ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1osng Unicode version

Theorem f1osng 5502
Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
f1osng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } )

Proof of Theorem f1osng
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3603 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  { a }  =  { A } )
2 f1oeq2 5450 . . . 4  |-  ( { a }  =  { A }  ->  ( {
<. a ,  b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. a ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. a ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
4 opeq1 3778 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  <. a ,  b >.  =  <. A ,  b >. )
54sneqd 3605 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  { <. a ,  b >. }  =  { <. A ,  b
>. } )
6 f1oeq1 5449 . . . 4  |-  ( {
<. a ,  b >. }  =  { <. A , 
b >. }  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
83, 7bitrd 188 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
9 sneq 3603 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  { b }  =  { B } )
10 f1oeq3 5451 . . . 4  |-  ( { b }  =  { B }  ->  ( {
<. A ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> {
b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
119, 10syl 14 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
12 opeq2 3779 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >. )
1312sneqd 3605 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  { <. A ,  b >. }  =  { <. A ,  B >. } )
14 f1oeq1 5449 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  b >. }  =  { <. A ,  B >. }  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
1611, 15bitrd 188 . 2  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
17 vex 2740 . . 3  |-  a  e. 
_V
18 vex 2740 . . 3  |-  b  e. 
_V
1917, 18f1osn 5501 . 2  |-  { <. a ,  b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }
208, 16, 19vtocl2g 2801 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   {csn 3592   <.cop 3595   -1-1-onto->wf1o 5215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223
This theorem is referenced by:  f1sng  5503  f1oprg  5505  fsnunf  5716  dif1en  6878  1fv  10138  zfz1isolem1  10819  sumsnf  11416  prodsnf  11599  ennnfonelemhf1o  12413
  Copyright terms: Public domain W3C validator