ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1osng Unicode version

Theorem f1osng 5483
Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
f1osng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } )

Proof of Theorem f1osng
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3594 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  { a }  =  { A } )
2 f1oeq2 5432 . . . 4  |-  ( { a }  =  { A }  ->  ( {
<. a ,  b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. a ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. a ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
4 opeq1 3765 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  <. a ,  b >.  =  <. A ,  b >. )
54sneqd 3596 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  { <. a ,  b >. }  =  { <. A ,  b
>. } )
6 f1oeq1 5431 . . . 4  |-  ( {
<. a ,  b >. }  =  { <. A , 
b >. }  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
83, 7bitrd 187 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
9 sneq 3594 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  { b }  =  { B } )
10 f1oeq3 5433 . . . 4  |-  ( { b }  =  { B }  ->  ( {
<. A ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> {
b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
119, 10syl 14 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
12 opeq2 3766 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >. )
1312sneqd 3596 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  { <. A ,  b >. }  =  { <. A ,  B >. } )
14 f1oeq1 5431 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  b >. }  =  { <. A ,  B >. }  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
1611, 15bitrd 187 . 2  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
17 vex 2733 . . 3  |-  a  e. 
_V
18 vex 2733 . . 3  |-  b  e. 
_V
1917, 18f1osn 5482 . 2  |-  { <. a ,  b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }
208, 16, 19vtocl2g 2794 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   {csn 3583   <.cop 3586   -1-1-onto->wf1o 5197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205
This theorem is referenced by:  f1sng  5484  f1oprg  5486  fsnunf  5696  dif1en  6857  1fv  10095  zfz1isolem1  10775  sumsnf  11372  prodsnf  11555  ennnfonelemhf1o  12368
  Copyright terms: Public domain W3C validator