Theorem f1ococnv1 5533

Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv1	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )

Proof of Theorem f1ococnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1orel 5507	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Rel F )
2		dfrel2 5120	. . . 4 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' `' F = F )
4	3	coeq2d 4828	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. `' `' F ) = ( `' F o. F ) )
5		f1ocnv 5517	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
6		f1ococnv2 5531	. . 3 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> ( `' F o. `' `' F ) = ( _I |` A ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. `' `' F ) = ( _I |` A ) )
8	4, 7	eqtr3d 2231	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   _I cid 4323   `'ccnv 4662   |` cres 4665   o. ccom 4667   Rel wrel 4668   -1-1-onto->wf1o 5257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265

This theorem is referenced by:  f1cocnv1  5534  f1ocnvfv1  5824  fcof1o  5836  mapen  6907  hashfacen  10913