ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fntpg Unicode version

Theorem fntpg 5179
Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fntpg  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }
)

Proof of Theorem fntpg
StepHypRef Expression
1 funtpg 5174 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } )
2 dmsnopg 5010 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  F  ->  dom  {
<. X ,  A >. }  =  { X }
)
323ad2ant1 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. X ,  A >. }  =  { X } )
4 dmsnopg 5010 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  G  ->  dom  {
<. Y ,  B >. }  =  { Y }
)
543ad2ant2 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y } )
63, 5jca 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  ( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  {
<. Y ,  B >. }  =  { Y }
) )
763ad2ant2 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y }
) )
8 uneq12 3225 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y }
)  ->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  ( { X }  u.  { Y } ) )
97, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  {
<. Y ,  B >. } )  =  ( { X }  u.  { Y } ) )
10 df-pr 3534 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
119, 10syl6eqr 2190 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  {
<. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
12 df-pr 3534 . . . . . . . 8  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )
1312dmeqi 4740 . . . . . . 7  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  =  dom  ( {
<. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )
1413eqeq1i 2147 . . . . . 6  |-  ( dom 
{ <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y }  <->  dom  ( {
<. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
15 dmun 4746 . . . . . . 7  |-  dom  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  ( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )
1615eqeq1i 2147 . . . . . 6  |-  ( dom  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y }  <->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
1714, 16bitri 183 . . . . 5  |-  ( dom 
{ <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y }  <->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
1811, 17sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y } )
19 dmsnopg 5010 . . . . . 6  |-  ( C  e.  H  ->  dom  {
<. Z ,  C >. }  =  { Z }
)
20193ad2ant3 1004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. Z ,  C >. }  =  { Z } )
21203ad2ant2 1003 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. Z ,  C >. }  =  { Z } )
2218, 21uneq12d 3231 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  dom  {
<. Z ,  C >. } )  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
23 df-tp 3535 . . . . 5  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
2423dmeqi 4740 . . . 4  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  dom  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
25 dmun 4746 . . . 4  |-  dom  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )  =  ( dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. } )
2624, 25eqtri 2160 . . 3  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  ( dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. } )
27 df-tp 3535 . . 3  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
2822, 26, 273eqtr4g 2197 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  { X ,  Y ,  Z }
)
29 df-fn 5126 . 2  |-  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }  <->  ( Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  /\  dom  {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  { X ,  Y ,  Z }
) )
301, 28, 29sylanbrc 413 1  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308    u. cun 3069   {csn 3527   {cpr 3528   {ctp 3529   <.cop 3530   dom cdm 4539   Fun wfun 5117    Fn wfn 5118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-fun 5125  df-fn 5126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator