Theorem funtp 5307

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
funtp.1	|- A e. _V
funtp.2	|- B e. _V
funtp.3	|- C e. _V
funtp.4	|- D e. _V
funtp.5	|- E e. _V
funtp.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
funtp	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )

Proof of Theorem funtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtp.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		funtp.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3		funtp.4	. . . . . 6 |- D e. _V
4		funtp.5	. . . . . 6 |- E e. _V
5	1, 2, 3, 4	funpr 5306	. . . . 5 |- ( A =/= B -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } )
6		funtp.3	. . . . . 6 |- C e. _V
7		funtp.6	. . . . . 6 |- F e. _V
8	6, 7	funsn 5302	. . . . 5 |- Fun { <. C , F >. }
9	5, 8	jctir 313	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } /\ Fun { <. C , F >. } ) )
10	3, 4	dmprop 5140	. . . . . . 7 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. } = { A , B }
11		df-pr 3625	. . . . . . 7 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
12	10, 11	eqtri 2214	. . . . . 6 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. } = ( { A } u. { B } )
13	7	dmsnop 5139	. . . . . 6 |- dom { <. C , F >. } = { C }
14	12, 13	ineq12i 3358	. . . . 5 |- ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } )
15		disjsn2 3681	. . . . . . 7 |- ( A =/= C -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
16		disjsn2 3681	. . . . . . 7 |- ( B =/= C -> ( { B } i^i { C } ) = (/) )
17	15, 16	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { C } ) = (/) ) )
18		undisj1 3504	. . . . . 6 |- ( ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { C } ) = (/) ) <-> ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } ) = (/) )
19	17, 18	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } ) = (/) )
20	14, 19	eqtrid 2238	. . . 4 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = (/) )
21		funun 5298	. . . 4 |- ( ( ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } /\ Fun { <. C , F >. } ) /\ ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
22	9, 20, 21	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A =/= B /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
23	22	3impb 1201	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
24		df-tp 3626	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } )
25	24	funeqi 5275	. 2 |- ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } <-> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
26	23, 25	sylibr 134	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   _Vcvv 2760   u. cun 3151   i^i cin 3152   (/)c0 3446   {csn 3618   {cpr 3619   {ctp 3620   <.cop 3621   dom cdm 4659   Fun wfun 5248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-fun 5256

This theorem is referenced by:  fntp  5311