Theorem funtp 5251

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
funtp.1	|- A e. _V
funtp.2	|- B e. _V
funtp.3	|- C e. _V
funtp.4	|- D e. _V
funtp.5	|- E e. _V
funtp.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
funtp	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )

Proof of Theorem funtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtp.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		funtp.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3		funtp.4	. . . . . 6 |- D e. _V
4		funtp.5	. . . . . 6 |- E e. _V
5	1, 2, 3, 4	funpr 5250	. . . . 5 |- ( A =/= B -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } )
6		funtp.3	. . . . . 6 |- C e. _V
7		funtp.6	. . . . . 6 |- F e. _V
8	6, 7	funsn 5246	. . . . 5 |- Fun { <. C , F >. }
9	5, 8	jctir 311	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } /\ Fun { <. C , F >. } ) )
10	3, 4	dmprop 5085	. . . . . . 7 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. } = { A , B }
11		df-pr 3590	. . . . . . 7 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
12	10, 11	eqtri 2191	. . . . . 6 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. } = ( { A } u. { B } )
13	7	dmsnop 5084	. . . . . 6 |- dom { <. C , F >. } = { C }
14	12, 13	ineq12i 3326	. . . . 5 |- ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } )
15		disjsn2 3646	. . . . . . 7 |- ( A =/= C -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
16		disjsn2 3646	. . . . . . 7 |- ( B =/= C -> ( { B } i^i { C } ) = (/) )
17	15, 16	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { C } ) = (/) ) )
18		undisj1 3472	. . . . . 6 |- ( ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { C } ) = (/) ) <-> ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } ) = (/) )
19	17, 18	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } ) = (/) )
20	14, 19	eqtrid 2215	. . . 4 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = (/) )
21		funun 5242	. . . 4 |- ( ( ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } /\ Fun { <. C , F >. } ) /\ ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
22	9, 20, 21	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A =/= B /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
23	22	3impb 1194	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
24		df-tp 3591	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } )
25	24	funeqi 5219	. 2 |- ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } <-> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
26	23, 25	sylibr 133	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   _Vcvv 2730   u. cun 3119   i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584   {ctp 3585   <.cop 3586   dom cdm 4611   Fun wfun 5192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-tp 3591  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-fun 5200

This theorem is referenced by:  fntp  5255