Theorem gsumvalfi 14129

Description: Value of the finite group sum over an unordered finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvalfi.b	|- B = ( Base ` W )
gsumvalfi.w	|- ( ph -> W e. CMnd )
gsumvalfi.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsumvalfi.fi	|- ( ph -> A e. Fin )
gsumvalfi.g	|- ( ph -> G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
gsumvalfi	|- ( ph -> ( W gsumg F ) = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) )

Proof of Theorem gsumvalfi

Dummy variables p q r s f g w x h y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvalfi.w	. . 3 |- ( ph -> W e. CMnd )
2		gsumvalfi.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> B )
3		gsumvalfi.fi	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
4	2, 3	fexd 5938	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
5		fngzsum 13685	. . . . . . 7 |- gzsumgz Fn ( _V X. _V )
6	1	elexd 2835	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. _V )
7		gsumvalfi.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
8		f1of 5634	. . . . . . . . . 10 |- ( G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
10		1zzd 9650	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
11		hashcl 11198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
12	3, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. NN0 )
13	12	nn0zd 9745	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` A ) e. ZZ )
14	10, 13	fzfigd 10846	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` A ) ) e. Fin )
15	9, 14	fexd 5938	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. _V )
16		coexg 5327	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> ( F o. G ) e. _V )
17	4, 15, 16	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F o. G ) e. _V )
18		fnovex 6108	. . . . . . 7 |- ( ( gzsumgz Fn ( _V X. _V ) /\ W e. _V /\ ( F o. G ) e. _V ) -> ( W gzsumgz ( F o. G ) ) e. _V )
19	5, 6, 17, 18	mp3an2i 1383	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W gzsumgz ( F o. G ) ) e. _V )
20	2	fdmd 5535	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom F = A )
21	20, 3	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom F e. Fin )
22		eqidd 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G = G )
23	20	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (♯ ` dom F ) = (♯ ` A ) )
24	23	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
25	22, 24, 20	f1oeq123d 5628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F <-> G : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
26	7, 25	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
27		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) )
28	26, 27	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) ) )
29		f1oeq1 5622	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F <-> G : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F ) )
30		coeq2 4933	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = G -> ( F o. g ) = ( F o. G ) )
31	30	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( W gzsumgz ( F o. g ) ) = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) )
32	31	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) <-> ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) ) )
33	29, 32	anbi12d 477	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) <-> ( G : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) ) ) )
34	15, 28, 33	elabd 2971	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) )
35	21, 34	jca 306	. . . . . 6 |- ( ph -> ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) )
36		eqeq1 2245	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) -> ( x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) <-> ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) )
37	36	anbi2d 468	. . . . . . . 8 |- ( x = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) )
38	37	exbidv 1878	. . . . . . 7 |- ( x = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) )
39	38	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( x = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) -> ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) <-> ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) )
40	19, 35, 39	elabd 2971	. . . . 5 |- ( ph -> E. x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) )
41		anandi 598	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F e. Fin /\ ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) <-> ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) )
42		f1oeq1 5622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = h -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F <-> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F ) )
43		coeq2 4933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = h -> ( F o. g ) = ( F o. h ) )
44	43	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = h -> ( W gzsumgz ( F o. g ) ) = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) )
45	44	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = h -> ( y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) <-> y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) )
46	42, 45	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = h -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) <-> ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) )
47	46	cbvexv 1974	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) <-> E. h ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) )
48	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> W e. CMnd )
49	48	cmnmndd 14088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> W e. Mnd )
50	49	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> W e. Mnd )
51		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> p e. B )
52		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> q e. B )
53		gsumvalfi.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- B = ( Base ` W )
54		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
55	53, 54	mndcl 13713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( W e. Mnd /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( +g ` W ) q ) e. B )
56	50, 51, 52, 55	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p ( +g ` W ) q ) e. B )
57	48	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> W e. CMnd )
58	53, 54	cmncom 14082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( W e. CMnd /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( +g ` W ) q ) = ( q ( +g ` W ) p ) )
59	57, 51, 52, 58	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) -> ( p ( +g ` W ) q ) = ( q ( +g ` W ) p ) )
60	49	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B /\ r e. B ) ) -> W e. Mnd )
61	53, 54	mndass 13714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( W e. Mnd /\ ( p e. B /\ q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( p ( +g ` W ) q ) ( +g ` W ) r ) = ( p ( +g ` W ) ( q ( +g ` W ) r ) ) )
