Theorem fdmfifsupp 7300

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfifsupp.1	|- ( ph -> F : D --> R )
fdmfifsupp.2	|- ( ph -> D e. Fin )
fdmfifsupp.3	|- ( ph -> Z e. V )

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	|- ( ph -> F finSupp Z )

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfifsupp.1	. . 3 |- ( ph -> F : D --> R )
2		fdmfifsupp.2	. . 3 |- ( ph -> D e. Fin )
3	1, 2	fexd 5951	. 2 |- ( ph -> F e. _V )
4		fdmfifsupp.3	. 2 |- ( ph -> Z e. V )
5	1	ffund 5540	. 2 |- ( ph -> Fun F )
6	1	fdmd 5543	. . 3 |- ( ph -> dom F = D )
7	6, 2	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ph -> dom F e. Fin )
8		ssidd 3269	. 2 |- ( ph -> dom F C_ dom F )
9		difid 3594	. . . . . 6 |- ( dom F \ dom F ) = (/)
10	9	imaeq2i 5127	. . . . 5 |- ( F " ( dom F \ dom F ) ) = ( F " (/) )
11		ima0 5149	. . . . 5 |- ( F " (/) ) = (/)
12	10, 11	eqtri 2259	. . . 4 |- ( F " ( dom F \ dom F ) ) = (/)
13		0ss 3561	. . . 4 |- (/) C_ { Z }
14	12, 13	eqsstri 3280	. . 3 |- ( F " ( dom F \ dom F ) ) C_ { Z }
15	14	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( F " ( dom F \ dom F ) ) C_ { Z } )
16	3, 4, 5, 7, 8, 15	isfsuppfid 7297	1 |- ( ph -> F finSupp Z )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   "cima 4779   -->wf 5376   Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-fsuppfi 7293

This theorem is used by:  fsuppmptdm  7301  fndmfifsupp  7302