Theorem fntpg 5244

Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fntpg	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } )

Proof of Theorem fntpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtpg 5239	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } )
2		dmsnopg 5075	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. F -> dom { <. X , A >. } = { X } )
3	2	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. X , A >. } = { X } )
4		dmsnopg 5075	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. G -> dom { <. Y , B >. } = { Y } )
5	4	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. Y , B >. } = { Y } )
6	3, 5	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) )
7	6	3ad2ant2 1009	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) )
8		uneq12 3271	. . . . . . 7 |- ( ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = ( { X } u. { Y } ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = ( { X } u. { Y } ) )
10		df-pr 3583	. . . . . 6 |- { X , Y } = ( { X } u. { Y } )
11	9, 10	eqtr4di 2217	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
12		df-pr 3583	. . . . . . . 8 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. } = ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } )
13	12	dmeqi 4805	. . . . . . 7 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } )
14	13	eqeq1i 2173	. . . . . 6 |- ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } <-> dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
15		dmun 4811	. . . . . . 7 |- dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } )
16	15	eqeq1i 2173	. . . . . 6 |- ( dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = { X , Y } <-> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
17	14, 16	bitri 183	. . . . 5 |- ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } <-> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
18	11, 17	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } )
19		dmsnopg 5075	. . . . . 6 |- ( C e. H -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
20	19	3ad2ant3 1010	. . . . 5 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
21	20	3ad2ant2 1009	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
22	18, 21	uneq12d 3277	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } ) = ( { X , Y } u. { Z } ) )
23		df-tp 3584	. . . . 5 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
24	23	dmeqi 4805	. . . 4 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = dom ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
25		dmun 4811	. . . 4 |- dom ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) = ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } )
26	24, 25	eqtri 2186	. . 3 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } )
27		df-tp 3584	. . 3 |- { X , Y , Z } = ( { X , Y } u. { Z } )
28	22, 26, 27	3eqtr4g 2224	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = { X , Y , Z } )
29		df-fn 5191	. 2 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } <-> ( Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } /\ dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = { X , Y , Z } ) )
30	1, 28, 29	sylanbrc 414	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   u. cun 3114   {csn 3576   {cpr 3577   {ctp 3578   <.cop 3579   dom cdm 4604   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-tp 3584  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-fun 5190  df-fn 5191

This theorem is referenced by: (None)