Theorem fmptd 5618

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
fmptd.2	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fmptd	|- ( ph -> F : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptd.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2	1	ralrimiva 2530	. 2 |- ( ph -> A. x e. A B e. C )
3		fmptd.2	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	fmpt 5614	. 2 |- ( A. x e. A B e. C <-> F : A --> C )
5	2, 4	sylib 121	1 |- ( ph -> F : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   |-> cmpt 4025   -->wf 5163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175

This theorem is referenced by:  fmpttd  5619  fmptco  5630  fliftrel  5737  off  6038  caofinvl  6048  fdiagfn  6630  mapxpen  6786  xpmapenlem  6787  updjudhf  7013  enumctlemm  7048  fodjuf  7071  cc2lem  7169  caucvgsrlemf  7695  caucvgsrlemofff  7700  axcaucvglemf  7799  monoord2  10358  iseqf1olemqf  10372  cvg1nlemf  10865  resqrexlemsqa  10906  climcvg1nlem  11228  summodclem2a  11260  crth  12076  eulerthlem1  12079  ctiunctlemf  12139  txcnmpt  12633  txlm  12639  mulc1cncf  12936  addccncf  12946  negcncf  12948  nnsf  13538  nninfself  13547