Theorem f1sng 5474

Description: A singleton of an ordered pair is a one-to-one function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
f1sng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)

Proof of Theorem f1sng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
2		f1of1 5431	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵})
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵})
4		snssi 3717	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐵} ⊆ 𝑊)
5	4	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐵} ⊆ 𝑊)
6		f1ss 5399	. 2 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→{𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)
7	3, 5, 6	syl2anc 409	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116  {csn 3576  ⟨cop 3579  –1-1→wf1 5185  –1-1-onto→wf1o 5187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195

This theorem is referenced by:  fsnd  5475