . . . 7 |- ran g e. _V
28	26, 27	eqeltrrdi 2299	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> D e. _V )
29		fnovex 6000	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ B e. _V /\ D e. _V ) -> ( B ^m D ) e. _V )
30	4, 22, 28, 29	mp3an2i 1355	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( B ^m D ) e. _V )
31		elmapi 6780	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A ^m C ) -> x : C --> A )
32		f1of 5544	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A --> B )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> f : A --> B )
34		fco 5461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> B /\ x : C --> A ) -> ( f o. x ) : C --> B )
35	33, 34	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ x : C --> A ) -> ( f o. x ) : C --> B )
36		f1ocnv 5557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> `' g : D -1-1-onto-> C )
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' g : D -1-1-onto-> C )
38		f1of 5544	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' g : D -1-1-onto-> C -> `' g : D --> C )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' g : D --> C )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ x : C --> A ) -> `' g : D --> C )
41		fco 5461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f o. x ) : C --> B /\ `' g : D --> C ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B )
42	35, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ x : C --> A ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B )
43	42	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( x : C --> A -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B ) )
44	31, 43	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. ( A ^m C ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B ) )
45	22, 28	elmapd 6772	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( ( f o. x ) o. `' g ) e. ( B ^m D ) <-> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B ) )
46	44, 45	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. ( A ^m C ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) e. ( B ^m D ) ) )
47		elmapi 6780	. . . . . . 7 |- ( y e. ( B ^m D ) -> y : D --> B )
48		f1ocnv 5557	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> `' f : B -1-1-onto-> A )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' f : B -1-1-onto-> A )
50		f1of 5544	. . . . . . . . . 10 |- ( `' f : B -1-1-onto-> A -> `' f : B --> A )
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> `' f : B --> A )
52		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( y : D --> B -> y : D --> B )
53		f1of 5544	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> g : C --> D )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> g : C --> D )
55		fco 5461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y : D --> B /\ g : C --> D ) -> ( y o. g ) : C --> B )
56	52, 54, 55	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ y : D --> B ) -> ( y o. g ) : C --> B )
57		fco 5461	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' f : B --> A /\ ( y o. g ) : C --> B ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A )
58	51, 56, 57	syl2an2r 595	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ y : D --> B ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A )
59	58	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( y : D --> B -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) )
60	47, 59	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. ( B ^m D ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) )
61	9, 14	elmapd 6772	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( `' f o. ( y o. g ) ) e. ( A ^m C ) <-> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) )
62	60, 61	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. ( B ^m D ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) e. ( A ^m C ) ) )
63		coass 5220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f o. `' f ) o. ( y o. g ) ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) )
64		f1ococnv2 5571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( f o. `' f ) = ( _I |` B ) )
65	64	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( f o. `' f ) = ( _I |` B ) )
66	65	coeq1d 4857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. `' f ) o. ( y o. g ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( y o. g ) ) )
67	56	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( y o. g ) : C --> B )
68		fcoi2 5479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : C --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( _I |` B ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
70	66, 69	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. `' f ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
71	63, 70	eqtr3id 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) = ( y o. g ) )
72	71	eqeq2d 2219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> ( f o. x ) = ( y o. g ) ) )
73		coass 5220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( ( f o. x ) o. ( `' g o. g ) )
74		f1ococnv1 5573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : C -1-1-onto-> D -> ( `' g o. g ) = ( _I |` C ) )
75	74	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( `' g o. g ) = ( _I |` C ) )
76	75	coeq2d 4858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( ( f o. x ) o. ( _I |` C ) ) )
77	35	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( f o. x ) : C --> B )
78		fcoi1 5478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f o. x ) : C --> B -> ( ( f o. x ) o. ( _I |` C ) ) = ( f o. x ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. ( _I |` C ) ) = ( f o. x ) )
80	76, 79	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( f o. x ) )
81	73, 80	eqtrid 2252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( f o. x ) )
82	81	eqeq2d 2219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> ( y o. g ) = ( f o. x ) ) )
83		eqcom 2209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y o. g ) = ( f o. x ) <-> ( f o. x ) = ( y o. g ) )
84	82, 83	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> ( f o. x ) = ( y o. g ) ) )
85	72, 84	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) ) )
86		f1of1 5543	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -1-1-> B )
87	86	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> f : A -1-1-> B )
88		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> x : C --> A )
89	58	adantrl 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A )
90		cocan1 5879	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ x : C --> A /\ ( `' f o. ( y o. g ) ) : C --> A ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' f o. ( y o. g ) ) ) )
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) = ( f o. ( `' f o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' f o. ( y o. g ) ) ) )
92	24	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> g : C -onto-> D )
93		ffn 5445	. . . . . . . . . 10 |- ( y : D --> B -> y Fn D )
94	93	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> y Fn D )
95	42	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B )
96		ffn 5445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f o. x ) o. `' g ) : D --> B -> ( ( f o. x ) o. `' g ) Fn D )
97	95, 96	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( f o. x ) o. `' g ) Fn D )
98		cocan2 5880	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : C -onto-> D /\ y Fn D /\ ( ( f o. x ) o. `' g ) Fn D ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) )
99	92, 94, 97, 98	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( f o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) )
100	85, 91, 99	3bitr3d 218	. . . . . . 7 |- ( ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : C --> A /\ y : D --> B ) ) -> ( x = ( `' f o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) )
101	100	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x : C --> A /\ y : D --> B ) -> ( x = ( `' f o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) ) )
102	31, 47, 101	syl2ani 408	. . . . 5 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x e. ( A ^m C ) /\ y e. ( B ^m D ) ) -> ( x = ( `' f o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( f o. x ) o. `' g ) ) ) )
103	16, 30, 46, 62, 102	en3d 6883	. . . 4 |- ( ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )
104	103	exlimivv 1921	. . 3 |- ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B /\ g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )
105	3, 104	sylbir 135	. 2 |- ( ( E. f f : A -1-1-onto-> B /\ E. g g : C -1-1-onto-> D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )
106	1, 2, 105	syl2anb 291	1 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> ( A ^m C ) ~~ ( B ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   _I cid 4353   X. cxp 4691   `'ccnv 4692   dom cdm 4693   ran crn 4694   |` cres 4695   o. ccom 4697   Fn wfn 5285   -->wf 5286   -1-1->wf1 5287   -onto->wfo 5288   -1-1-onto->wf1o 5289  (class class class)co 5967   ^m cmap 6758   ~~ cen 6848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-en 6851

This theorem is referenced by:  mapdom1g  6969