Theorem fococnv2 5565

Description: The composition of an onto function and its converse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fococnv2	|- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Proof of Theorem fococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5516	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funcocnv2 5564	. . 3 |- ( Fun F -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ran F ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ran F ) )
4		forn 5518	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
5	4	reseq2d 4973	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( _I |` ran F ) = ( _I |` B ) )
6	3, 5	eqtrd 2239	1 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   _I cid 4348   `'ccnv 4687   ran crn 4689   |` cres 4690   o. ccom 4692   Fun wfun 5279   -onto->wfo 5283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fo 5291

This theorem is referenced by:  f1ococnv2  5566  foeqcnvco  5877