Theorem fococnv2 5499

Description: The composition of an onto function and its converse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fococnv2	|- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Proof of Theorem fococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5451	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funcocnv2 5498	. . 3 |- ( Fun F -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ran F ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ran F ) )
4		forn 5453	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
5	4	reseq2d 4919	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( _I |` ran F ) = ( _I |` B ) )
6	3, 5	eqtrd 2220	1 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   _I cid 4300   `'ccnv 4637   ran crn 4639   |` cres 4640   o. ccom 4642   Fun wfun 5222   -onto->wfo 5226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fo 5234

This theorem is referenced by:  f1ococnv2  5500  foeqcnvco  5804