ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1osng Unicode version

Theorem f1osng 5457
Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
f1osng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } )

Proof of Theorem f1osng
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3572 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  { a }  =  { A } )
2 f1oeq2 5406 . . . 4  |-  ( { a }  =  { A }  ->  ( {
<. a ,  b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. a ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. a ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
4 opeq1 3743 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  <. a ,  b >.  =  <. A ,  b >. )
54sneqd 3574 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  { <. a ,  b >. }  =  { <. A ,  b
>. } )
6 f1oeq1 5405 . . . 4  |-  ( {
<. a ,  b >. }  =  { <. A , 
b >. }  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
83, 7bitrd 187 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
9 sneq 3572 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  { b }  =  { B } )
10 f1oeq3 5407 . . . 4  |-  ( { b }  =  { B }  ->  ( {
<. A ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> {
b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
119, 10syl 14 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
12 opeq2 3744 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >. )
1312sneqd 3574 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  { <. A ,  b >. }  =  { <. A ,  B >. } )
14 f1oeq1 5405 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  b >. }  =  { <. A ,  B >. }  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
1611, 15bitrd 187 . 2  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
17 vex 2715 . . 3  |-  a  e. 
_V
18 vex 2715 . . 3  |-  b  e. 
_V
1917, 18f1osn 5456 . 2  |-  { <. a ,  b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }
208, 16, 19vtocl2g 2776 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   {csn 3561   <.cop 3564   -1-1-onto->wf1o 5171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179
This theorem is referenced by:  f1sng  5458  f1oprg  5460  fsnunf  5669  dif1en  6826  1fv  10047  zfz1isolem1  10722  sumsnf  11317  prodsnf  11500  ennnfonelemhf1o  12212
  Copyright terms: Public domain W3C validator