62	60, 61	sylancom 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ ( p e. B /\ q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( p ( +g ` W ) q ) ( +g ` W ) r ) = ( p ( +g ` W ) ( q ( +g ` W ) r ) ) )
63		elnnuz 9938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( (♯ ` dom F ) e. NN <-> (♯ ` dom F ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
64	63	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( (♯ ` dom F ) e. NN -> (♯ ` dom F ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> (♯ ` dom F ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
66		ssidd 3269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> B C_ B )
67	1	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> W e. CMnd )
68		plusgslid 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
69	68	slotex 13357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( W e. CMnd -> ( +g ` W ) e. _V )
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( +g ` W ) e. _V )
71		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
72	20	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> dom F = A )
73	72	f1oeq3d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F <-> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A ) )
74	71, 73	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A )
76		f1ocnv 5647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A -> `' g : A -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> `' g : A -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
78		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
79	72	f1oeq3d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F <-> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A ) )
80	78, 79	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A )
81	80	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A )
82		f1oco 5657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( `' g : A -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) /\ h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' g o. h ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
83	77, 81, 82	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( `' g o. h ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
84	2	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> F : A --> B )
85		f1of 5634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
86	71, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
87	72	feq3d 5517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F <-> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A ) )
88	86, 87	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
89	88	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
90	84, 89	fcod 5548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( F o. g ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> B )
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
92	90, 91	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` p ) e. B )
93		f1of 5634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
94	78, 93	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
95	72	feq3d 5517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F <-> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A ) )
96	94, 95	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
97	96	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
98		fvco3 5770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( `' g o. h ) ` s ) = ( `' g ` ( h ` s ) ) )
99	97, 98	sylancom 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( `' g o. h ) ` s ) = ( `' g ` ( h ` s ) ) )
100	99	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( g ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) = ( g ` ( `' g ` ( h ` s ) ) ) )
101	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A )
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
103	97, 102	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( h ` s ) e. A )
104		f1ocnvfv2 5974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> A /\ ( h ` s ) e. A ) -> ( g ` ( `' g ` ( h ` s ) ) ) = ( h ` s ) )
105	101, 103, 104	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( g ` ( `' g ` ( h ` s ) ) ) = ( h ` s ) )
106	100, 105	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( g ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) = ( h ` s ) )
107	106	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( F ` ( g ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) ) = ( F ` ( h ` s ) ) )
108	88	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
109		f1ocnv 5647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F -> `' g : dom F -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
110		f1of 5634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( `' g : dom F -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -> `' g : dom F --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
111	71, 109, 110	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> `' g : dom F --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
112	72	feq2d 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( `' g : dom F --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) <-> `' g : A --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) )
113	111, 112	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> `' g : A --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
114	113	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> `' g : A --> ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
115	114, 103	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( `' g ` ( h ` s ) ) e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
116	99, 115	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( `' g o. h ) ` s ) e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
117		fvco3 5770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A /\ ( ( `' g o. h ) ` s ) e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) ) )
118	108, 116, 117	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) = ( F ` ( g ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) ) )
119		fvco3 5770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. h ) ` s ) = ( F ` ( h ` s ) ) )
120	97, 119	sylancom 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. h ) ` s ) = ( F ` ( h ` s ) ) )
121	107, 118, 120	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) /\ s e. ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) ) -> ( ( F o. h ) ` s ) = ( ( F o. g ) ` ( ( `' g o. h ) ` s ) ) )
122	4	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> F e. _V )
123		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- g e. _V
124		coexg 5327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. _V /\ g e. _V ) -> ( F o. g ) e. _V )
125	122, 123, 124	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( F o. g ) e. _V )
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( F o. g ) e. _V )
127		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- h e. _V
