Theorem f1ocnvfv2 5825

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 5531	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
2	1	fveq1d 5560	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
4		f1ocnv 5517	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
5		f1of 5504	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B --> A )
7		fvco3 5632	. . 3 |- ( ( `' F : B --> A /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
8	6, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
9		fvresi 5755	. . 3 |- ( C e. B -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2237	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _I cid 4323   `'ccnv 4662   |` cres 4665   o. ccom 4667   -->wf 5254   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5827  isocnv  5858  f1oiso2  5874  ordiso2  7101  enomnilem  7204  enmkvlem  7227  enwomnilem  7235  frecuzrdglem  10503  frecuzrdgsuc  10506  frecuzrdgdomlem  10509  frecuzrdgsuctlem  10515  frecfzennn  10518  iseqf1olemkle  10589  iseqf1olemklt  10590  iseqf1olemnab  10593  seq3f1olemqsumkj  10603  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  hashfz1  10875  seq3coll  10934  summodclem3  11545  summodclem2a  11546  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  nninfctlemfo  12207  sqpweven  12343  2sqpwodd  12344  phimullem  12393  eulerthlemth  12400  ennnfonelemkh  12629  ennnfonelemhf1o  12630  ennnfonelemex  12631  ennnfonelemnn0  12639  ctinfomlemom  12644  ctiunctlemfo  12656  mhmf1o  13102  ghmf1o  13405  gsumfzreidx  13467  reeflog  15099  isomninnlem  15674  iswomninnlem  15693  ismkvnnlem  15696