Theorem f1opw 5865

Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1opw	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( b e. ~P A |-> ( F " b ) ) : ~P A -1-1-onto-> ~P B )

Distinct variable groups:   A, b   B, b   F, b

Proof of Theorem f1opw

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -1-1-onto-> B )
2		dff1o3 5272	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -onto-> B /\ Fun `' F ) )
3	2	simprbi 270	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun `' F )
4		vex 2623	. . . 4 |- a e. _V
5	4	funimaex 5112	. . 3 |- ( Fun `' F -> ( `' F " a ) e. _V )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F " a ) e. _V )
7		f1ofun 5268	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
8		vex 2623	. . . 4 |- b e. _V
9	8	funimaex 5112	. . 3 |- ( Fun F -> ( F " b ) e. _V )
10	7, 9	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F " b ) e. _V )
11	1, 6, 10	f1opw2 5864	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( b e. ~P A |-> ( F " b ) ) : ~P A -1-1-onto-> ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   ~Pcpw 3433   |-> cmpt 3905   `'ccnv 4450   "cima 4454   Fun wfun 5022   -onto->wfo 5026   -1-1-onto->wf1o 5027

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035

This theorem is referenced by: (None)