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Theorem hashfacen 11262
Description: The number of bijections between two sets is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfacen |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
Distinct variable groups:   A, f   B, f   C, f   D, f
Proof of Theorem hashfacen
Dummy variables g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7020 . 2 |- ( A ~~ B <-> E. g g : A -1-1-onto-> B )
2 bren 7020 . 2 |- ( C ~~ D <-> E. h h : C -1-1-onto-> D )
3 eeanv 1992 . . 3 |- ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) <-> ( E. g g : A -1-1-onto-> B /\ E. h h : C -1-1-onto-> D ) )
4 f1odm 5638 . . . . . . . 8 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> dom h = C )
5 vex 2824 . . . . . . . . 9 |- h e. _V
65dmex 5044 . . . . . . . 8 |- dom h e. _V
74, 6eqeltrrdi 2330 . . . . . . 7 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> C e. _V )
8 f1odm 5638 . . . . . . . 8 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> dom g = A )
9 vex 2824 . . . . . . . . 9 |- g e. _V
109dmex 5044 . . . . . . . 8 |- dom g e. _V
118, 10eqeltrrdi 2330 . . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
12 fnmap 6919 . . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
13 fnovex 6108 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C ^m A ) e. _V )
1412, 13mp3an1 1365 . . . . . . 7 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C ^m A ) e. _V )
157, 11, 14syl2anr 290 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( C ^m A ) e. _V )
16 f1of 5634 . . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-onto-> C -> f : A --> C )
17 elmapg 6925 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( f e. ( C ^m A ) <-> f : A --> C ) )
187, 11, 17syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f e. ( C ^m A ) <-> f : A --> C ) )
1916, 18imbitrrid 156 . . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f : A -1-1-onto-> C -> f e. ( C ^m A ) ) )
2019abssdv 3322 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } C_ ( C ^m A ) )
2115, 20ssexd 4268 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } e. _V )
22 f1ofo 5641 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> h : C -onto-> D )
23 forn 5613 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -onto-> D -> ran h = D )
2422, 23syl 14 . . . . . . . 8 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> ran h = D )
255rnex 5045 . . . . . . . 8 |- ran h e. _V
2624, 25eqeltrrdi 2330 . . . . . . 7 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> D e. _V )
27 f1ofo 5641 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> g : A -onto-> B )
28 forn 5613 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -onto-> B -> ran g = B )
2927, 28syl 14 . . . . . . . 8 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> ran g = B )
309rnex 5045 . . . . . . . 8 |- ran g e. _V
3129, 30eqeltrrdi 2330 . . . . . . 7 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
32 fnovex 6108 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ D e. _V /\ B e. _V ) -> ( D ^m B ) e. _V )
3312, 32mp3an1 1365 . . . . . . 7 |- ( ( D e. _V /\ B e. _V ) -> ( D ^m B ) e. _V )
3426, 31, 33syl2anr 290 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( D ^m B ) e. _V )
35 f1of 5634 . . . . . . . 8 |- ( f : B -1-1-onto-> D -> f : B --> D )
36 elmapg 6925 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. _V /\ B e. _V ) -> ( f e. ( D ^m B ) <-> f : B --> D ) )
3726, 31, 36syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f e. ( D ^m B ) <-> f : B --> D ) )
3835, 37imbitrrid 156 . . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f : B -1-1-onto-> D -> f e. ( D ^m B ) ) )
3938abssdv 3322 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : B -1-1-onto-> D } C_ ( D ^m B ) )
4034, 39ssexd 4268 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : B -1-1-onto-> D } e. _V )
41 f1oco 5657 . . . . . . . . 9 |- ( ( h : C -1-1-onto-> D /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
4241adantll 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
43 f1ocnv 5647 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> `' g : B -1-1-onto-> A )
4443ad2antrr 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> `' g : B -1-1-onto-> A )
45 f1oco 5657 . . . . . . . 8 |- ( ( ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D /\ `' g : B -1-1-onto-> A ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
4642, 44, 45syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
4746ex 115 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( x : A -1-1-onto-> C -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) )
48 vex 2824 . . . . . . 7 |- x e. _V
49 f1oeq1 5622 . . . . . . 7 |- ( f = x -> ( f : A -1-1-onto-> C <-> x : A -1-1-onto-> C ) )
5048, 49elab 2970 . . . . . 6 |- ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } <-> x : A -1-1-onto-> C )
515, 48coex 5328 . . . . . . . 8 |- ( h o. x ) e. _V
529cnvex 5321 . . . . . . . 8 |- `' g e. _V
5351, 52coex 5328 . . . . . . 7 |- ( ( h o. x ) o. `' g ) e. _V
54 f1oeq1 5622 . . . . . . 7 |- ( f = ( ( h o. x ) o. `' g ) -> ( f : B -1-1-onto-> D <-> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) )
5553, 54elab 2970 . . . . . 6 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) e. { f | f : B -1-1-onto-> D } <-> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
5647, 50, 553imtr4g 205 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } -> ( ( h o. x ) o. `' g ) e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) )
57 f1ocnv 5647 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> `' h : D -1-1-onto-> C )
5857ad2antlr 493 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> `' h : D -1-1-onto-> C )
59 f1oco 5657 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y : B -1-1-onto-> D /\ g : A -1-1-onto-> B ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
6059ancoms 268 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
6160adantlr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
