Theorem fsuppmptdm 7301

Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 7-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptdm.f	|- F = ( x e. A |-> Y )
fsuppmptdm.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fsuppmptdm.y	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y e. V )
fsuppmptdm.z	|- ( ph -> Z e. W )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptdm	|- ( ph -> F finSupp Z )

Distinct variable groups:   x, A   x, V   ph, x

Allowed substitution hints:   F( x)   W( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem fsuppmptdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmptdm.y	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y e. V )
2		fsuppmptdm.f	. . 3 |- F = ( x e. A |-> Y )
3	1, 2	fmptd 5865	. 2 |- ( ph -> F : A --> V )
4		fsuppmptdm.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
5		fsuppmptdm.z	. 2 |- ( ph -> Z e. W )
6	3, 4, 5	fdmfifsupp 7300	1 |- ( ph -> F finSupp Z )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-fsuppfi 7293

This theorem is used by: (None)