Theorem fmptd 5736

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
fmptd.2	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fmptd	|- ( ph -> F : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptd.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2	1	ralrimiva 2579	. 2 |- ( ph -> A. x e. A B e. C )
3		fmptd.2	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	fmpt 5732	. 2 |- ( A. x e. A B e. C <-> F : A --> C )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( ph -> F : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   |-> cmpt 4106   -->wf 5268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280

This theorem is referenced by:  fmpttd  5737  fmptco  5748  fliftrel  5863  off  6173  caofinvl  6186  fdiagfn  6781  mapxpen  6947  xpmapenlem  6948  updjudhf  7183  enumctlemm  7218  fodjuf  7249  nninfwlporlem  7277  nninfwlpoimlemg  7279  cc2lem  7380  caucvgsrlemf  7907  caucvgsrlemofff  7912  axcaucvglemf  8011  monoord2  10633  iseqf1olemqf  10651  cvg1nlemf  11327  resqrexlemsqa  11368  climcvg1nlem  11693  summodclem2a  11725  crth  12579  eulerthlem1  12582  4sqlem11  12757  ctiunctlemf  12842  mulgnngsum  13496  conjghm  13645  conjnmz  13648  qusghm  13651  gsumfzmptfidmadd  13708  mulgghm2  14403  psr1clfi  14483  txcnmpt  14778  txlm  14784  mulc1cncf  15094  addccncf  15105  negcncf  15110  lgsfcl2  15516  lgseisenlem1  15580  nnsf  15979  nninfself  15987