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Theorem hashfacen 10745
Description: The number of bijections between two sets is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfacen |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
Distinct variable groups:   A, f   B, f   C, f   D, f
Proof of Theorem hashfacen
Dummy variables g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6709 . 2 |- ( A ~~ B <-> E. g g : A -1-1-onto-> B )
2 bren 6709 . 2 |- ( C ~~ D <-> E. h h : C -1-1-onto-> D )
3 eeanv 1920 . . 3 |- ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) <-> ( E. g g : A -1-1-onto-> B /\ E. h h : C -1-1-onto-> D ) )
4 f1odm 5435 . . . . . . . 8 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> dom h = C )
5 vex 2728 . . . . . . . . 9 |- h e. _V
65dmex 4869 . . . . . . . 8 |- dom h e. _V
74, 6eqeltrrdi 2257 . . . . . . 7 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> C e. _V )
8 f1odm 5435 . . . . . . . 8 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> dom g = A )
9 vex 2728 . . . . . . . . 9 |- g e. _V
109dmex 4869 . . . . . . . 8 |- dom g e. _V
118, 10eqeltrrdi 2257 . . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
12 fnmap 6617 . . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
13 fnovex 5871 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C ^m A ) e. _V )
1412, 13mp3an1 1314 . . . . . . 7 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C ^m A ) e. _V )
157, 11, 14syl2anr 288 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( C ^m A ) e. _V )
16 f1of 5431 . . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-onto-> C -> f : A --> C )
17 elmapg 6623 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( f e. ( C ^m A ) <-> f : A --> C ) )
187, 11, 17syl2anr 288 . . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f e. ( C ^m A ) <-> f : A --> C ) )
1916, 18syl5ibr 155 . . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f : A -1-1-onto-> C -> f e. ( C ^m A ) ) )
2019abssdv 3215 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } C_ ( C ^m A ) )
2115, 20ssexd 4121 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } e. _V )
22 f1ofo 5438 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> h : C -onto-> D )
23 forn 5412 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -onto-> D -> ran h = D )
2422, 23syl 14 . . . . . . . 8 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> ran h = D )
255rnex 4870 . . . . . . . 8 |- ran h e. _V
2624, 25eqeltrrdi 2257 . . . . . . 7 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> D e. _V )
27 f1ofo 5438 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> g : A -onto-> B )
28 forn 5412 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -onto-> B -> ran g = B )
2927, 28syl 14 . . . . . . . 8 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> ran g = B )
309rnex 4870 . . . . . . . 8 |- ran g e. _V
3129, 30eqeltrrdi 2257 . . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
32 fnovex 5871 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ D e. _V /\ B e. _V ) -> ( D ^m B ) e. _V )
3312, 32mp3an1 1314 . . . . . . 7 |- ( ( D e. _V /\ B e. _V ) -> ( D ^m B ) e. _V )
3426, 31, 33syl2anr 288 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( D ^m B ) e. _V )
35 f1of 5431 . . . . . . . 8 |- ( f : B -1-1-onto-> D -> f : B --> D )
36 elmapg 6623 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. _V /\ B e. _V ) -> ( f e. ( D ^m B ) <-> f : B --> D ) )
3726, 31, 36syl2anr 288 . . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f e. ( D ^m B ) <-> f : B --> D ) )
3835, 37syl5ibr 155 . . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f : B -1-1-onto-> D -> f e. ( D ^m B ) ) )
3938abssdv 3215 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : B -1-1-onto-> D } C_ ( D ^m B ) )
4034, 39ssexd 4121 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : B -1-1-onto-> D } e. _V )
41 f1oco 5454 . . . . . . . . 9 |- ( ( h : C -1-1-onto-> D /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
4241adantll 468 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
43 f1ocnv 5444 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> `' g : B -1-1-onto-> A )
4443ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> `' g : B -1-1-onto-> A )
45 f1oco 5454 . . . . . . . 8 |- ( ( ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D /\ `' g : B -1-1-onto-> A ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
4642, 44, 45syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
4746ex 114 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( x : A -1-1-onto-> C -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) )
48 vex 2728 . . . . . . 7 |- x e. _V
49 f1oeq1 5420 . . . . . . 7 |- ( f = x -> ( f : A -1-1-onto-> C <-> x : A -1-1-onto-> C ) )
5048, 49elab 2869 . . . . . 6 |- ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } <-> x : A -1-1-onto-> C )
515, 48coex 5148 . . . . . . . 8 |- ( h o. x ) e. _V
529cnvex 5141 . . . . . . . 8 |- `' g e. _V
5351, 52coex 5148 . . . . . . 7 |- ( ( h o. x ) o. `' g ) e. _V
54 f1oeq1 5420 . . . . . . 7 |- ( f = ( ( h o. x ) o. `' g ) -> ( f : B -1-1-onto-> D <-> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) )
5553, 54elab 2869 . . . . . 6 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) e. { f | f : B -1-1-onto-> D } <-> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
5647, 50, 553imtr4g 204 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } -> ( ( h o. x ) o. `' g ) e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) )
57 f1ocnv 5444 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> `' h : D -1-1-onto-> C )
5857ad2antlr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> `' h : D -1-1-onto-> C )
59 f1oco 5454 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y : B -1-1-onto-> D /\ g : A -1-1-onto-> B ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
6059ancoms 266 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
6160adantlr 469 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
