Theorem f1ocnvfv2 5911

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 5604	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
2	1	fveq1d 5634	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
4		f1ocnv 5590	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
5		f1of 5577	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B --> A )
7		fvco3 5710	. . 3 |- ( ( `' F : B --> A /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
8	6, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
9		fvresi 5839	. . 3 |- ( C e. B -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2270	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _I cid 4380   `'ccnv 4719   |` cres 4722   o. ccom 4724   -->wf 5317   -1-1-onto->wf1o 5320   ` cfv 5321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5913  isocnv  5944  f1oiso2  5960  ordiso2  7218  enomnilem  7321  enmkvlem  7344  enwomnilem  7352  frecuzrdglem  10650  frecuzrdgsuc  10653  frecuzrdgdomlem  10656  frecuzrdgsuctlem  10662  frecfzennn  10665  iseqf1olemkle  10736  iseqf1olemklt  10737  iseqf1olemnab  10740  seq3f1olemqsumkj  10750  seqf1oglem1  10758  seqf1oglem2  10759  hashfz1  11022  seq3coll  11082  summodclem3  11912  summodclem2a  11913  prodmodclem3  12107  prodmodclem2a  12108  nninfctlemfo  12582  sqpweven  12718  2sqpwodd  12719  phimullem  12768  eulerthlemth  12775  ennnfonelemkh  13004  ennnfonelemhf1o  13005  ennnfonelemex  13006  ennnfonelemnn0  13014  ctinfomlemom  13019  ctiunctlemfo  13031  mhmf1o  13524  ghmf1o  13833  gsumfzreidx  13895  reeflog  15558  isomninnlem  16512  iswomninnlem  16531  ismkvnnlem  16534