Theorem f1ococnv1 5573

Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv1	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )

Proof of Theorem f1ococnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1orel 5547	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Rel F )
2		dfrel2 5152	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' `' F = F )
4	3	coeq2d 4858	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. `' `' F ) = ( `' F o. F ) )
5		f1ocnv 5557	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6		f1ococnv2 5571	. . 3 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> ( `' F o. `' `' F ) = ( _I |` A ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. `' `' F ) = ( _I |` A ) )
8	4, 7	eqtr3d 2242	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   _I cid 4353   `'ccnv 4692   |` cres 4695   o. ccom 4697   Rel wrel 4698   -1-1-onto->wf1o 5289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297

This theorem is referenced by:  f1cocnv1  5574  f1ocnvfv1  5869  fcof1o  5881  mapen  6968  hashfacen  11018