ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1opw GIF version

Theorem f1opw 5981
Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1opw (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐹𝑏)):𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝐹,𝑏

Proof of Theorem f1opw
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
2 dff1o3 5377 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Fun 𝐹))
32simprbi 273 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
4 vex 2690 . . . 4 𝑎 ∈ V
54funimaex 5212 . . 3 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑎) ∈ V)
63, 5syl 14 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝑎) ∈ V)
7 f1ofun 5373 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
8 vex 2690 . . . 4 𝑏 ∈ V
98funimaex 5212 . . 3 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑏) ∈ V)
107, 9syl 14 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝑏) ∈ V)
111, 6, 10f1opw2 5980 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐹𝑏)):𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481  Vcvv 2687  𝒫 cpw 3511  cmpt 3993  ccnv 4542  cima 4546  Fun wfun 5121  ontowfo 5125  1-1-ontowf1o 5126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator