Theorem funtp 5235

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
funtp.1	|- A e. _V
funtp.2	|- B e. _V
funtp.3	|- C e. _V
funtp.4	|- D e. _V
funtp.5	|- E e. _V
funtp.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
funtp	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )

Proof of Theorem funtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtp.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		funtp.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3		funtp.4	. . . . . 6 |- D e. _V
4		funtp.5	. . . . . 6 |- E e. _V
5	1, 2, 3, 4	funpr 5234	. . . . 5 |- ( A =/= B -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } )
6		funtp.3	. . . . . 6 |- C e. _V
7		funtp.6	. . . . . 6 |- F e. _V
8	6, 7	funsn 5230	. . . . 5 |- Fun { <. C , F >. }
9	5, 8	jctir 311	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } /\ Fun { <. C , F >. } ) )
10	3, 4	dmprop 5072	. . . . . . 7 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. } = { A , B }
11		df-pr 3577	. . . . . . 7 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
12	10, 11	eqtri 2185	. . . . . 6 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. } = ( { A } u. { B } )
13	7	dmsnop 5071	. . . . . 6 |- dom { <. C , F >. } = { C }
14	12, 13	ineq12i 3316	. . . . 5 |- ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } )
15		disjsn2 3633	. . . . . . 7 |- ( A =/= C -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
16		disjsn2 3633	. . . . . . 7 |- ( B =/= C -> ( { B } i^i { C } ) = (/) )
17	15, 16	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { C } ) = (/) ) )
18		undisj1 3461	. . . . . 6 |- ( ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { C } ) = (/) ) <-> ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } ) = (/) )
19	17, 18	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } ) = (/) )
20	14, 19	syl5eq 2209	. . . 4 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = (/) )
21		funun 5226	. . . 4 |- ( ( ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } /\ Fun { <. C , F >. } ) /\ ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
22	9, 20, 21	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A =/= B /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
23	22	3impb 1188	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
24		df-tp 3578	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } )
25	24	funeqi 5203	. 2 |- ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } <-> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
26	23, 25	sylibr 133	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   =/= wne 2334   _Vcvv 2721   u. cun 3109   i^i cin 3110   (/)c0 3404   {csn 3570   {cpr 3571   {ctp 3572   <.cop 3573   dom cdm 4598   Fun wfun 5176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-tp 3578  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-fun 5184

This theorem is referenced by:  fntp  5239