128		coexg 5327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F e. _V /\ h e. _V ) -> ( F o. h ) e. _V )
129	122, 127, 128	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( F o. h ) e. _V )
130	129	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( F o. h ) e. _V )
131	56, 59, 62, 65, 66, 70, 83, 92, 121, 126, 130	seqf1og 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( seq 1 ( ( +g ` W ) , ( F o. h ) ) ` (♯ ` dom F ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` W ) , ( F o. g ) ) ` (♯ ` dom F ) ) )
132	2	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> F : A --> B )
133	96	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
134	132, 133	fcod 5548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( F o. h ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> B )
135	53, 54, 67, 65, 134	gzsumval2 13691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( W gzsumgz ( F o. h ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` W ) , ( F o. h ) ) ` (♯ ` dom F ) ) )
136		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
137	136, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
138	132	fdmd 5535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> dom F = A )
139	138	feq3d 5517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F <-> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A ) )
140	137, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> A )
141	132, 140	fcod 5548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( F o. g ) : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> B )
142	53, 54, 67, 65, 141	gzsumval2 13691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( W gzsumgz ( F o. g ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` W ) , ( F o. g ) ) ` (♯ ` dom F ) ) )
143	131, 135, 142	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> ( W gzsumgz ( F o. h ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) )
144		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) -> y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) )
145	144	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) )
146		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) )
147	143, 145, 146	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) e. NN ) -> x = y )
148		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
149	148	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
150	149, 93	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
151		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> (♯ ` dom F ) = 0 )
152		fihasheq0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( dom F e. Fin -> ( (♯ ` dom F ) = 0 <-> dom F = (/) ) )
153	21, 152	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> ( (♯ ` dom F ) = 0 <-> dom F = (/) ) )
154	153	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( (♯ ` dom F ) = 0 <-> dom F = (/) ) )
155	151, 154	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> dom F = (/) )
156	155	feq3d 5517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F <-> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) ) )
157	150, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) )
158		f00 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) <-> ( h = (/) /\ ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) = (/) ) )
159	157, 158	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( h = (/) /\ ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) = (/) ) )
160	159	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> h = (/) )
161	160	coeq2d 4937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( F o. h ) = ( F o. (/) ) )
162		co02 5296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F o. (/) ) = (/)
163	161, 162	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( F o. h ) = (/) )
164	163	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( W gzsumgz ( F o. h ) ) = ( W gzsumgz (/) ) )
165		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
166	165	gzsum0 13690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( W e. CMnd -> ( W gzsumgz (/) ) = ( 0g ` W ) )
167	1, 166	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( W gzsumgz (/) ) = ( 0g ` W ) )
168	167	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( W gzsumgz (/) ) = ( 0g ` W ) )
169	164, 168	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( W gzsumgz ( F o. h ) ) = ( 0g ` W ) )
170	144	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) )
171		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) )
172		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F )
173	172, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F )
174	155	feq3d 5517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> dom F <-> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) ) )
175	173, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) )
176		f00 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) --> (/) <-> ( g = (/) /\ ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) = (/) ) )
177	175, 176	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( g = (/) /\ ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) = (/) ) )
178	177	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> g = (/) )
179	178	coeq2d 4937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( F o. g ) = ( F o. (/) ) )
180	179, 162	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( F o. g ) = (/) )
181	180	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> ( W gzsumgz ( F o. g ) ) = ( W gzsumgz (/) ) )
182	171, 181, 168	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> x = ( 0g ` W ) )
183	169, 170, 182	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ (♯ ` dom F ) = 0 ) -> x = y )
184	23, 12	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> (♯ ` dom F ) e. NN0 )
185		elnn0 9544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (♯ ` dom F ) e. NN0 <-> ( (♯ ` dom F ) e. NN \/ (♯ ` dom F ) = 0 ) )
186	184, 185	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( (♯ ` dom F ) e. NN \/ (♯ ` dom F ) = 0 ) )
187	186	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( (♯ ` dom F ) e. NN \/ (♯ ` dom F ) = 0 ) )
188	147, 183, 187	mpjaodan 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) /\ ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> x = y )
189	188	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) -> x = y ) )
190	189	exlimdv 1872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) ) -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) -> x = y ) )
191	190	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) -> x = y ) ) )
192	191	com23 78	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) -> ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) -> x = y ) ) )
193	192	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ dom F e. Fin ) -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) -> ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) -> x = y ) ) )
