ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fntpg Unicode version

Theorem fntpg 5056
Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fntpg  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }
)

Proof of Theorem fntpg
StepHypRef Expression
1 funtpg 5051 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } )
2 dmsnopg 4889 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  F  ->  dom  {
<. X ,  A >. }  =  { X }
)
323ad2ant1 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. X ,  A >. }  =  { X } )
4 dmsnopg 4889 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  G  ->  dom  {
<. Y ,  B >. }  =  { Y }
)
543ad2ant2 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y } )
63, 5jca 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  ( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  {
<. Y ,  B >. }  =  { Y }
) )
763ad2ant2 965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y }
) )
8 uneq12 3147 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  { <. X ,  A >. }  =  { X }  /\  dom  { <. Y ,  B >. }  =  { Y }
)  ->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  ( { X }  u.  { Y } ) )
97, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  {
<. Y ,  B >. } )  =  ( { X }  u.  { Y } ) )
10 df-pr 3448 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
119, 10syl6eqr 2138 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  {
<. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
12 df-pr 3448 . . . . . . . 8  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )
1312dmeqi 4625 . . . . . . 7  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  =  dom  ( {
<. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )
1413eqeq1i 2095 . . . . . 6  |-  ( dom 
{ <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y }  <->  dom  ( {
<. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
15 dmun 4631 . . . . . . 7  |-  dom  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  ( dom  { <. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )
1615eqeq1i 2095 . . . . . 6  |-  ( dom  ( { <. X ,  A >. }  u.  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y }  <->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
1714, 16bitri 182 . . . . 5  |-  ( dom 
{ <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y }  <->  ( dom  {
<. X ,  A >. }  u.  dom  { <. Y ,  B >. } )  =  { X ,  Y } )
1811, 17sylibr 132 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y } )
19 dmsnopg 4889 . . . . . 6  |-  ( C  e.  H  ->  dom  {
<. Z ,  C >. }  =  { Z }
)
20193ad2ant3 966 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  dom  { <. Z ,  C >. }  =  { Z } )
21203ad2ant2 965 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. Z ,  C >. }  =  { Z } )
2218, 21uneq12d 3153 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  dom  {
<. Z ,  C >. } )  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
23 df-tp 3449 . . . . 5  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
2423dmeqi 4625 . . . 4  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  dom  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
25 dmun 4631 . . . 4  |-  dom  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )  =  ( dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. } )
2624, 25eqtri 2108 . . 3  |-  dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  ( dom  { <. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. }  u.  dom  { <. Z ,  C >. } )
27 df-tp 3449 . . 3  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
2822, 26, 273eqtr4g 2145 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  { X ,  Y ,  Z }
)
29 df-fn 5005 . 2  |-  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }  <->  ( Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  /\  dom  {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. }  =  { X ,  Y ,  Z }
) )
301, 28, 29sylanbrc 408 1  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  Fn  { X ,  Y ,  Z }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255    u. cun 2995   {csn 3441   {cpr 3442   {ctp 3443   <.cop 3444   dom cdm 4428   Fun wfun 4996    Fn wfn 4997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-tp 3449  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-fun 5004  df-fn 5005
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator