Theorem foeqcnvco 5804

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
foeqcnvco	|- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )

Proof of Theorem foeqcnvco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fococnv2 5499	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
2		cnveq 4813	. . . . . 6 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	coeq2d 4801	. . . . 5 |- ( F = G -> ( F o. `' F ) = ( F o. `' G ) )
4	3	eqeq1d 2196	. . . 4 |- ( F = G -> ( ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
5	1, 4	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( F = G -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
7		fofn 5452	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F Fn A )
8	7	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F Fn A )
9		fofn 5452	. . . . 5 |- ( G : A -onto-> B -> G Fn A )
10	9	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> G Fn A )
11	9	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> G Fn A )
12		fnopfv 5659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
13	11, 12	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
14	9	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
15	14	adantll 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
16		funfvex 5544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. _V )
17	16	funfni 5328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
18		vex 2752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
19		brcnvg 4820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` x ) e. _V /\ x e. _V ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> x G ( G ` x ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> x G ( G ` x ) ) )
21		df-br 4016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x G ( G ` x ) <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
22	20, 21	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G ) )
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G ) )
24	13, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) `' G x )
25	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> F Fn A )
26		fnopfv 5659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
27	25, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
28		df-br 4016	. . . . . . . . . . 11 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
29	27, 28	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
30		breq2 4019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( G ` x ) `' G y <-> ( G ` x ) `' G x ) )
31		breq1 4018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( y F ( F ` x ) <-> x F ( F ` x ) ) )
32	30, 31	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) <-> ( ( G ` x ) `' G x /\ x F ( F ` x ) ) ) )
33	18, 32	spcev 2844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` x ) `' G x /\ x F ( F ` x ) ) -> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) )
34	24, 29, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) )
35	15, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
36	7	anim1i 340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( F Fn A /\ x e. A ) )
37	36	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F Fn A /\ x e. A ) )
38		funfvex 5544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
39	38	funfni 5328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
41		brcog 4806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` x ) e. _V /\ ( F ` x ) e. _V ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) ) )
43	34, 42	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) )
44	43	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) )
45		breq 4017	. . . . . . . 8 |- ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) ) )
46	45	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) ) )
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) )
48		fof 5450	. . . . . . . . . 10 |- ( G : A -onto-> B -> G : A --> B )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> G : A --> B )
50	49	ffvelcdmda 5664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. B )
51		fof 5450	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> F : A --> B )
53	52	ffvelcdmda 5664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
54		resieq 4929	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` x ) e. B /\ ( F ` x ) e. B ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
55	50, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
56	55	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
57	47, 56	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
58	57	eqcomd 2193	. . . 4 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
59	8, 10, 58	eqfnfvd 5629	. . 3 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F = G )
60	59	ex 115	. 2 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) -> F = G ) )
61	6, 60	impbid 129	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   <.cop 3607   class class class wbr 4015   _I cid 4300   `'ccnv 4637   |` cres 4640   o. ccom 4642   Fn wfn 5223   -->wf 5224   -onto->wfo 5226   ` cfv 5228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fo 5234  df-fv 5236

This theorem is referenced by: (None)