Theorem psrass1filem 15177

Description: A group sum commutation used by psrass1fi 15201. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumbagdiag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
gsumbagdiag.s	|- S = { y e. D | y oR <_ F }
gsumbagdiag.f	|- ( ph -> F e. D )
gsumbagdiag.b	|- B = ( Base ` G )
gsumbagdiag.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumbagdiagfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
gsumbagdiag.x	|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B )
psrass1lem.y	|- ( k = ( n oF - j ) -> X = Y )

Assertion

Ref	Expression
psrass1filem	|- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, D   y, D   f, F, x   y, F   f, I   f, X, x   y, X   f, Y, x   y, Y   B, j, k   D, j, k   j, F, k   j, G, k   y, I, f   x, I   S, j, k   ph, j, k   f, j, k, y   x, j, k   D, n, j, k, x   x, f   n, F   n, G   S, n   n, X   k, Y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, f, n)   B( x, y, f, n)   D( f)   S( x, y, f)   G( x, y, f)   I( j, k, n)   X( j, k)   Y( j, n)

Proof of Theorem psrass1filem

Dummy variables z m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumbagdiag.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		gsumbagdiag.s	. . . 4 |- S = { y e. D | y oR <_ F }
3		gsumbagdiag.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. D )
4		gsumbagdiag.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
5		gsumbagdiag.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. CMnd )
6		gsumbagdiagfi.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
7	1, 2, 3	gsumbagdiaglem 15175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) )
8		gsumbagdiag.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B )
9	8	anassrs 404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> X e. B )
10	9	fmpttd 5866	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
11	2	ssrab3 3334	. . . . . . . . . . . 12 |- S C_ D
12	1, 2	psrbagconcl 15173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. D /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S )
13	3, 12	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. S )
14	11, 13	sselid 3246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( F oF - j ) e. D )
15		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } = { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) }
16	1, 15	psrbagconf1o 15174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F oF - j ) e. D -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
17	14, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
18		f1of 5642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -1-1-onto-> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
20	10, 19	fcod 5556	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
21	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> F e. D )
22	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F e. D )
23	1	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F : I --> NN0 )
25	24	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. NN0 )
26		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j e. S )
27	11, 26	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j e. D )
28	1	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. D -> j : I --> NN0 )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j : I --> NN0 )
30	29	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( j ` z ) e. NN0 )
31		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } C_ D
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
33	31, 32	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m e. D )
34	1	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. D -> m : I --> NN0 )
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m : I --> NN0 )
36	35	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( m ` z ) e. NN0 )
37		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` z ) e. NN0 -> ( F ` z ) e. CC )
38		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j ` z ) e. NN0 -> ( j ` z ) e. CC )
39		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m ` z ) e. NN0 -> ( m ` z ) e. CC )
40		sub32 8567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( j ` z ) e. CC /\ ( m ` z ) e. CC ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
41	37, 38, 39, 40	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` z ) e. NN0 /\ ( j ` z ) e. NN0 /\ ( m ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
42	25, 30, 36, 41	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) )
43	42	mpteq2dva 4223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) )
44	35	ffnd 5537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m Fn I )
45	32, 44	fndmexd 5584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> I e. _V )
46	25	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
47	30	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( j ` z ) e. ZZ )
48	46, 47	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) e. ZZ )
49	24	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> F = ( z e. I |-> ( F ` z ) ) )
50	29	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> j = ( z e. I |-> ( j ` z ) ) )
51	45, 25, 30, 49, 50	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) ) )
52	35	feqmptd 5759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> m = ( z e. I |-> ( m ` z ) ) )
53	45, 48, 36, 51, 52	offval2 6322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( j ` z ) ) - ( m ` z ) ) ) )
54	36	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( m ` z ) e. ZZ )
55	46, 54	zsubcld 9784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) e. ZZ )
56	45, 25, 36, 49, 52	offval2 6322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( F oF - m ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) ) )
57	45, 55, 30, 56, 50	offval2 6322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - m ) oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( ( F ` z ) - ( m ` z ) ) - ( j ` z ) ) ) )
58	43, 53, 57	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) = ( ( F oF - m ) oF - j ) )
59	1, 15	psrbagconcl 15173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F oF - j ) e. D /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
60	14, 59	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - j ) oF - m ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
61	58, 60	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> ( ( F oF - m ) oF - j ) e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } )
62	58	mpteq2dva 4223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - m ) oF - j ) ) )
63		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n X
64		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ n / k ]_ X
65		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> X = [_ n / k ]_ X )
66	63, 64, 65	cbvmpt 4228	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( n e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ n / k ]_ X )
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) = ( n e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ n / k ]_ X ) )
68		csbeq1 3150	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( ( F oF - m ) oF - j ) -> [_ n / k ]_ X = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
69	61, 62, 67, 68	fmptco 5877	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) = ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
70	69	feq1d 5523	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B <-> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B ) )
71	20, 70	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } --> B )
72	71	fvmptelcdm 5864	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. S ) /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
73	72	anasss 403	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
74	7, 73	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
75	1, 2, 3, 4, 5, 6, 74	gsumbagdiagfi 15176	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( j e. S , m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
76		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
77	1	psrbaglefifi 15172	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ I e. Fin ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
78	3, 6, 77	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )
79	2, 78	eqeltrid 2325	. . . 4 |- ( ph -> S e. Fin )
80	1, 2	psrbagconcl 15173	. . . . . . 7 |- ( ( F e. D /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. S )
81	3, 80	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. S )
82	11, 81	sselid 3246	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( F oF - m ) e. D )
83	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> I e. Fin )
84	1	psrbaglefifi 15172	. . . . 5 |- ( ( ( F oF - m ) e. D /\ I e. Fin ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin )
