Theorem f1osng 5586

Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
f1osng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )

Proof of Theorem f1osng

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3654	. . . 4 |- ( a = A -> { a } = { A } )
2		f1oeq2 5533	. . . 4 |- ( { a } = { A } -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
4		opeq1 3833	. . . . 5 |- ( a = A -> <. a , b >. = <. A , b >. )
5	4	sneqd 3656	. . . 4 |- ( a = A -> { <. a , b >. } = { <. A , b >. } )
6		f1oeq1 5532	. . . 4 |- ( { <. a , b >. } = { <. A , b >. } -> ( { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
8	3, 7	bitrd 188	. 2 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
9		sneq 3654	. . . 4 |- ( b = B -> { b } = { B } )
10		f1oeq3 5534	. . . 4 |- ( { b } = { B } -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
12		opeq2 3834	. . . . 5 |- ( b = B -> <. A , b >. = <. A , B >. )
13	12	sneqd 3656	. . . 4 |- ( b = B -> { <. A , b >. } = { <. A , B >. } )
14		f1oeq1 5532	. . . 4 |- ( { <. A , b >. } = { <. A , B >. } -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
16	11, 15	bitrd 188	. 2 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
17		vex 2779	. . 3 |- a e. _V
18		vex 2779	. . 3 |- b e. _V
19	17, 18	f1osn 5585	. 2 |- { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }
20	8, 16, 19	vtocl2g 2842	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   {csn 3643   <.cop 3646   -1-1-onto->wf1o 5289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297

This theorem is referenced by:  f1sng  5587  f1oprg  5589  fsnunf  5807  dif1en  7002  1fv  10296  zfz1isolem1  11022  sumsnf  11835  prodsnf  12018  ennnfonelemhf1o  12899