Theorem f1opw 6080

Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1opw	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( b e. ~P A |-> ( F " b ) ) : ~P A -1-1-onto-> ~P B )

Distinct variable groups:   A, b   B, b   F, b

Proof of Theorem f1opw

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -1-1-onto-> B )
2		dff1o3 5469	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -onto-> B /\ Fun `' F ) )
3	2	simprbi 275	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun `' F )
4		vex 2742	. . . 4 |- a e. _V
5	4	funimaex 5303	. . 3 |- ( Fun `' F -> ( `' F " a ) e. _V )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F " a ) e. _V )
7		f1ofun 5465	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
8		vex 2742	. . . 4 |- b e. _V
9	8	funimaex 5303	. . 3 |- ( Fun F -> ( F " b ) e. _V )
10	7, 9	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F " b ) e. _V )
11	1, 6, 10	f1opw2 6079	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( b e. ~P A |-> ( F " b ) ) : ~P A -1-1-onto-> ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   ~Pcpw 3577   |-> cmpt 4066   `'ccnv 4627   "cima 4631   Fun wfun 5212   -onto->wfo 5216   -1-1-onto->wf1o 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225

This theorem is referenced by: (None)