Theorem fmptd 5757

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
fmptd.2	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fmptd	|- ( ph -> F : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptd.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2	1	ralrimiva 2581	. 2 |- ( ph -> A. x e. A B e. C )
3		fmptd.2	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	fmpt 5753	. 2 |- ( A. x e. A B e. C <-> F : A --> C )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( ph -> F : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   |-> cmpt 4121   -->wf 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  fmpttd  5758  fmptco  5769  fliftrel  5884  off  6194  caofinvl  6207  fdiagfn  6802  mapxpen  6970  xpmapenlem  6971  updjudhf  7207  enumctlemm  7242  fodjuf  7273  nninfwlporlem  7301  nninfwlpoimlemg  7303  cc2lem  7413  caucvgsrlemf  7940  caucvgsrlemofff  7945  axcaucvglemf  8044  monoord2  10668  iseqf1olemqf  10686  cvg1nlemf  11409  resqrexlemsqa  11450  climcvg1nlem  11775  summodclem2a  11807  crth  12661  eulerthlem1  12664  4sqlem11  12839  ctiunctlemf  12924  mulgnngsum  13578  conjghm  13727  conjnmz  13730  qusghm  13733  gsumfzmptfidmadd  13790  mulgghm2  14485  psr1clfi  14565  txcnmpt  14860  txlm  14866  mulc1cncf  15176  addccncf  15187  negcncf  15192  lgsfcl2  15598  lgseisenlem1  15662  nnsf  16144  nninfself  16152