Theorem funisfsupp 7244

Description: The property of a function to be finitely supported (in relation to a given zero). (Contributed by AV, 23-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funisfsupp	|- ( ( Fun R /\ R e. V /\ Z e. W ) -> ( R finSupp Z <-> ( R supp Z ) e. Fin ) )

Proof of Theorem funisfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfsupp 7242	. . 3 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R finSupp Z <-> ( Fun R /\ ( R supp Z ) e. Fin ) ) )
2	1	3adant1 1042	. 2 |- ( ( Fun R /\ R e. V /\ Z e. W ) -> ( R finSupp Z <-> ( Fun R /\ ( R supp Z ) e. Fin ) ) )
3		ibar 301	. . . 4 |- ( Fun R -> ( ( R supp Z ) e. Fin <-> ( Fun R /\ ( R supp Z ) e. Fin ) ) )
4	3	bicomd 141	. . 3 |- ( Fun R -> ( ( Fun R /\ ( R supp Z ) e. Fin ) <-> ( R supp Z ) e. Fin ) )
5	4	3ad2ant1 1045	. 2 |- ( ( Fun R /\ R e. V /\ Z e. W ) -> ( ( Fun R /\ ( R supp Z ) e. Fin ) <-> ( R supp Z ) e. Fin ) )
6	2, 5	bitrd 188	1 |- ( ( Fun R /\ R e. V /\ Z e. W ) -> ( R finSupp Z <-> ( R supp Z ) e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   Fun wfun 5346  (class class class)co 6050   supp csupp 6435   Fincfn 6975   finSupp cfsupp 7238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-fsupp 7239

This theorem is referenced by:  suppeqfsuppbi  7248  0fsupp  7251  ffsuppbi  7253  fcdmnn0fsuppg  9551