62 f1oco 5454 . . . . . . . 8 |- ( ( `' h : D -1-1-onto-> C /\ ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
6358, 61, 62syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
6463ex 114 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( y : B -1-1-onto-> D -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) )
65 vex 2728 . . . . . . 7 |- y e. _V
66 f1oeq1 5420 . . . . . . 7 |- ( f = y -> ( f : B -1-1-onto-> D <-> y : B -1-1-onto-> D ) )
6765, 66elab 2869 . . . . . 6 |- ( y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } <-> y : B -1-1-onto-> D )
685cnvex 5141 . . . . . . . 8 |- `' h e. _V
6965, 9coex 5148 . . . . . . . 8 |- ( y o. g ) e. _V
7068, 69coex 5148 . . . . . . 7 |- ( `' h o. ( y o. g ) ) e. _V
71 f1oeq1 5420 . . . . . . 7 |- ( f = ( `' h o. ( y o. g ) ) -> ( f : A -1-1-onto-> C <-> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) )
7270, 71elab 2869 . . . . . 6 |- ( ( `' h o. ( y o. g ) ) e. { f | f : A -1-1-onto-> C } <-> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
7364, 67, 723imtr4g 204 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } -> ( `' h o. ( y o. g ) ) e. { f | f : A -1-1-onto-> C } ) )
7450, 67anbi12i 456 . . . . . 6 |- ( ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } /\ y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) <-> ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) )
75 coass 5121 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) )
76 f1ococnv1 5460 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> ( `' g o. g ) = ( _I |` A ) )
7776ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' g o. g ) = ( _I |` A ) )
7877coeq2d 4765 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) )
7942adantrr 471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
80 f1of 5431 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D -> ( h o. x ) : A --> D )
81 fcoi1 5367 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h o. x ) : A --> D -> ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) = ( h o. x ) )
8279, 80, 813syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) = ( h o. x ) )
8378, 82eqtrd 2198 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( h o. x ) )
8475, 83eqtr2id 2211 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. x ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) )
85 coass 5121 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) )
86 f1ococnv2 5458 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> ( h o. `' h ) = ( _I |` D ) )
8786ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. `' h ) = ( _I |` D ) )
8887coeq1d 4764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) )
8961adantrl 470 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
90 f1of 5431 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D -> ( y o. g ) : A --> D )
91 fcoi2 5368 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : A --> D -> ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9289, 90, 913syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9388, 92eqtrd 2198 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9485, 93eqtr3id 2212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) = ( y o. g ) )
9584, 94eqeq12d 2180 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( y o. g ) ) )
96 eqcom 2167 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( y o. g ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) )
9795, 96bitrdi 195 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) ) )
98 f1of1 5430 . . . . . . . . . 10 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> h : C -1-1-> D )
9998ad2antlr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> h : C -1-1-> D )
100 f1of 5431 . . . . . . . . . 10 |- ( x : A -1-1-onto-> C -> x : A --> C )
101100ad2antrl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> x : A --> C )
10263adantrl 470 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
103 f1of 5431 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C )
104102, 103syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C )
105 cocan1 5754 . . . . . . . . 9 |- ( ( h : C -1-1-> D /\ x : A --> C /\ ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' h o. ( y o. g ) ) ) )
10699, 101, 104, 105syl3anc 1228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' h o. ( y o. g ) ) ) )
10727ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> g : A -onto-> B )
108 f1ofn 5432 . . . . . . . . . 10 |- ( y : B -1-1-onto-> D -> y Fn B )
109108ad2antll 483 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> y Fn B )
11046adantrr 471 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
111 f1ofn 5432 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D -> ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B )
112110, 111syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B )
113 cocan2 5755 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -onto-> B /\ y Fn B /\ ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
114107, 109, 112, 113syl3anc 1228 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
11597, 106, 1143bitr3d 217 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
116115ex 114 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) )
11774, 116syl5bi 151 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } /\ y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) )
11821, 40, 56, 73, 117en3d 6731 . . . 4 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
119118exlimivv 1884 . . 3 |- ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
1203, 119sylbir 134 . 2 |- ( ( E. g g : A -1-1-onto-> B /\ E. h h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
1211, 2, 120syl2anb 289 1 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   _Vcvv 2725   class class class wbr 3981   _I cid 4265   X. cxp 4601   `'ccnv 4602   dom cdm 4603   ran crn 4604   |` cres 4605   o. ccom 4607   Fn wfn 5182   -->wf 5183   -1-1->wf1 5184   -onto->wfo 5185   -1-1-onto->wf1o 5186  (class class class)co 5841   ^m cmap 6610   ~~ cen 6700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-map 6612  df-en 6703
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