Theorem foeqcnvco 5769

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the converse. EDITORIAL: Is there a relation-algebraic proof of this? (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
foeqcnvco	|- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )

Proof of Theorem foeqcnvco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fococnv2 5468	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
2		cnveq 4785	. . . . . 6 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	coeq2d 4773	. . . . 5 |- ( F = G -> ( F o. `' F ) = ( F o. `' G ) )
4	3	eqeq1d 2179	. . . 4 |- ( F = G -> ( ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
5	1, 4	syl5ibcom 154	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( F = G -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
6	5	adantr 274	. 2 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
7		fofn 5422	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F Fn A )
8	7	ad2antrr 485	. . . 4 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F Fn A )
9		fofn 5422	. . . . 5 |- ( G : A -onto-> B -> G Fn A )
10	9	ad2antlr 486	. . . 4 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> G Fn A )
11	9	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> G Fn A )
12		fnopfv 5626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
13	11, 12	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
14	9	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
15	14	adantll 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G Fn A /\ x e. A ) )
16		funfvex 5513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. _V )
17	16	funfni 5298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
18		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
19		brcnvg 4792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` x ) e. _V /\ x e. _V ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> x G ( G ` x ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> x G ( G ` x ) ) )
21		df-br 3990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x G ( G ` x ) <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G )
22	20, 21	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G Fn A /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G ) )
23	15, 22	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) `' G x <-> <. x , ( G ` x ) >. e. G ) )
24	13, 23	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) `' G x )
25	7	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> F Fn A )
26		fnopfv 5626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
27	25, 26	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
28		df-br 3990	. . . . . . . . . . 11 |- ( x F ( F ` x ) <-> <. x , ( F ` x ) >. e. F )
29	27, 28	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> x F ( F ` x ) )
30		breq2 3993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( G ` x ) `' G y <-> ( G ` x ) `' G x ) )
31		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( y F ( F ` x ) <-> x F ( F ` x ) ) )
32	30, 31	anbi12d 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) <-> ( ( G ` x ) `' G x /\ x F ( F ` x ) ) ) )
33	18, 32	spcev 2825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` x ) `' G x /\ x F ( F ` x ) ) -> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) )
34	24, 29, 33	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) )
35	15, 17	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. _V )
36	7	anim1i 338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( F Fn A /\ x e. A ) )
37	36	adantlr 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F Fn A /\ x e. A ) )
38		funfvex 5513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
39	38	funfni 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
41		brcog 4778	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` x ) e. _V /\ ( F ` x ) e. _V ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> E. y ( ( G ` x ) `' G y /\ y F ( F ` x ) ) ) )
43	34, 42	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) )
44	43	adantlr 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) )
45		breq 3991	. . . . . . . 8 |- ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) ) )
46	45	ad2antlr 486	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( F o. `' G ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) ) )
47	44, 46	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) )
48		fof 5420	. . . . . . . . . 10 |- ( G : A -onto-> B -> G : A --> B )
49	48	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> G : A --> B )
50	49	ffvelrnda 5631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. B )
51		fof 5420	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
52	51	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> F : A --> B )
53	52	ffvelrnda 5631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
54		resieq 4901	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` x ) e. B /\ ( F ` x ) e. B ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
55	50, 53, 54	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
56	55	adantlr 474	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) ( _I |` B ) ( F ` x ) <-> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
57	47, 56	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
58	57	eqcomd 2176	. . . 4 |- ( ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
59	8, 10, 58	eqfnfvd 5596	. . 3 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F = G )
60	59	ex 114	. 2 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) -> F = G ) )
61	6, 60	impbid 128	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ G : A -onto-> B ) -> ( F = G <-> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   <.cop 3586   class class class wbr 3989   _I cid 4273   `'ccnv 4610   |` cres 4613   o. ccom 4615   Fn wfn 5193   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fo 5204  df-fv 5206

This theorem is referenced by: (None)