Theorem fococnv2 5609

Description: The composition of an onto function and its converse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fococnv2	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem fococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5560	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → Fun 𝐹)
2		funcocnv2 5608	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))
4		forn 5562	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
5	4	reseq2d 5013	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ( I ↾ ran 𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
6	3, 5	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   I cid 4385  ^◡ccnv 4724  ran crn 4726   ↾ cres 4727   ∘ ccom 4729  Fun wfun 5320  –onto→wfo 5324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332

This theorem is referenced by:  f1ococnv2  5610  foeqcnvco  5931