Theorem fcod 5556

Description: Composition of two mappings. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcod.1	|- ( ph -> F : B --> C )
fcod.2	|- ( ph -> G : A --> B )

Assertion

Ref	Expression
fcod	|- ( ph -> ( F o. G ) : A --> C )

Proof of Theorem fcod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcod.1	. 2 |- ( ph -> F : B --> C )
2		fcod.2	. 2 |- ( ph -> G : A --> B )
3		fco 5555	. 2 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( F o. G ) : A --> C )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( F o. G ) : A --> C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   o. ccom 4780   -->wf 5376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384

This theorem is used by:  mapen  7150  gzsumwmhm  13862  gzsumreidx  14231  gzsummhm  14235  gzsumshift  14239  gsumvalfi  14242  gsump1  14247  gsumf1ofi  14250  gsummhmfi  14264  gsumressfi  14267  psrass1filem  15177