ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gsump1 Unicode version
Theorem gsump1 14134
Description: Splitting off one element from a finite group sum. This would typically used in a proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Apr-2026.)
Hypotheses
Ref Expression
gsump1.b |- B = ( Base ` G )
gsump1.p |- .+ = ( +g ` G )
gsump1.g |- ( ph -> G e. CMnd )
gsump1.f |- ( ph -> F : ( Y u. { Z } ) --> B )
gsump1.fi |- ( ph -> Y e. Fin )
gsump1.zv |- ( ph -> Z e. V )
gsump1.z |- ( ph -> -. Z e. Y )
Assertion
Ref Expression
gsump1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( ( G gsumg ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
Proof of Theorem gsump1
Dummy variable h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsump1.fi . . 3 |- ( ph -> Y e. Fin )
2 fzf1o 12120 . . 3 |- ( Y e. Fin -> E. h h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y )
31, 2syl 14 . 2 |- ( ph -> E. h h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y )
4 gsump1.b . . . . 5 |- B = ( Base ` G )
5 gsump1.g . . . . . 6 |- ( ph -> G e. CMnd )
65adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> G e. CMnd )
7 gsump1.f . . . . . 6 |- ( ph -> F : ( Y u. { Z } ) --> B )
87adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> F : ( Y u. { Z } ) --> B )
9 gsump1.zv . . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. V )
10 gsump1.z . . . . . . 7 |- ( ph -> -. Z e. Y )
11 unsnfi 7216 . . . . . . 7 |- ( ( Y e. Fin /\ Z e. V /\ -. Z e. Y ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
121, 9, 10, 11syl3anc 1278 . . . . . 6 |- ( ph -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
1312adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
14 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y )
15 hashcl 11198 . . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Fin -> (♯ ` Y ) e. NN0 )
161, 15syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` Y ) e. NN0 )
17 peano2nn0 9582 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` Y ) e. NN0 -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 )
19 f1osng 5677 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 /\ Z e. V ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } )
2018, 9, 19syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } )
2120adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } )
22 fzp1disj 10465 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/)
2322a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) )
24 disjsn 3767 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. Y )
2510, 24sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y i^i { Z } ) = (/) )
2625adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( Y i^i { Z } ) = (/) )
27 f1oun 5654 . . . . . . 7 |- ( ( ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y /\ { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } : { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -1-1-onto-> { Z } ) /\ ( ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) /\ ( Y i^i { Z } ) = (/) ) ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
2814, 21, 23, 26, 27syl22anc 1279 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
291, 10jca 306 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y e. Fin /\ -. Z e. Y ) )
30 hashunsng 11226 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. V -> ( ( Y e. Fin /\ -. Z e. Y ) -> (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) = ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
319, 29, 30sylc 62 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) = ( (♯ ` Y ) + 1 ) )
3231oveq2d 6091 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) = ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
33 1z 9649 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
34 nn0uz 9936 . . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
35 1m1e0 9352 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - 1 ) = 0
3635fveq2i 5693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) = ( ZZ>= ` 0 )
3734, 36eqtr4i 2262 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) )
3816, 37eleqtrdi 2331 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (♯ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
39 fzsuc2 10464 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4033, 38, 39sylancr 418 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4132, 40eqtrd 2271 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4241adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
4342f1oeq2d 5630 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) <-> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) ) )
4428, 43mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... (♯ ` ( Y u. { Z } ) ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
454, 6, 8, 13, 44gsumvalfi 14129 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gsumg F ) = ( G gzsumgz ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ) )
46 gsump1.p . . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
475cmnmndd 14088 . . . . . 6 |- ( ph -> G e. Mnd )
4847adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> G e. Mnd )
49 1zzd 9650 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> 1 e. ZZ )
5038adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> (♯ ` Y ) e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
5140adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
5251f1oeq2d 5630 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) <-> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) u. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) ) )
5328, 52mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) )
54 f1of 5634 . . . . . . 7 |- ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) -1-1-onto-> ( Y u. { Z } ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) )
5553, 54syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) )
568, 55fcod 5548 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> B )
574, 46, 48, 49, 50, 56gzsumsplit0 14125 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gzsumgz ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ) = ( ( G gzsumgz ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) .+ ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
5845, 57eqtrd 2271 . . 3 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gsumg F ) = ( ( G gzsumgz ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) .+ ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
59 resco 5287 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
60 resundir 5072 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
6122ineqcomi 3423 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/)
62 fnsng 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 /\ Z e. V ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
6318, 9, 62syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
64 fnresdisj 5488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } -> ( ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) <-> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) ) )
