Theorem fcdmnn0fsuppg 9630

Description: Version of fcdmnn0fsupp 9628 avoiding ax-coll 4248 by assuming F is a set rather than its domain I. (Contributed by SN, 5-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0fsuppg	|- ( ( F e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )

Proof of Theorem fcdmnn0fsuppg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 5539	. . 3 |- ( F : I --> NN0 -> Fun F )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( F e. V /\ F : I --> NN0 ) -> F e. V )
3		c0ex 8327	. . . 4 |- 0 e. _V
4		funisfsupp 7297	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ F e. V /\ 0 e. _V ) -> ( F finSupp 0 <-> ( F supp 0 ) e. Fin ) )
5	3, 4	mp3an3 1367	. . 3 |- ( ( Fun F /\ F e. V ) -> ( F finSupp 0 <-> ( F supp 0 ) e. Fin ) )
6	1, 2, 5	syl2an2 602	. 2 |- ( ( F e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F finSupp 0 <-> ( F supp 0 ) e. Fin ) )
7		fcdmnn0suppg 9629	. . 3 |- ( ( F e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )
8	7	eleq1d 2307	. 2 |- ( ( F e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( ( F supp 0 ) e. Fin <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )
9	6, 8	bitrd 188	1 |- ( ( F e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F finSupp 0 <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4131   `'ccnv 4775   "cima 4779   Fun wfun 5374   -->wf 5376  (class class class)co 6088   supp csupp 6479   Fincfn 7027   finSupp cfsupp 7291   0cc0 8186   NNcn 9314   NN0cn0 9575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-supp 6480  df-fsupp 7292  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-inn 9315  df-n0 9576

This theorem is used by:  psrbagfsupp  15167