Theorem f1ocnvfv2 5987

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 5669	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
2	1	fveq1d 5700	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
4		f1ocnv 5655	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
5		f1of 5642	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B --> A )
7		fvco3 5779	. . 3 |- ( ( `' F : B --> A /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
8	6, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
9		fvresi 5911	. . 3 |- ( C e. B -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
10	9	adantl 277	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2279	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _I cid 4435   `'ccnv 4775   |` cres 4778   o. ccom 4780   -->wf 5376   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388

This theorem is used by:  f1ocnvfvb  5989  isocnv  6020  f1oiso2  6036  ordiso2  7381  enomnilem  7484  enmkvlem  7507  enwomnilem  7515  frecuzrdglem  10869  frecuzrdgsuc  10872  frecuzrdgdomlem  10875  frecuzrdgsuctlem  10881  frecfzennn  10884  iseqf1olemkle  10955  iseqf1olemklt  10956  iseqf1olemnab  10959  seq3f1olemqsumkj  10969  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  hashfz1  11244  seq3coll  11316  summodclem3  12172  summodclem2a  12173  prodmodclem3  12367  prodmodclem2a  12368  nninfctlemfo  12842  sqpweven  12980  2sqpwodd  12981  phimullem  13032  eulerthlemth  13039  ennnfonelemkh  13361  ennnfonelemhf1o  13362  ennnfonelemex  13363  ennnfonelemnn0  13371  ctinfomlemom  13376  ctiunctlemfo  13388  mhmf1o  13836  ghmf1o  14137  gzsumreidx  14231  gsumvalfi  14242  gsumf1ofi  14250  reeflog  16092  zprmlogbaplem3  16217  isomninnlem  17285  iswomninnlem  17306  ismkvnnlem  17309