ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fntpg Unicode version

Theorem fntpg 5083
Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fntpg  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }
)

Proof of Theorem fntpg
StepHypRef Expression
1 funtpg 5078 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } )
2 dmsnopg 4915 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  F  ->  dom  {
<. X ,  A >. }  =  { X }
)
323ad2ant1 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. X ,  A >. }  =  { X } )
4 dmsnopg 4915 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  G  ->  dom  {
<. Y ,  B >. }  =  { Y }
)
543ad2ant2 966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y } )
63, 5jca 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  ( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  {
<. Y ,  B >. }  =  { Y }
) )
763ad2ant2 966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y }
) )
8 uneq12 3150 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y }
)  ->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  ( { X }  u.  { Y } ) )
97, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  {
<. Y ,  B >. } )  =  ( { X }  u.  { Y } ) )
10 df-pr 3457 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
119, 10syl6eqr 2139 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  {
<. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
12 df-pr 3457 . . . . . . . 8  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )
1312dmeqi 4650 . . . . . . 7  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  =  dom  ( {
<. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )
1413eqeq1i 2096 . . . . . 6  |-  ( dom 
{ <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y }  <->  dom  ( {
<. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
15 dmun 4656 . . . . . . 7  |-  dom  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  ( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )
1615eqeq1i 2096 . . . . . 6  |-  ( dom  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y }  <->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
1714, 16bitri 183 . . . . 5  |-  ( dom 
{ <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y }  <->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
1811, 17sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y } )
19 dmsnopg 4915 . . . . . 6  |-  ( C  e.  H  ->  dom  {
<. Z ,  C >. }  =  { Z }
)
20193ad2ant3 967 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. Z ,  C >. }  =  { Z } )
21203ad2ant2 966 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. Z ,  C >. }  =  { Z } )
2218, 21uneq12d 3156 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  dom  {
<. Z ,  C >. } )  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
23 df-tp 3458 . . . . 5  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
2423dmeqi 4650 . . . 4  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  dom  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
25 dmun 4656 . . . 4  |-  dom  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )  =  ( dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. } )
2624, 25eqtri 2109 . . 3  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  ( dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. } )
27 df-tp 3458 . . 3  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
2822, 26, 273eqtr4g 2146 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  { X ,  Y ,  Z }
)
29 df-fn 5031 . 2  |-  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }  <->  ( Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  /\  dom  {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  { X ,  Y ,  Z }
) )
301, 28, 29sylanbrc 409 1  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439    =/= wne 2256    u. cun 2998   {csn 3450   {cpr 3451   {ctp 3452   <.cop 3453   dom cdm 4452   Fun wfun 5022    Fn wfn 5023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-tp 3458  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-fun 5030  df-fn 5031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator