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Theorem hashfacen 10818
Description: The number of bijections between two sets is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfacen |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
Distinct variable groups:   A, f   B, f   C, f   D, f
Proof of Theorem hashfacen
Dummy variables g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6749 . 2 |- ( A ~~ B <-> E. g g : A -1-1-onto-> B )
2 bren 6749 . 2 |- ( C ~~ D <-> E. h h : C -1-1-onto-> D )
3 eeanv 1932 . . 3 |- ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) <-> ( E. g g : A -1-1-onto-> B /\ E. h h : C -1-1-onto-> D ) )
4 f1odm 5467 . . . . . . . 8 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> dom h = C )
5 vex 2742 . . . . . . . . 9 |- h e. _V
65dmex 4895 . . . . . . . 8 |- dom h e. _V
74, 6eqeltrrdi 2269 . . . . . . 7 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> C e. _V )
8 f1odm 5467 . . . . . . . 8 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> dom g = A )
9 vex 2742 . . . . . . . . 9 |- g e. _V
109dmex 4895 . . . . . . . 8 |- dom g e. _V
118, 10eqeltrrdi 2269 . . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
12 fnmap 6657 . . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
13 fnovex 5910 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C ^m A ) e. _V )
1412, 13mp3an1 1324 . . . . . . 7 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C ^m A ) e. _V )
157, 11, 14syl2anr 290 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( C ^m A ) e. _V )
16 f1of 5463 . . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-onto-> C -> f : A --> C )
17 elmapg 6663 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( f e. ( C ^m A ) <-> f : A --> C ) )
187, 11, 17syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f e. ( C ^m A ) <-> f : A --> C ) )
1916, 18imbitrrid 156 . . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f : A -1-1-onto-> C -> f e. ( C ^m A ) ) )
2019abssdv 3231 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } C_ ( C ^m A ) )
2115, 20ssexd 4145 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } e. _V )
22 f1ofo 5470 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> h : C -onto-> D )
23 forn 5443 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -onto-> D -> ran h = D )
2422, 23syl 14 . . . . . . . 8 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> ran h = D )
255rnex 4896 . . . . . . . 8 |- ran h e. _V
2624, 25eqeltrrdi 2269 . . . . . . 7 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> D e. _V )
27 f1ofo 5470 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> g : A -onto-> B )
28 forn 5443 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -onto-> B -> ran g = B )
2927, 28syl 14 . . . . . . . 8 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> ran g = B )
309rnex 4896 . . . . . . . 8 |- ran g e. _V
3129, 30eqeltrrdi 2269 . . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
32 fnovex 5910 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ D e. _V /\ B e. _V ) -> ( D ^m B ) e. _V )
3312, 32mp3an1 1324 . . . . . . 7 |- ( ( D e. _V /\ B e. _V ) -> ( D ^m B ) e. _V )
3426, 31, 33syl2anr 290 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( D ^m B ) e. _V )
35 f1of 5463 . . . . . . . 8 |- ( f : B -1-1-onto-> D -> f : B --> D )
36 elmapg 6663 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. _V /\ B e. _V ) -> ( f e. ( D ^m B ) <-> f : B --> D ) )
3726, 31, 36syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f e. ( D ^m B ) <-> f : B --> D ) )
3835, 37imbitrrid 156 . . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f : B -1-1-onto-> D -> f e. ( D ^m B ) ) )
3938abssdv 3231 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : B -1-1-onto-> D } C_ ( D ^m B ) )
4034, 39ssexd 4145 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : B -1-1-onto-> D } e. _V )
41 f1oco 5486 . . . . . . . . 9 |- ( ( h : C -1-1-onto-> D /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
4241adantll 476 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
43 f1ocnv 5476 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> `' g : B -1-1-onto-> A )
4443ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> `' g : B -1-1-onto-> A )
45 f1oco 5486 . . . . . . . 8 |- ( ( ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D /\ `' g : B -1-1-onto-> A ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
4642, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
4746ex 115 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( x : A -1-1-onto-> C -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) )
48 vex 2742 . . . . . . 7 |- x e. _V
49 f1oeq1 5451 . . . . . . 7 |- ( f = x -> ( f : A -1-1-onto-> C <-> x : A -1-1-onto-> C ) )
5048, 49elab 2883 . . . . . 6 |- ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } <-> x : A -1-1-onto-> C )
515, 48coex 5176 . . . . . . . 8 |- ( h o. x ) e. _V
529cnvex 5169 . . . . . . . 8 |- `' g e. _V
5351, 52coex 5176 . . . . . . 7 |- ( ( h o. x ) o. `' g ) e. _V
54 f1oeq1 5451 . . . . . . 7 |- ( f = ( ( h o. x ) o. `' g ) -> ( f : B -1-1-onto-> D <-> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) )
5553, 54elab 2883 . . . . . 6 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) e. { f | f : B -1-1-onto-> D } <-> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
5647, 50, 553imtr4g 205 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } -> ( ( h o. x ) o. `' g ) e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) )
57 f1ocnv 5476 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> `' h : D -1-1-onto-> C )
5857ad2antlr 489 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> `' h : D -1-1-onto-> C )
59 f1oco 5486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y : B -1-1-onto-> D /\ g : A -1-1-onto-> B ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
6059ancoms 268 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
6160adantlr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
