ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fntpg Unicode version
Theorem fntpg 5083
Description: Function with a domain of three different values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fntpg |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } )
Proof of Theorem fntpg
StepHypRef Expression
1 funtpg 5078 . 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } )
2 dmsnopg 4915 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. F -> dom { <. X , A >. } = { X } )
323ad2ant1 965 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. X , A >. } = { X } )
4 dmsnopg 4915 . . . . . . . . . 10 |- ( B e. G -> dom { <. Y , B >. } = { Y } )
543ad2ant2 966 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. Y , B >. } = { Y } )
63, 5jca 301 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) )
763ad2ant2 966 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) )
8 uneq12 3150 . . . . . . 7 |- ( ( dom { <. X , A >. } = { X } /\ dom { <. Y , B >. } = { Y } ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = ( { X } u. { Y } ) )
97, 8syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = ( { X } u. { Y } ) )
10 df-pr 3457 . . . . . 6 |- { X , Y } = ( { X } u. { Y } )
119, 10syl6eqr 2139 . . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
12 df-pr 3457 . . . . . . . 8 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. } = ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } )
1312dmeqi 4650 . . . . . . 7 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } )
1413eqeq1i 2096 . . . . . 6 |- ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } <-> dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
15 dmun 4656 . . . . . . 7 |- dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } )
1615eqeq1i 2096 . . . . . 6 |- ( dom ( { <. X , A >. } u. { <. Y , B >. } ) = { X , Y } <-> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
1714, 16bitri 183 . . . . 5 |- ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } <-> ( dom { <. X , A >. } u. dom { <. Y , B >. } ) = { X , Y } )
1811, 17sylibr 133 . . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } )
19 dmsnopg 4915 . . . . . 6 |- ( C e. H -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
20193ad2ant3 967 . . . . 5 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
21203ad2ant2 966 . . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
2218, 21uneq12d 3156 . . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } ) = ( { X , Y } u. { Z } ) )
23 df-tp 3458 . . . . 5 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
2423dmeqi 4650 . . . 4 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = dom ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
25 dmun 4656 . . . 4 |- dom ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) = ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } )
2624, 25eqtri 2109 . . 3 |- dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. dom { <. Z , C >. } )
27 df-tp 3458 . . 3 |- { X , Y , Z } = ( { X , Y } u. { Z } )
2822, 26, 273eqtr4g 2146 . 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = { X , Y , Z } )
29 df-fn 5031 . 2 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } <-> ( Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } /\ dom { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = { X , Y , Z } ) )
301, 28, 29sylanbrc 409 1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } Fn { X , Y , Z } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 925   = wceq 1290   e. wcel 1439   =/= wne 2256   u. cun 2998   {csn 3450   {cpr 3451   {ctp 3452   <.cop 3453   dom cdm 4452   Fun wfun 5022   Fn wfn 5023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-tp 3458  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-fun 5030  df-fn 5031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator