Theorem f1osng 5563

Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
f1osng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )

Proof of Theorem f1osng

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3644	. . . 4 |- ( a = A -> { a } = { A } )
2		f1oeq2 5511	. . . 4 |- ( { a } = { A } -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
4		opeq1 3819	. . . . 5 |- ( a = A -> <. a , b >. = <. A , b >. )
5	4	sneqd 3646	. . . 4 |- ( a = A -> { <. a , b >. } = { <. A , b >. } )
6		f1oeq1 5510	. . . 4 |- ( { <. a , b >. } = { <. A , b >. } -> ( { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
8	3, 7	bitrd 188	. 2 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
9		sneq 3644	. . . 4 |- ( b = B -> { b } = { B } )
10		f1oeq3 5512	. . . 4 |- ( { b } = { B } -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
12		opeq2 3820	. . . . 5 |- ( b = B -> <. A , b >. = <. A , B >. )
13	12	sneqd 3646	. . . 4 |- ( b = B -> { <. A , b >. } = { <. A , B >. } )
14		f1oeq1 5510	. . . 4 |- ( { <. A , b >. } = { <. A , B >. } -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
16	11, 15	bitrd 188	. 2 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
17		vex 2775	. . 3 |- a e. _V
18		vex 2775	. . 3 |- b e. _V
19	17, 18	f1osn 5562	. 2 |- { <. a , b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }
20	8, 16, 19	vtocl2g 2837	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   {csn 3633   <.cop 3636   -1-1-onto->wf1o 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278

This theorem is referenced by:  f1sng  5564  f1oprg  5566  fsnunf  5784  dif1en  6976  1fv  10261  zfz1isolem1  10985  sumsnf  11720  prodsnf  11903  ennnfonelemhf1o  12784