Theorem f1osng 5503

Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
f1osng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )

Proof of Theorem f1osng

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3604	. . . 4 |- ( a = A -> { a } = { A } )
2		f1oeq2 5451	. . . 4 |- ( { a } = { A } -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
4		opeq1 3779	. . . . 5 |- ( a = A -> <. a , b >. = <. A , b >. )
5	4	sneqd 3606	. . . 4 |- ( a = A -> { <. a , b >. } = { <. A , b >. } )
6		f1oeq1 5450	. . . 4 |- ( { <. a , b >. } = { <. A , b >. } -> ( { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
8	3, 7	bitrd 188	. 2 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
9		sneq 3604	. . . 4 |- ( b = B -> { b } = { B } )
10		f1oeq3 5452	. . . 4 |- ( { b } = { B } -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
12		opeq2 3780	. . . . 5 |- ( b = B -> <. A , b >. = <. A , B >. )
13	12	sneqd 3606	. . . 4 |- ( b = B -> { <. A , b >. } = { <. A , B >. } )
14		f1oeq1 5450	. . . 4 |- ( { <. A , b >. } = { <. A , B >. } -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
16	11, 15	bitrd 188	. 2 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
17		vex 2741	. . 3 |- a e. _V
18		vex 2741	. . 3 |- b e. _V
19	17, 18	f1osn 5502	. 2 |- { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }
20	8, 16, 19	vtocl2g 2802	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3593   <.cop 3596   -1-1-onto->wf1o 5216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224

This theorem is referenced by:  f1sng  5504  f1oprg  5506  fsnunf  5717  dif1en  6879  1fv  10139  zfz1isolem1  10820  sumsnf  11417  prodsnf  11600  ennnfonelemhf1o  12414