ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv2 Unicode version

Theorem f1ocnvfv2 5557
Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  C ) )  =  C )

Proof of Theorem f1ocnvfv2
StepHypRef Expression
1 f1ococnv2 5280 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
21fveq1d 5307 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( F  o.  `' F
) `  C )  =  ( (  _I  |`  B ) `  C
) )
32adantr 270 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( ( F  o.  `' F ) `  C
)  =  ( (  _I  |`  B ) `  C ) )
4 f1ocnv 5266 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
5 f1of 5253 . . . 4  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B --> A )
7 fvco3 5375 . . 3  |-  ( ( `' F : B --> A  /\  C  e.  B )  ->  ( ( F  o.  `' F ) `  C
)  =  ( F `
 ( `' F `  C ) ) )
86, 7sylan 277 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( ( F  o.  `' F ) `  C
)  =  ( F `
 ( `' F `  C ) ) )
9 fvresi 5490 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 C )  =  C )
109adantl 271 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  B ) `
 C )  =  C )
113, 8, 103eqtr3d 2128 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  C ) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438    _I cid 4115   `'ccnv 4437    |` cres 4440    o. ccom 4442   -->wf 5011   -1-1-onto->wf1o 5014   ` cfv 5015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5559  isocnv  5590  f1oiso2  5606  ordiso2  6728  enomnilem  6794  frecuzrdglem  9818  frecuzrdgsuc  9821  frecuzrdgdomlem  9824  frecuzrdgsuctlem  9830  frecfzennn  9833  iseqf1olemkle  9913  iseqf1olemklt  9914  iseqf1olemnab  9917  seq3f1olemqsumkj  9927  hashfz1  10191  iseqcoll  10247  isummolem3  10770  isummolem2a  10771  sqpweven  11431  2sqpwodd  11432  phimullem  11479
  Copyright terms: Public domain W3C validator