6563, 64syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } i^i ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) <-> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) ) )
6661, 65mpbii 148 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = (/) )
6766uneq2d 3383 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. (/) ) )
68 un0 3556 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. (/) ) = ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) )
6967, 68eqtrdi 2287 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) u. ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
7060, 69eqtrid 2283 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) )
7170coeq2d 4937 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F o. ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) )
7259, 71eqtrid 2283 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) )
7372adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) )
74 f1ofn 5635 . . . . . . . . . . 11 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y -> h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) )
75 fnresdm 5487 . . . . . . . . . . 11 |- ( h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -> ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = h )
7674, 75syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y -> ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = h )
7776adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = h )
7877coeq2d 4937 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F o. ( h |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( F o. h ) )
7973, 78eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( F o. h ) )
80 f1of 5634 . . . . . . . . . 10 |- ( h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y -> h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) --> Y )
8180adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) --> Y )
8281frnd 5538 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ran h C_ Y )
83 cores 5286 . . . . . . . 8 |- ( ran h C_ Y -> ( ( F |` Y ) o. h ) = ( F o. h ) )
8482, 83syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F |` Y ) o. h ) = ( F o. h ) )
8579, 84eqtr4d 2274 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) = ( ( F |` Y ) o. h ) )
8685oveq2d 6091 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gzsumgz ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( G gzsumgz ( ( F |` Y ) o. h ) ) )
87 ssun1 3392 . . . . . . . . 9 |- Y C_ ( Y u. { Z } )
8887a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ ( Y u. { Z } ) )
897, 88fssresd 5561 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` Y ) : Y --> B )
9089adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F |` Y ) : Y --> B )
911adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> Y e. Fin )
924, 6, 90, 91, 14gsumvalfi 14129 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gsumg ( F |` Y ) ) = ( G gzsumgz ( ( F |` Y ) o. h ) ) )
9386, 92eqtr4d 2274 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gzsumgz ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` Y ) ) )
94 nn0p1nn 9581 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` Y ) e. NN0 -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN )
9516, 94syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN )
96 nnuz 9937 . . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9795, 96eleqtrdi 2331 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
98 eluzfz2 10415 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
9997, 98syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
10099adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
101 fvco3 5770 . . . . . 6 |- ( ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) : ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) --> ( Y u. { Z } ) /\ ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. ( 1 ... ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( F ` ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
10255, 100, 101syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( F ` ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) )
10374adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) )
10463adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
10518adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 )
106 snidg 3734 . . . . . . . . . 10 |- ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } )
10823, 107jca 306 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) /\ ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) )
109 fvun2 5764 . . . . . . . 8 |- ( ( h Fn ( 1 ... (♯ ` Y ) ) /\ { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } Fn { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } /\ ( ( ( 1 ... (♯ ` Y ) ) i^i { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) = (/) /\ ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. { ( (♯ ` Y ) + 1 ) } ) ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
110103, 104, 108, 109syl3anc 1278 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) )
1119adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> Z e. V )
112 fvsng 5902 . . . . . . . 8 |- ( ( ( (♯ ` Y ) + 1 ) e. NN0 /\ Z e. V ) -> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = Z )
113105, 111, 112syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = Z )
114110, 113eqtrd 2271 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = Z )
115114fveq2d 5694 . . . . 5 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( F ` ( ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) = ( F ` Z ) )
116102, 115eqtrd 2271 . . . 4 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) = ( F ` Z ) )
11793, 116oveq12d 6093 . . 3 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( ( G gzsumgz ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) |` ( 1 ... (♯ ` Y ) ) ) ) .+ ( ( F o. ( h u. { <. ( (♯ ` Y ) + 1 ) , Z >. } ) ) ` ( (♯ ` Y ) + 1 ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
11858, 117eqtrd 2271 . 2 |- ( ( ph /\ h : ( 1 ... (♯ ` Y ) ) -1-1-onto-> Y ) -> ( G gsumg F ) = ( ( G gsumg ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
1193, 118exlimddv 1954 1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( ( G gsumg ( F |` Y ) ) .+ ( F ` Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   <.cop 3708   ran crn 4770   |` cres 4771   o. ccom 4773   Fn wfn 5367   -->wf 5368   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   - cmin 8487   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390  ♯chash 11192   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   gzsumgz cgzsu 13588   Mndcmnd 13706  CMndccmn 14064   gsumg cgsu 14127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-minusg 13786  df-mulg 13900  df-cmn 14066  df-gsumfi 14128
This theorem is referenced by:  gsumzfi  14135  gsumclfi  14136  gsummptfidmadd  14138  gsumsubmclfi  14140  gsumconstcmn  14143  gsumfsum  14895
  Copyright terms: Public domain W3C validator