Theorem fococnv2 5548

Description: The composition of an onto function and its converse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fococnv2	|- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Proof of Theorem fococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5499	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funcocnv2 5547	. . 3 |- ( Fun F -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ran F ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ran F ) )
4		forn 5501	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
5	4	reseq2d 4959	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( _I |` ran F ) = ( _I |` B ) )
6	3, 5	eqtrd 2238	1 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   _I cid 4335   `'ccnv 4674   ran crn 4676   |` cres 4677   o. ccom 4679   Fun wfun 5265   -onto->wfo 5269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277

This theorem is referenced by:  f1ococnv2  5549  foeqcnvco  5859