Theorem f1ococnv1 5282

Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv1	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )

Proof of Theorem f1ococnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1orel 5256	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Rel F )
2		dfrel2 4881	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
3	1, 2	sylib 120	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' `' F = F )
4	3	coeq2d 4598	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. `' `' F ) = ( `' F o. F ) )
5		f1ocnv 5266	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6		f1ococnv2 5280	. . 3 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> ( `' F o. `' `' F ) = ( _I |` A ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. `' `' F ) = ( _I |` A ) )
8	4, 7	eqtr3d 2122	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1289   _I cid 4115   `'ccnv 4437   |` cres 4440   o. ccom 4442   Rel wrel 4443   -1-1-onto->wf1o 5014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022

This theorem is referenced by:  f1cocnv1  5283  f1ocnvfv1  5556  fcof1o  5568  mapen  6560  hashfacen  10237