Theorem fntpg 5310

Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fntpg	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } )

Proof of Theorem fntpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtpg 5305	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } )
2		dmsnopg 5137	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. F -> dom { <. X , A >. } = { X } )
3	2	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. X , A >. } = { X } )
4		dmsnopg 5137	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. G -> dom { <. Y , B >. } = { Y } )
5	4	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. Y , B >. } = { Y } )
6	3, 5	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) )
7	6	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) )
8		uneq12 3308	. . . . . . 7 |- ( ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = ( { X } u. { Y } ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = ( { X } u. { Y } ) )
10		df-pr 3625	. . . . . 6 |- { X , Y } = ( { X } u. { Y } )
11	9, 10	eqtr4di 2244	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
12		df-pr 3625	. . . . . . . 8 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. } = ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } )
13	12	dmeqi 4863	. . . . . . 7 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } )
14	13	eqeq1i 2201	. . . . . 6 |- ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } <-> dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
15		dmun 4869	. . . . . . 7 |- dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } )
16	15	eqeq1i 2201	. . . . . 6 |- ( dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = { X , Y } <-> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
17	14, 16	bitri 184	. . . . 5 |- ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } <-> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
18	11, 17	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } )
19		dmsnopg 5137	. . . . . 6 |- ( C e. H -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
20	19	3ad2ant3 1022	. . . . 5 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
21	20	3ad2ant2 1021	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
22	18, 21	uneq12d 3314	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } ) = ( { X , Y } u. { Z } ) )
23		df-tp 3626	. . . . 5 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
24	23	dmeqi 4863	. . . 4 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = dom ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
25		dmun 4869	. . . 4 |- dom ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) = ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } )
26	24, 25	eqtri 2214	. . 3 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } )
27		df-tp 3626	. . 3 |- { X , Y , Z } = ( { X , Y } u. { Z } )
28	22, 26, 27	3eqtr4g 2251	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = { X , Y , Z } )
29		df-fn 5257	. 2 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } <-> ( Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } /\ dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = { X , Y , Z } ) )
30	1, 28, 29	sylanbrc 417	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   u. cun 3151   {csn 3618   {cpr 3619   {ctp 3620   <.cop 3621   dom cdm 4659   Fun wfun 5248   Fn wfn 5249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-fun 5256  df-fn 5257

This theorem is referenced by: (None)