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Theorem foeqcnvco 5807
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
foeqcnvco  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )

Proof of Theorem foeqcnvco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fococnv2 5502 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
2 cnveq 4816 . . . . . 6  |-  ( F  =  G  ->  `' F  =  `' G
)
32coeq2d 4804 . . . . 5  |-  ( F  =  G  ->  ( F  o.  `' F
)  =  ( F  o.  `' G ) )
43eqeq1d 2198 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  (
( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )  <->  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) ) )
51, 4syl5ibcom 155 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( F  =  G  ->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )
65adantr 276 . 2  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  =  G  ->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B ) ) )
7 fofn 5455 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F  Fn  A )
87ad2antrr 488 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F  Fn  A )
9 fofn 5455 . . . . 5  |-  ( G : A -onto-> B  ->  G  Fn  A )
109ad2antlr 489 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  G  Fn  A )
119adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  G  Fn  A )
12 fnopfv 5662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( G `
 x ) >.  e.  G )
1311, 12sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  <. x ,  ( G `  x ) >.  e.  G
)
149anim1i 340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : A -onto-> B  /\  x  e.  A
)  ->  ( G  Fn  A  /\  x  e.  A ) )
1514adantll 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )
)
16 funfvex 5547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  G  /\  x  e.  dom  G )  -> 
( G `  x
)  e.  _V )
1716funfni 5331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  e.  _V )
18 vex 2755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
19 brcnvg 4823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( ( G `  x ) `' G x 
<->  x G ( G `
 x ) ) )
2017, 18, 19sylancl 413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) `' G x 
<->  x G ( G `
 x ) ) )
21 df-br 4019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x G ( G `  x )  <->  <. x ,  ( G `  x
) >.  e.  G )
2220, 21bitrdi 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) `' G x 
<-> 
<. x ,  ( G `
 x ) >.  e.  G ) )
2315, 22syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
) `' G x  <->  <. x ,  ( G `
 x ) >.  e.  G ) )
2413, 23mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x ) `' G x )
257adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  F  Fn  A )
26 fnopfv 5662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
2725, 26sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  <. x ,  ( F `  x ) >.  e.  F
)
28 df-br 4019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x F ( F `  x )  <->  <. x ,  ( F `  x
) >.  e.  F )
2927, 28sylibr 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x F ( F `  x ) )
30 breq2 4022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
( G `  x
) `' G y  <-> 
( G `  x
) `' G x ) )
31 breq1 4021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y F ( F `
 x )  <->  x F
( F `  x
) ) )
3230, 31anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) )  <->  ( ( G `  x ) `' G x  /\  x F ( F `  x ) ) ) )
3318, 32spcev 2847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  x
) `' G x  /\  x F ( F `  x ) )  ->  E. y
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) ) )
3424, 29, 33syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  E. y
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) ) )
3515, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
367anim1i 340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  x  e.  A
)  ->  ( F  Fn  A  /\  x  e.  A ) )
3736adantlr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )
)
38 funfvex 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  _V )
3938funfni 5331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  _V )
4037, 39syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  _V )
41 brcog 4809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  _V  /\  ( F `  x )  e.  _V )  -> 
( ( G `  x ) ( F  o.  `' G ) ( F `  x
)  <->  E. y ( ( G `  x ) `' G y  /\  y F ( F `  x ) ) ) )
4235, 40, 41syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
) ( F  o.  `' G ) ( F `
 x )  <->  E. y
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) ) ) )
4334, 42mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )
( F  o.  `' G ) ( F `
 x ) )
4443adantlr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
) ( F  o.  `' G ) ( F `
 x ) )
45 breq 4020 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  ->  (
( G `  x
) ( F  o.  `' G ) ( F `
 x )  <->  ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x ) ) )
4645ad2antlr 489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) ( F  o.  `' G ) ( F `  x
)  <->  ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x ) ) )
4744, 46mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
) (  _I  |`  B ) ( F `  x
) )
48 fof 5453 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : A -onto-> B  ->  G : A --> B )
4948adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  G : A
--> B )
5049ffvelcdmda 5667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  B )
51 fof 5453 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
5251adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  F : A
--> B )
5352ffvelcdmda 5667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  B )
54 resieq 4932 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  B  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x )  <->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
5550, 53, 54syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
) (  _I  |`  B ) ( F `  x
)  <->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
5655adantlr 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x )  <->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
5747, 56mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
5857eqcomd 2195 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )
598, 10, 58eqfnfvd 5632 . . 3  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F  =  G )
6059ex 115 . 2  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  ->  F  =  G ) )
616, 60impbid 129 1  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   <.cop 3610   class class class wbr 4018    _I cid 4303   `'ccnv 4640    |` cres 4643    o. ccom 4645    Fn wfn 5226   -->wf 5227   -onto->wfo 5229   ` cfv 5231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fo 5237  df-fv 5239
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