62 f1oco 5486 . . . . . . . 8 |- ( ( `' h : D -1-1-onto-> C /\ ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
6358, 61, 62syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
6463ex 115 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( y : B -1-1-onto-> D -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) )
65 vex 2742 . . . . . . 7 |- y e. _V
66 f1oeq1 5451 . . . . . . 7 |- ( f = y -> ( f : B -1-1-onto-> D <-> y : B -1-1-onto-> D ) )
6765, 66elab 2883 . . . . . 6 |- ( y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } <-> y : B -1-1-onto-> D )
685cnvex 5169 . . . . . . . 8 |- `' h e. _V
6965, 9coex 5176 . . . . . . . 8 |- ( y o. g ) e. _V
7068, 69coex 5176 . . . . . . 7 |- ( `' h o. ( y o. g ) ) e. _V
71 f1oeq1 5451 . . . . . . 7 |- ( f = ( `' h o. ( y o. g ) ) -> ( f : A -1-1-onto-> C <-> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) )
7270, 71elab 2883 . . . . . 6 |- ( ( `' h o. ( y o. g ) ) e. { f | f : A -1-1-onto-> C } <-> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
7364, 67, 723imtr4g 205 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } -> ( `' h o. ( y o. g ) ) e. { f | f : A -1-1-onto-> C } ) )
7450, 67anbi12i 460 . . . . . 6 |- ( ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } /\ y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) <-> ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) )
75 coass 5149 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) )
76 f1ococnv1 5492 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> ( `' g o. g ) = ( _I |` A ) )
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' g o. g ) = ( _I |` A ) )
7877coeq2d 4791 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) )
7942adantrr 479 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
80 f1of 5463 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D -> ( h o. x ) : A --> D )
81 fcoi1 5398 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h o. x ) : A --> D -> ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) = ( h o. x ) )
8279, 80, 813syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) = ( h o. x ) )
8378, 82eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( h o. x ) )
8475, 83eqtr2id 2223 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. x ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) )
85 coass 5149 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) )
86 f1ococnv2 5490 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> ( h o. `' h ) = ( _I |` D ) )
8786ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. `' h ) = ( _I |` D ) )
8887coeq1d 4790 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) )
8961adantrl 478 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
90 f1of 5463 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D -> ( y o. g ) : A --> D )
91 fcoi2 5399 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : A --> D -> ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9289, 90, 913syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9388, 92eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9485, 93eqtr3id 2224 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) = ( y o. g ) )
9584, 94eqeq12d 2192 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( y o. g ) ) )
96 eqcom 2179 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( y o. g ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) )
9795, 96bitrdi 196 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) ) )
98 f1of1 5462 . . . . . . . . . 10 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> h : C -1-1-> D )
9998ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> h : C -1-1-> D )
100 f1of 5463 . . . . . . . . . 10 |- ( x : A -1-1-onto-> C -> x : A --> C )
101100ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> x : A --> C )
10263adantrl 478 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
103 f1of 5463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C )
104102, 103syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C )
105 cocan1 5790 . . . . . . . . 9 |- ( ( h : C -1-1-> D /\ x : A --> C /\ ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' h o. ( y o. g ) ) ) )
10699, 101, 104, 105syl3anc 1238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' h o. ( y o. g ) ) ) )
10727ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> g : A -onto-> B )
108 f1ofn 5464 . . . . . . . . . 10 |- ( y : B -1-1-onto-> D -> y Fn B )
109108ad2antll 491 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> y Fn B )
11046adantrr 479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
111 f1ofn 5464 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D -> ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B )
112110, 111syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B )
113 cocan2 5791 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -onto-> B /\ y Fn B /\ ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
114107, 109, 112, 113syl3anc 1238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
11597, 106, 1143bitr3d 218 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
116115ex 115 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) )
11774, 116biimtrid 152 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } /\ y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) )
11821, 40, 56, 73, 117en3d 6771 . . . 4 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
119118exlimivv 1896 . . 3 |- ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
1203, 119sylbir 135 . 2 |- ( ( E. g g : A -1-1-onto-> B /\ E. h h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
1211, 2, 120syl2anb 291 1 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2739   class class class wbr 4005   _I cid 4290   X. cxp 4626   `'ccnv 4627   dom cdm 4628   ran crn 4629   |` cres 4630   o. ccom 4632   Fn wfn 5213   -->wf 5214   -1-1->wf1 5215   -onto->wfo 5216   -1-1-onto->wf1o 5217  (class class class)co 5877   ^m cmap 6650   ~~ cen 6740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-en 6743
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