Theorem f1ococnv1 5643

Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv1	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )

Proof of Theorem f1ococnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1orel 5617	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Rel F )
2		dfrel2 5213	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' `' F = F )
4	3	coeq2d 4917	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. `' `' F ) = ( `' F o. F ) )
5		f1ocnv 5627	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6		f1ococnv2 5641	. . 3 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> ( `' F o. `' `' F ) = ( _I |` A ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. `' `' F ) = ( _I |` A ) )
8	4, 7	eqtr3d 2267	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   _I cid 4409   `'ccnv 4748   |` cres 4751   o. ccom 4753   Rel wrel 4754   -1-1-onto->wf1o 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359

This theorem is referenced by:  f1cocnv1  5644  f1ocnvfv1  5950  fcof1o  5962  mapen  7099  hashfacen  11208