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Theorem foeqcnvco 5551
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
foeqcnvco  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )

Proof of Theorem foeqcnvco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fococnv2 5263 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
2 cnveq 4598 . . . . . 6  |-  ( F  =  G  ->  `' F  =  `' G
)
32coeq2d 4586 . . . . 5  |-  ( F  =  G  ->  ( F  o.  `' F
)  =  ( F  o.  `' G ) )
43eqeq1d 2096 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  (
( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )  <->  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) ) )
51, 4syl5ibcom 153 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( F  =  G  ->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )
65adantr 270 . 2  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  =  G  ->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B ) ) )
7 fofn 5219 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F  Fn  A )
87ad2antrr 472 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F  Fn  A )
9 fofn 5219 . . . . 5  |-  ( G : A -onto-> B  ->  G  Fn  A )
109ad2antlr 473 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  G  Fn  A )
119adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  G  Fn  A )
12 fnopfv 5413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( G `
 x ) >.  e.  G )
1311, 12sylan 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  <. x ,  ( G `  x ) >.  e.  G
)
149anim1i 333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : A -onto-> B  /\  x  e.  A
)  ->  ( G  Fn  A  /\  x  e.  A ) )
1514adantll 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )
)
16 funfvex 5306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  G  /\  x  e.  dom  G )  -> 
( G `  x
)  e.  _V )
1716funfni 5100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  e.  _V )
18 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
19 brcnvg 4605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( ( G `  x ) `' G x 
<->  x G ( G `
 x ) ) )
2017, 18, 19sylancl 404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) `' G x 
<->  x G ( G `
 x ) ) )
21 df-br 3838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x G ( G `  x )  <->  <. x ,  ( G `  x
) >.  e.  G )
2220, 21syl6bb 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) `' G x 
<-> 
<. x ,  ( G `
 x ) >.  e.  G ) )
2315, 22syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
) `' G x  <->  <. x ,  ( G `
 x ) >.  e.  G ) )
2413, 23mpbird 165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x ) `' G x )
257adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  F  Fn  A )
26 fnopfv 5413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
2725, 26sylan 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  <. x ,  ( F `  x ) >.  e.  F
)
28 df-br 3838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x F ( F `  x )  <->  <. x ,  ( F `  x
) >.  e.  F )
2927, 28sylibr 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x F ( F `  x ) )
30 breq2 3841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
( G `  x
) `' G y  <-> 
( G `  x
) `' G x ) )
31 breq1 3840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y F ( F `
 x )  <->  x F
( F `  x
) ) )
3230, 31anbi12d 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) )  <->  ( ( G `  x ) `' G x  /\  x F ( F `  x ) ) ) )
3318, 32spcev 2713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  x
) `' G x  /\  x F ( F `  x ) )  ->  E. y
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) ) )
3424, 29, 33syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  E. y
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) ) )
3515, 17syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
367anim1i 333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  x  e.  A
)  ->  ( F  Fn  A  /\  x  e.  A ) )
3736adantlr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )
)
38 funfvex 5306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  _V )
3938funfni 5100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  _V )
4037, 39syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  _V )
41 brcog 4591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  _V  /\  ( F `  x )  e.  _V )  -> 
( ( G `  x ) ( F  o.  `' G ) ( F `  x
)  <->  E. y ( ( G `  x ) `' G y  /\  y F ( F `  x ) ) ) )
4235, 40, 41syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
) ( F  o.  `' G ) ( F `
 x )  <->  E. y
( ( G `  x ) `' G
y  /\  y F
( F `  x
) ) ) )
4334, 42mpbird 165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )
( F  o.  `' G ) ( F `
 x ) )
4443adantlr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
) ( F  o.  `' G ) ( F `
 x ) )
45 breq 3839 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  ->  (
( G `  x
) ( F  o.  `' G ) ( F `
 x )  <->  ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x ) ) )
4645ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) ( F  o.  `' G ) ( F `  x
)  <->  ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x ) ) )
4744, 46mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
) (  _I  |`  B ) ( F `  x
) )
48 fof 5217 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : A -onto-> B  ->  G : A --> B )
4948adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  G : A
--> B )
5049ffvelrnda 5418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  B )
51 fof 5217 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
5251adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  F : A
--> B )
5352ffvelrnda 5418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  B )
54 resieq 4711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  B  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x )  <->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
5550, 53, 54syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
) (  _I  |`  B ) ( F `  x
)  <->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
5655adantlr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) (  _I  |`  B ) ( F `
 x )  <->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
5747, 56mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
5857eqcomd 2093 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )
598, 10, 58eqfnfvd 5384 . . 3  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B )  /\  ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F  =  G )
6059ex 113 . 2  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  ->  F  =  G ) )
616, 60impbid 127 1  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3444   class class class wbr 3837    _I cid 4106   `'ccnv 4427    |` cres 4430    o. ccom 4432    Fn wfn 4997   -->wf 4998   -onto->wfo 5000   ` cfv 5002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fo 5008  df-fv 5010
This theorem is referenced by: (None)
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