Theorem gzsumshift 14126

Description: Shifting the indexes of a group sum indexed by consecutive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumshift.b	|- B = ( Base ` G )
gzsumshift.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gzsumshift.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gzsumshift.f	|- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
gzsumshift.s	|- S = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gzsumshift	|- ( ph -> ( G gzsumgz F ) = ( G gzsumgz ( F o. S ) ) )

Distinct variable groups:   j, M   j, N   ph, j

Allowed substitution hints:   B( j)   S( j)   F( j)   G( j)

Proof of Theorem gzsumshift

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumshift.m	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		1zzd 9650	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		eluzel2 9905	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
5	2, 4	zsubcld 9752	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. ZZ )
6		eluzelz 9910	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
7	1, 6	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
8	5, 4, 7	mptfzshft 12187	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
9		gzsumshift.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
10	4	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. CC )
11		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. CC )
12	10, 11	pncan3d 8630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M + ( 1 - M ) ) = 1 )
13	12	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
14	13	mpteq1d 4211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
15	9, 14	eqtr4id 2290	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
16	13	eqcomd 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
17		eqidd 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( M ... N ) )
18	15, 16, 17	f1oeq123d 5628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) : ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
19	8, 18	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
20		f1of 5634	. . . . . . . 8 |- ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
22	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) )
23		1zzd 9650	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
24	7, 5	zaddcld 9751	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
26		elfzelz 10407	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ )
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
28	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. ZZ )
29	27, 28	zaddcld 9751	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ZZ )
30	4	zred 9747	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. RR )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
32	27	zred 9747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. RR )
33		1red 8331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 e. RR )
34		elfzle1 10410	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... N ) -> M <_ k )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M <_ k )
36	31, 32, 33, 35	lesub2dd 8880	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - k ) <_ ( 1 - M ) )
37	33, 31	resubcld 8698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. RR )
38	33, 32, 37	lesubadd2d 8862	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( 1 - k ) <_ ( 1 - M ) <-> 1 <_ ( k + ( 1 - M ) ) ) )
39	36, 38	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 1 <_ ( k + ( 1 - M ) ) )
40	7	zred 9747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. RR )
42		elfzle2 10411	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... N ) -> k <_ N )
43	42	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k <_ N )
44	32, 41, 37, 43	leadd1dd 8877	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) <_ ( N + ( 1 - M ) ) )
45	23, 25, 29, 39, 44	elfzd 10398	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
46		fvco3 5770	. . . . . 6 |- ( ( S : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> ( M ... N ) /\ ( k + ( 1 - M ) ) e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) )
47	22, 45, 46	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) )
48	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> S = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) )
49	48	fveq1d 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
50		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) = ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) )
51		oveq1 6082	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k + ( 1 - M ) ) -> ( j - ( 1 - M ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
52		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
53	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
54	7	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> N e. ZZ )
55		fzaddel 10443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ ( 1 - M ) e. ZZ ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) )
56	53, 54, 27, 28, 55	syl22anc 1279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) ) )
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k + ( 1 - M ) ) e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) )
58	29, 28	zsubcld 9752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) e. ZZ )
59	50, 51, 57, 58	fvmptd3 5793	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( j e. ( ( M + ( 1 - M ) ) ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
60	49, 59	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) )
61	26	zcnd 9748	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. CC )
62	61	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. CC )
63	11, 10	subcld 8627	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. CC )
64	63	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( 1 - M ) e. CC )
65	62, 64	pncand 8628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( k + ( 1 - M ) ) - ( 1 - M ) ) = k )
66	60, 65	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) = k )
67	66	fveq2d 5694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( S ` ( k + ( 1 - M ) ) ) ) = ( F ` k ) )
68	47, 67	eqtr2d 2272	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( ( F o. S ) ` ( k + ( 1 - M ) ) ) )
69		gzsumshift.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. CMnd )
70		plusgslid 13443	. . . . . 6 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
71	70	slotex 13357	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( +g ` G ) e. _V )
72	69, 71	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( +g ` G ) e. _V )
73		gzsumshift.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
74	4, 7	fzfigd 10846	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
75	73, 74	fexd 5938	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
76	2, 24	fzfigd 10846	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin )
77		mptexg 5933	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin -> ( j e. ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) |-> ( j - ( 1 - M ) ) ) e. _V )
78	9, 77	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) e. Fin -> S e. _V )
79	76, 78	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
80		coexg 5327	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ S e. _V ) -> ( F o. S ) e. _V )
81	75, 79, 80	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. S ) e. _V )
82	1, 5, 68, 72, 75, 81	seqshft2g 10897	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) = ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
83	12	seqeq1d 10868	. . . 4 |- ( ph -> seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) )
84	83	fveq1d 5692	. . 3 |- ( ph -> ( seq ( M + ( 1 - M ) ) ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
85	82, 84	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
86		gzsumshift.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
87		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
88	86, 87, 69, 1, 73	gzsumval2 13691	. 2 |- ( ph -> ( G gzsumgz F ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) )
89		1red 8331	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
90		eluzle 9913	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
91	1, 90	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ N )
92	30, 40, 89, 91	lesub2dd 8880	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - N ) <_ ( 1 - M ) )
93	89, 30	resubcld 8698	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - M ) e. RR )
94	89, 40, 93	lesubadd2d 8862	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - N ) <_ ( 1 - M ) <-> 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) ) )
95	92, 94	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) )
96		eluz2 9906	. . . 4 |- ( ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ ( N + ( 1 - M ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( N + ( 1 - M ) ) ) )
97	2, 24, 95, 96	syl3anbrc 1212	. . 3 |- ( ph -> ( N + ( 1 - M ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
98	73, 21	fcod 5548	. . 3 |- ( ph -> ( F o. S ) : ( 1 ... ( N + ( 1 - M ) ) ) --> B )
99	86, 87, 69, 97, 98	gzsumval2 13691	. 2 |- ( ph -> ( G gzsumgz ( F o. S ) ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( F o. S ) ) ` ( N + ( 1 - M ) ) ) )
100	85, 88, 99	3eqtr4d 2281	1 |- ( ph -> ( G gzsumgz F ) = ( G gzsumgz ( F o. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   o. ccom 4773   -->wf 5368   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   CCcc 8167   RRcr 8168   1c1 8170   + caddc 8172   <_ cle 8351   - cmin 8487   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   seqcseq 10862   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   gzsum_gz cgzsu 13588  CMndccmn 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590

This theorem is referenced by:  gzsumgsum  14132