Theorem fococnv2 5292

Description: The composition of an onto function and its converse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fococnv2	|- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Proof of Theorem fococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5247	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funcocnv2 5291	. . 3 |- ( Fun F -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ran F ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ran F ) )
4		forn 5249	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
5	4	reseq2d 4726	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( _I |` ran F ) = ( _I |` B ) )
6	3, 5	eqtrd 2121	1 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1290   _I cid 4124   `'ccnv 4451   ran crn 4453   |` cres 4454   o. ccom 4456   Fun wfun 5022   -onto->wfo 5026

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fo 5034

This theorem is referenced by:  f1ococnv2  5293  foeqcnvco  5583