85	82, 83, 84	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } e. Fin )
86		xpfi 7243	. . . . 5 |- ( ( S e. Fin /\ S e. Fin ) -> ( S X. S ) e. Fin )
87	79, 79, 86	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( S X. S ) e. Fin )
88		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> m e. S )
89	7	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> j e. S )
90		brxp 4807	. . . . . . 7 |- ( m ( S X. S ) j <-> ( m e. S /\ j e. S ) )
91	88, 89, 90	sylanbrc 421	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> m ( S X. S ) j )
92	91	pm2.24d 631	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) ) -> ( -. m ( S X. S ) j -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) )
93	92	impr 379	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) /\ -. m ( S X. S ) j ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) )
94	4, 76, 5, 79, 85, 74, 87, 93	gsum2d2fi 14274	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
95	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> I e. Fin )
96	1	psrbaglefifi 15172	. . . . 5 |- ( ( ( F oF - j ) e. D /\ I e. Fin ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin )
97	14, 95, 96	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. Fin )
98		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j e. S )
99	1, 2, 3	gsumbagdiaglem 15175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( m e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) )
100	99	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> m e. S )
101		brxp 4807	. . . . . . 7 |- ( j ( S X. S ) m <-> ( j e. S /\ m e. S ) )
102	98, 100, 101	sylanbrc 421	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j ( S X. S ) m )
103	102	pm2.24d 631	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( -. j ( S X. S ) m -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) ) )
104	103	impr 379	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( j e. S /\ m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ -. j ( S X. S ) m ) ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X = ( 0g ` G ) )
105	4, 76, 5, 79, 97, 73, 87, 104	gsum2d2fi 14274	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. S , m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
106	75, 94, 105	3eqtr3d 2279	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
107	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> G e. CMnd )
108	74	anassrs 404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. S ) /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } ) -> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X e. B )
109	108	fmpttd 5866	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) : { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } --> B )
110	4, 76, 107, 85, 109	gsumclfi 14249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. S ) -> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) e. B )
111	110	fmpttd 5866	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) : S --> B )
112	1, 2	psrbagconf1o 15174	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
113	3, 112	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
114		f1ocnv 5655	. . . . . . 7 |- ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S )
115		f1of 5642	. . . . . . 7 |- ( `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S )
116	113, 114, 115	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S --> S )
117	111, 116	fcod 5556	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B )
118		coass 5309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) )
119		f1ococnv2 5669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) : S -1-1-onto-> S -> ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( _I |` S ) )
120	113, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( _I |` S ) )
121	120	coeq2d 4944	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) )
122	118, 121	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) )
123		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) = ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) )
124		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
125		breq2 4135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( x oR <_ n <-> x oR <_ ( F oF - m ) ) )
126	125	rabbidv 2810	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( F oF - m ) -> { x e. D | x oR <_ n } = { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } )
127		ofovex 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. _V /\ j e. _V ) -> ( n oF - j ) e. _V )
128	127	el2v 2827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n oF - j ) e. _V
129		psrass1lem.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n oF - j ) -> X = Y )
130	128, 129	csbie 3193	. . . . . . . . . . . 12 |- [_ ( n oF - j ) / k ]_ X = Y
131		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( n oF - j ) = ( ( F oF - m ) oF - j ) )
132	131	csbeq1d 3154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( F oF - m ) -> [_ ( n oF - j ) / k ]_ X = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
133	130, 132	eqtr3id 2285	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( F oF - m ) -> Y = [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X )
134	126, 133	mpteq12dv 4214	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) = ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) )
135	134	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( F oF - m ) -> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) = ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
136	81, 123, 124, 135	fmptco 5877	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) )
137	136	coeq1d 4943	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) )
138		coires1 5308	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S )
139		ssid 3268	. . . . . . . . . 10 |- S C_ S
140		resmpt 5114	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ S -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
141	139, 140	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) |` S ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
142	138, 141	eqtri 2259	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) )
143	142	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( _I |` S ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
144	122, 137, 143	3eqtr3d 2279	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) = ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) )
145	144	feq1d 5523	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) o. `' ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) : S --> B <-> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) : S --> B ) )
146	117, 145	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) : S --> B )
147	4, 76, 5, 79, 146, 113	gsumf1ofi 14250	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) )
148	136	oveq2d 6104	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) o. ( m e. S |-> ( F oF - m ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
149	147, 148	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - m ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
150	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> G e. CMnd )
151	4, 76, 150, 97, 10, 17	gsumf1ofi 14250	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsumg ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) ) )
152	69	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) o. ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> ( ( F oF - j ) oF - m ) ) ) ) = ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
153	151, 152	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. S ) -> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) )
154	153	mpteq2dva 4223	. . 3 |- ( ph -> ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) = ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) )
155	154	oveq2d 6104	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( m e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> [_ ( ( F oF - m ) oF - j ) / k ]_ X ) ) ) ) )
156	106, 149, 155	3eqtr4d 2281	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( n e. S |-> ( G gsumg ( j e. { x e. D | x oR <_ n } |-> Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. S |-> ( G gsumg ( k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   [_csb 3147   C_ wss 3220   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   _I cid 4435   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   |` cres 4778   "cima 4779   o. ccom 4780   -->wf 5376   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   oFcof 6303   oRcofr 6304   ^m cmap 6926   Fincfn 7026   CCcc 8183   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   Basecbs 13410   0gc0g 13669  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  psrass1fi  15201