Theorem fntpg 5291

Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fntpg	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } )

Proof of Theorem fntpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtpg 5286	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } )
2		dmsnopg 5118	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. F -> dom { <. X , A >. } = { X } )
3	2	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. X , A >. } = { X } )
4		dmsnopg 5118	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. G -> dom { <. Y , B >. } = { Y } )
5	4	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. Y , B >. } = { Y } )
6	3, 5	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) )
7	6	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) )
8		uneq12 3299	. . . . . . 7 |- ( ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = ( { X } u. { Y } ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = ( { X } u. { Y } ) )
10		df-pr 3614	. . . . . 6 |- { X , Y } = ( { X } u. { Y } )
11	9, 10	eqtr4di 2240	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
12		df-pr 3614	. . . . . . . 8 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. } = ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } )
13	12	dmeqi 4846	. . . . . . 7 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } )
14	13	eqeq1i 2197	. . . . . 6 |- ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } <-> dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
15		dmun 4852	. . . . . . 7 |- dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } )
16	15	eqeq1i 2197	. . . . . 6 |- ( dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = { X , Y } <-> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
17	14, 16	bitri 184	. . . . 5 |- ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } <-> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
18	11, 17	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } )
19		dmsnopg 5118	. . . . . 6 |- ( C e. H -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
20	19	3ad2ant3 1022	. . . . 5 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
21	20	3ad2ant2 1021	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
22	18, 21	uneq12d 3305	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } ) = ( { X , Y } u. { Z } ) )
23		df-tp 3615	. . . . 5 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
24	23	dmeqi 4846	. . . 4 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = dom ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
25		dmun 4852	. . . 4 |- dom ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) = ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } )
26	24, 25	eqtri 2210	. . 3 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } )
27		df-tp 3615	. . 3 |- { X , Y , Z } = ( { X , Y } u. { Z } )
28	22, 26, 27	3eqtr4g 2247	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = { X , Y , Z } )
29		df-fn 5238	. 2 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } <-> ( Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } /\ dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = { X , Y , Z } ) )
30	1, 28, 29	sylanbrc 417	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   u. cun 3142   {csn 3607   {cpr 3608   {ctp 3609   <.cop 3610   dom cdm 4644   Fun wfun 5229   Fn wfn 5230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-fun 5237  df-fn 5238

This theorem is referenced by: (None)