Theorem ffsuppbi 7290

Description: Two ways of saying that a function with known codomain is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ffsuppbi	|- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( F : I --> S -> ( F finSupp Z <-> ( `' F " ( S \ { Z } ) ) e. Fin ) ) )

Proof of Theorem ffsuppbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 5531	. . . . 5 |- ( F : I --> S -> Fun F )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ F : I --> S ) -> Fun F )
3		fex 5937	. . . . . . 7 |- ( ( F : I --> S /\ I e. V ) -> F e. _V )
4	3	expcom 116	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( F : I --> S -> F e. _V ) )
5	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( F : I --> S -> F e. _V ) )
6	5	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ F : I --> S ) -> F e. _V )
7		simplr 533	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ F : I --> S ) -> Z e. W )
8		funisfsupp 7281	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ F e. _V /\ Z e. W ) -> ( F finSupp Z <-> ( F supp Z ) e. Fin ) )
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ F : I --> S ) -> ( F finSupp Z <-> ( F supp Z ) e. Fin ) )
10		fsuppeq 6477	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( F : I --> S -> ( F supp Z ) = ( `' F " ( S \ { Z } ) ) ) )
11	10	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ F : I --> S ) -> ( F supp Z ) = ( `' F " ( S \ { Z } ) ) )
12	11	eleq1d 2307	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ F : I --> S ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin <-> ( `' F " ( S \ { Z } ) ) e. Fin ) )
13	9, 12	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( I e. V /\ Z e. W ) /\ F : I --> S ) -> ( F finSupp Z <-> ( `' F " ( S \ { Z } ) ) e. Fin ) )
14	13	ex 115	1 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> ( F : I --> S -> ( F finSupp Z <-> ( `' F " ( S \ { Z } ) ) e. Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   {csn 3705   class class class wbr 4125   `'ccnv 4768   "cima 4772   Fun wfun 5366   -->wf 5368  (class class class)co 6075   supp csupp 6465   Fincfn 7012   finSupp cfsupp 7275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-supp 6466  df-fsupp 7276

This theorem is referenced by:  fcdmnn0fsupp  9595