Theorem foeqcnvco 5969

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
foeqcnvco	|- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )

Proof of Theorem foeqcnvco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fococnv2 5645	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
2		cnveq 4934	. . . . . 6 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	coeq2d 4922	. . . . 5 |- ( F = G -> ( F o. `' F ) = ( F o. `' G ) )
4	3	eqeq1d 2243	. . . 4 |- ( F = G -> ( ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
5	1, 4	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( F = G -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
7		fofn 5597	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F Fn A )
8	7	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F Fn A )
9		fofn 5597	. . . . 5 |- ( G : A -onto-> B -> G Fn A )
10	9	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> G Fn A )
11	9	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> G Fn A )
12		fnopfv 5812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
13	11, 12	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
14	9	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
15	14	adantll 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
16		funfvex 5692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. _V )
17	16	funfni 5463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
18		vex 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
19		brcnvg 4941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` x ) e. _V /\ x e. _V ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> x G ( G ` x ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> x G ( G ` x ) ) )
21		df-br 4115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x G ( G ` x ) <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
22	20, 21	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G ) )
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G ) )
24	13, 23	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) `' G x )
25	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> F Fn A )
26		fnopfv 5812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
27	25, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
28		df-br 4115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
29	27, 28	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
30		breq2 4118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( G ` x ) `' G y <-> ( G ` x ) `' G x ) )
31		breq1 4117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( y F ( F ` x ) <-> x F ( F ` x ) ) )
32	30, 31	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) <-> ( ( G ` x ) `' G x /\ x F ( F ` x ) ) ) )
33	18, 32	spcev 2914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` x ) `' G x /\ x F ( F ` x ) ) -> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) )
34	24, 29, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) )
35	15, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
36	7	anim1i 340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( F Fn A /\ x e. A ) )
37	36	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F Fn A /\ x e. A ) )
38		funfvex 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
39	38	funfni 5463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
41		brcog 4927	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` x ) e. _V /\ ( F ` x ) e. _V ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) ) )
43	34, 42	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) )
44	43	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) )
45		breq 4116	. . . . . . . 8 |- ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) ) )
46	45	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) ) )
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) )
48		fof 5595	. . . . . . . . . 10 |- ( G : A -onto-> B -> G : A --> B )
49	48	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> G : A --> B )
50	49	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. B )
51		fof 5595	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> F : A --> B )
53	52	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
54		resieq 5053	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` x ) e. B /\ ( F ` x ) e. B ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
55	50, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
56	55	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
57	47, 56	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
58	57	eqcomd 2240	. . . 4 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
59	8, 10, 58	eqfnfvd 5783	. . 3 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F = G )
60	59	ex 115	. 2 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) -> F = G ) )
61	6, 60	impbid 129	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   <.cop 3697   class class class wbr 4114   _I cid 4414   `'ccnv 4753   |` cres 4756   o. ccom 4758   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -onto->wfo 5355   ` cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fo 5363  df-fv 5365

This theorem is referenced by: (None)