Theorem f1ocnvfv2 5870

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 5571	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
2	1	fveq1d 5601	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
4		f1ocnv 5557	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
5		f1of 5544	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B --> A )
7		fvco3 5673	. . 3 |- ( ( `' F : B --> A /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
8	6, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
9		fvresi 5800	. . 3 |- ( C e. B -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2248	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   _I cid 4353   `'ccnv 4692   |` cres 4695   o. ccom 4697   -->wf 5286   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5872  isocnv  5903  f1oiso2  5919  ordiso2  7163  enomnilem  7266  enmkvlem  7289  enwomnilem  7297  frecuzrdglem  10593  frecuzrdgsuc  10596  frecuzrdgdomlem  10599  frecuzrdgsuctlem  10605  frecfzennn  10608  iseqf1olemkle  10679  iseqf1olemklt  10680  iseqf1olemnab  10683  seq3f1olemqsumkj  10693  seqf1oglem1  10701  seqf1oglem2  10702  hashfz1  10965  seq3coll  11024  summodclem3  11806  summodclem2a  11807  prodmodclem3  12001  prodmodclem2a  12002  nninfctlemfo  12476  sqpweven  12612  2sqpwodd  12613  phimullem  12662  eulerthlemth  12669  ennnfonelemkh  12898  ennnfonelemhf1o  12899  ennnfonelemex  12900  ennnfonelemnn0  12908  ctinfomlemom  12913  ctiunctlemfo  12925  mhmf1o  13417  ghmf1o  13726  gsumfzreidx  13788  reeflog  15450  isomninnlem  16171  iswomninnlem  16190  ismkvnnlem  16193