194	193	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ dom F e. Fin ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) -> x = y ) )
195	194	exlimdv 1872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ dom F e. Fin ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( E. h ( h : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. h ) ) ) -> x = y ) )
196	47, 195	biimtrid 152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ dom F e. Fin ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) -> x = y ) )
197	196	impr 379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ dom F e. Fin ) /\ ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) -> x = y )
198	197	anasss 403	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( dom F e. Fin /\ ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) ) -> x = y )
199	41, 198	sylan2br 288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) ) -> x = y )
200	199	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) -> x = y ) )
201	200	alrimivv 1928	. . . . 5 |- ( ph -> A. x A. y ( ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) -> x = y ) )
202		eqeq1 2245	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) <-> y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) )
203	202	anbi2d 468	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) )
204	203	exbidv 1878	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) )
205	204	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) <-> ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) )
206	205	eu4 2149	. . . . 5 |- ( E! x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) <-> ( E. x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ A. x A. y ( ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) /\ ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ y = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) -> x = y ) ) )
207	40, 201, 206	sylanbrc 421	. . . 4 |- ( ph -> E! x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) )
208		euiotaex 5349	. . . 4 |- ( E! x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) -> ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) e. _V )
209	207, 208	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) e. _V )
210		oveq1 6082	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( w gzsumgz ( f o. g ) ) = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) )
211	210	eqeq2d 2250	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( x = ( w gzsumgz ( f o. g ) ) <-> x = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) ) )
212	211	anbi2d 468	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( w gzsumgz ( f o. g ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) ) ) )
213	212	exbidv 1878	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( w gzsumgz ( f o. g ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) ) ) )
214	213	anbi2d 468	. . . . 5 |- ( w = W -> ( ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( w gzsumgz ( f o. g ) ) ) ) <-> ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) ) ) ) )
215	214	iotabidv 5355	. . . 4 |- ( w = W -> ( iota x ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( w gzsumgz ( f o. g ) ) ) ) ) = ( iota x ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) ) ) ) )
216		dmeq 4976	. . . . . . 7 |- ( f = F -> dom f = dom F )
217	216	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( dom f e. Fin <-> dom F e. Fin ) )
218		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> g = g )
219	216	fveq2d 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> (♯ ` dom f ) = (♯ ` dom F ) )
220	219	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) = ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) )
221	218, 220, 216	f1oeq123d 5628	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f <-> g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F ) )
222		coeq1 4932	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f o. g ) = ( F o. g ) )
223	222	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( W gzsumgz ( f o. g ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) )
224	223	eqeq2d 2250	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( x = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) <-> x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) )
225	221, 224	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) ) <-> ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) )
226	225	exbidv 1878	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) )
227	217, 226	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) ) ) <-> ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) )
228	227	iotabidv 5355	. . . 4 |- ( f = F -> ( iota x ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( W gzsumgz ( f o. g ) ) ) ) ) = ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) )
229		df-gsumfi 14128	. . . 4 |- gsumg = ( w e. CMnd , f e. _V |-> ( iota x ( dom f e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom f ) ) -1-1-onto-> dom f /\ x = ( w gzsumgz ( f o. g ) ) ) ) ) )
230	215, 228, 229	ovmpog 6213	. . 3 |- ( ( W e. CMnd /\ F e. _V /\ ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) e. _V ) -> ( W gsumg F ) = ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) )
231	1, 4, 209, 230	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( W gsumg F ) = ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) )
232	39	iota2 5362	. . . 4 |- ( ( ( W gzsumgz ( F o. G ) ) e. _V /\ E! x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) -> ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) <-> ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) ) )
233	19, 207, 232	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ ( W gzsumgz ( F o. G ) ) = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) <-> ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) ) )
234	35, 233	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( dom F e. Fin /\ E. g ( g : ( 1 ... (♯ ` dom F ) ) -1-1-onto-> dom F /\ x = ( W gzsumgz ( F o. g ) ) ) ) ) = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) )
235	231, 234	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( W gsumg F ) = ( W gzsumgz ( F o. G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   E!weu 2086   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   X. cxp 4767   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   o. ccom 4773   iotacio 5330   Fn wfn 5367   -->wf 5368   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   0cc0 8169   1c1 8170   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   seqcseq 10862  ♯chash 11192   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587   gzsum_gz cgzsu 13588   Mndcmnd 13706  CMndccmn 14064   gsum_g cgsu 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-cmn 14066  df-gsumfi 14128

This theorem is referenced by:  gzsumgsum1  14130  gzsumgsum  14132  gsumsncmn  14133  gsump1  14134  gsumf1ofi  14137  gsummhmfi  14141  gsumressfi  14144