62 f1oco 5657 . . . . . . . 8 |- ( ( `' h : D -1-1-onto-> C /\ ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
6358, 61, 62syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
6463ex 115 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( y : B -1-1-onto-> D -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) )
65 vex 2824 . . . . . . 7 |- y e. _V
66 f1oeq1 5622 . . . . . . 7 |- ( f = y -> ( f : B -1-1-onto-> D <-> y : B -1-1-onto-> D ) )
6765, 66elab 2970 . . . . . 6 |- ( y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } <-> y : B -1-1-onto-> D )
685cnvex 5321 . . . . . . . 8 |- `' h e. _V
6965, 9coex 5328 . . . . . . . 8 |- ( y o. g ) e. _V
7068, 69coex 5328 . . . . . . 7 |- ( `' h o. ( y o. g ) ) e. _V
71 f1oeq1 5622 . . . . . . 7 |- ( f = ( `' h o. ( y o. g ) ) -> ( f : A -1-1-onto-> C <-> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) )
7270, 71elab 2970 . . . . . 6 |- ( ( `' h o. ( y o. g ) ) e. { f | f : A -1-1-onto-> C } <-> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
7364, 67, 723imtr4g 205 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } -> ( `' h o. ( y o. g ) ) e. { f | f : A -1-1-onto-> C } ) )
7450, 67anbi12i 464 . . . . . 6 |- ( ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } /\ y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) <-> ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) )
75 coass 5301 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) )
76 f1ococnv1 5663 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> ( `' g o. g ) = ( _I |` A ) )
7776ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' g o. g ) = ( _I |` A ) )
7877coeq2d 4937 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) )
7942adantrr 483 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
80 f1of 5634 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D -> ( h o. x ) : A --> D )
81 fcoi1 5567 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h o. x ) : A --> D -> ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) = ( h o. x ) )
8279, 80, 813syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) = ( h o. x ) )
8378, 82eqtrd 2271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( h o. x ) )
8475, 83eqtr2id 2284 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. x ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) )
85 coass 5301 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) )
86 f1ococnv2 5661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> ( h o. `' h ) = ( _I |` D ) )
8786ad2antlr 493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. `' h ) = ( _I |` D ) )
8887coeq1d 4936 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) )
8961adantrl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
90 f1of 5634 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D -> ( y o. g ) : A --> D )
91 fcoi2 5568 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : A --> D -> ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9289, 90, 913syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9388, 92eqtrd 2271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9485, 93eqtr3id 2285 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) = ( y o. g ) )
9584, 94eqeq12d 2253 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( y o. g ) ) )
96 eqcom 2240 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( y o. g ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) )
9795, 96bitrdi 196 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) ) )
98 f1of1 5633 . . . . . . . . . 10 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> h : C -1-1-> D )
9998ad2antlr 493 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> h : C -1-1-> D )
100 f1of 5634 . . . . . . . . . 10 |- ( x : A -1-1-onto-> C -> x : A --> C )
101100ad2antrl 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> x : A --> C )
10263adantrl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
103 f1of 5634 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C )
104102, 103syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C )
105 cocan1 5983 . . . . . . . . 9 |- ( ( h : C -1-1-> D /\ x : A --> C /\ ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' h o. ( y o. g ) ) ) )
10699, 101, 104, 105syl3anc 1278 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' h o. ( y o. g ) ) ) )
10727ad2antrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> g : A -onto-> B )
108 f1ofn 5635 . . . . . . . . . 10 |- ( y : B -1-1-onto-> D -> y Fn B )
109108ad2antll 495 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> y Fn B )
11046adantrr 483 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
111 f1ofn 5635 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D -> ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B )
112110, 111syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B )
113 cocan2 5984 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -onto-> B /\ y Fn B /\ ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
114107, 109, 112, 113syl3anc 1278 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
11597, 106, 1143bitr3d 218 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
116115ex 115 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) )
11774, 116biimtrid 152 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } /\ y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) )
11821, 40, 56, 73, 117en3d 7045 . . . 4 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
119118exlimivv 1952 . . 3 |- ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
1203, 119sylbir 135 . 2 |- ( ( E. g g : A -1-1-onto-> B /\ E. h h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
1211, 2, 120syl2anb 291 1 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   _I cid 4428   X. cxp 4767   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   ran crn 4770   |` cres 4771   o. ccom 4773   Fn wfn 5367   -->wf 5368   -1-1->wf1 5369   -onto->wfo 5370   -1-1-onto->wf1o 5371  (class class class)co 6075   ^m cmap 6912   ~~ cen 7010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-en 7013
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