Theorem fmptd 5833

Description: Domain and codomain of the mapping operation; deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
fmptd.2	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fmptd	|- ( ph -> F : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptd.1	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
2	1	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ph -> A. x e. A B e. C )
3		fmptd.2	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	fmpt 5829	. 2 |- ( A. x e. A B e. C <-> F : A --> C )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( ph -> F : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   |-> cmpt 4173   -->wf 5350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362

This theorem is referenced by:  fmpttd  5834  fmptco  5845  fliftrel  5967  off  6281  caofinvl  6294  fdiagfn  6929  xpmapenlem  7104  updjudhf  7372  enumctlemm  7407  fodjuf  7438  nninfwlporlem  7466  nninfwlpoimlemg  7468  cc2lem  7582  caucvgsrlemf  8109  caucvgsrlemofff  8114  axcaucvglemf  8213  monoord2  10852  iseqf1olemqf  10870  cvg1nlemf  11672  resqrexlemsqa  11713  climcvg1nlem  12038  summodclem2a  12071  crth  12925  eulerthlem1  12928  4sqlem11  13103  ctiunctlemf  13206  mulgnngsum  13861  conjghm  14010  conjnmz  14013  qusghm  14016  gsumfzmptfidmadd  14073  mulgghm2  14773  psr1clfi  14860  txcnmpt  15155  txlm  15161  mulc1cncf  15471  addccncf  15482  negcncf  15487  lgsfcl2  15896  lgseisenlem1  15960  nnsf  16800  nninfself  16808