Theorem f1osng 5545

Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
f1osng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )

Proof of Theorem f1osng

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3633	. . . 4 |- ( a = A -> { a } = { A } )
2		f1oeq2 5493	. . . 4 |- ( { a } = { A } -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
4		opeq1 3808	. . . . 5 |- ( a = A -> <. a , b >. = <. A , b >. )
5	4	sneqd 3635	. . . 4 |- ( a = A -> { <. a , b >. } = { <. A , b >. } )
6		f1oeq1 5492	. . . 4 |- ( { <. a , b >. } = { <. A , b >. } -> ( { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
8	3, 7	bitrd 188	. 2 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
9		sneq 3633	. . . 4 |- ( b = B -> { b } = { B } )
10		f1oeq3 5494	. . . 4 |- ( { b } = { B } -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
12		opeq2 3809	. . . . 5 |- ( b = B -> <. A , b >. = <. A , B >. )
13	12	sneqd 3635	. . . 4 |- ( b = B -> { <. A , b >. } = { <. A , B >. } )
14		f1oeq1 5492	. . . 4 |- ( { <. A , b >. } = { <. A , B >. } -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
16	11, 15	bitrd 188	. 2 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
17		vex 2766	. . 3 |- a e. _V
18		vex 2766	. . 3 |- b e. _V
19	17, 18	f1osn 5544	. 2 |- { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }
20	8, 16, 19	vtocl2g 2828	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3622   <.cop 3625   -1-1-onto->wf1o 5257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265

This theorem is referenced by:  f1sng  5546  f1oprg  5548  fsnunf  5762  dif1en  6940  1fv  10214  zfz1isolem1  10932  sumsnf  11574  prodsnf  11757  ennnfonelemhf1o  12630