Theorem foeqcnvco 5941

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
foeqcnvco	|- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )

Proof of Theorem foeqcnvco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fococnv2 5618	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
2		cnveq 4910	. . . . . 6 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	coeq2d 4898	. . . . 5 |- ( F = G -> ( F o. `' F ) = ( F o. `' G ) )
4	3	eqeq1d 2240	. . . 4 |- ( F = G -> ( ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
5	1, 4	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( F = G -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
7		fofn 5570	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F Fn A )
8	7	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F Fn A )
9		fofn 5570	. . . . 5 |- ( G : A -onto-> B -> G Fn A )
10	9	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> G Fn A )
11	9	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> G Fn A )
12		fnopfv 5785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
13	11, 12	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
14	9	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
15	14	adantll 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
16		funfvex 5665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. _V )
17	16	funfni 5439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
18		vex 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
19		brcnvg 4917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` x ) e. _V /\ x e. _V ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> x G ( G ` x ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> x G ( G ` x ) ) )
21		df-br 4094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x G ( G ` x ) <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
22	20, 21	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G ) )
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G ) )
24	13, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) `' G x )
25	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> F Fn A )
26		fnopfv 5785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
27	25, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
28		df-br 4094	. . . . . . . . . . 11 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
29	27, 28	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
30		breq2 4097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( G ` x ) `' G y <-> ( G ` x ) `' G x ) )
31		breq1 4096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( y F ( F ` x ) <-> x F ( F ` x ) ) )
32	30, 31	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) <-> ( ( G ` x ) `' G x /\ x F ( F ` x ) ) ) )
33	18, 32	spcev 2902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` x ) `' G x /\ x F ( F ` x ) ) -> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) )
34	24, 29, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) )
35	15, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
36	7	anim1i 340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( F Fn A /\ x e. A ) )
37	36	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F Fn A /\ x e. A ) )
38		funfvex 5665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
39	38	funfni 5439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
41		brcog 4903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` x ) e. _V /\ ( F ` x ) e. _V ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) ) )
43	34, 42	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) )
44	43	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) )
45		breq 4095	. . . . . . . 8 |- ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) ) )
46	45	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) ) )
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) )
48		fof 5568	. . . . . . . . . 10 |- ( G : A -onto-> B -> G : A --> B )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> G : A --> B )
50	49	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. B )
51		fof 5568	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> F : A --> B )
53	52	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
54		resieq 5029	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` x ) e. B /\ ( F ` x ) e. B ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
55	50, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
56	55	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
57	47, 56	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
58	57	eqcomd 2237	. . . 4 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
59	8, 10, 58	eqfnfvd 5756	. . 3 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F = G )
60	59	ex 115	. 2 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) -> F = G ) )
61	6, 60	impbid 129	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   <.cop 3676   class class class wbr 4093   _I cid 4391   `'ccnv 4730   |` cres 4733   o. ccom 4735   Fn wfn 5328   -->wf 5329   -onto->wfo 5331   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fo 5339  df-fv 5341

This theorem is referenced by: (None)