Theorem fococnv2 5393

Description: The composition of an onto function and its converse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fococnv2	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem fococnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5346	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → Fun 𝐹)
2		funcocnv2 5392	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ ran 𝐹))
4		forn 5348	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
5	4	reseq2d 4819	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ( I ↾ ran 𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
6	3, 5	eqtrd 2172	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   I cid 4210  ^◡ccnv 4538  ran crn 4540   ↾ cres 4541   ∘ ccom 4543  Fun wfun 5117  –onto→wfo 5121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fo 5129

This theorem is referenced by:  f1ococnv2  5394  foeqcnvco  5691