ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1sng GIF version

Theorem f1sng 5482
Description: A singleton of an ordered pair is a one-to-one function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
f1sng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊)

Proof of Theorem f1sng
StepHypRef Expression
1 f1osng 5481 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
2 f1of1 5439 . . 3 ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵})
31, 2syl 14 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵})
4 snssi 3722 . . 3 (𝐵𝑊 → {𝐵} ⊆ 𝑊)
54adantl 275 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {𝐵} ⊆ 𝑊)
6 f1ss 5407 . 2 (({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊)
73, 5, 6syl2anc 409 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 2141  wss 3121  {csn 3581  cop 3584  1-1wf1 5193  1-1-ontowf1o 5195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203
This theorem is referenced by:  fsnd  5483
  Copyright terms: Public domain W3C validator