Theorem suppeqfsuppbi 7220

Description: If two functions have the same support, one function is finitely supported iff the other one is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppeqfsuppbi	|- ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) -> ( ( F supp Z ) = ( G supp Z ) -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) ) )

Proof of Theorem suppeqfsuppbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 7212	. . . . 5 |- Rel finSupp
2	1	brrelex2i 4776	. . . 4 |- ( F finSupp Z -> Z e. _V )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( F finSupp Z -> Z e. _V ) )
4	1	brrelex2i 4776	. . . 4 |- ( G finSupp Z -> Z e. _V )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( G finSupp Z -> Z e. _V ) )
6		simprlr 540	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) -> Fun F )
7		simprll 539	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) -> F e. U )
8		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) -> Z e. _V )
9		funisfsupp 7216	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ F e. U /\ Z e. _V ) -> ( F finSupp Z <-> ( F supp Z ) e. Fin ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) -> ( F finSupp Z <-> ( F supp Z ) e. Fin ) )
11	10	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( F finSupp Z <-> ( F supp Z ) e. Fin ) )
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. V /\ Fun G ) -> Fun G )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ Z e. _V ) -> Fun G )
14		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. V /\ Fun G ) -> G e. V )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ Z e. _V ) -> G e. V )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ Z e. _V ) -> Z e. _V )
17		funisfsupp 7216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun G /\ G e. V /\ Z e. _V ) -> ( G finSupp Z <-> ( G supp Z ) e. Fin ) )
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ Z e. _V ) -> ( G finSupp Z <-> ( G supp Z ) e. Fin ) )
19	18	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ Fun G ) -> ( Z e. _V -> ( G finSupp Z <-> ( G supp Z ) e. Fin ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) -> ( Z e. _V -> ( G finSupp Z <-> ( G supp Z ) e. Fin ) ) )
21	20	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) -> ( G finSupp Z <-> ( G supp Z ) e. Fin ) )
22		eleq1 2294	. . . . . . . 8 |- ( ( F supp Z ) = ( G supp Z ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin <-> ( G supp Z ) e. Fin ) )
23	22	bicomd 141	. . . . . . 7 |- ( ( F supp Z ) = ( G supp Z ) -> ( ( G supp Z ) e. Fin <-> ( F supp Z ) e. Fin ) )
24	21, 23	sylan9bb 462	. . . . . 6 |- ( ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( G finSupp Z <-> ( F supp Z ) e. Fin ) )
25	11, 24	bitr4d 191	. . . . 5 |- ( ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) )
26	25	expl 378	. . . 4 |- ( Z e. _V -> ( ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) ) )
27	26	com12 30	. . 3 |- ( ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( Z e. _V -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) ) )
28	3, 5, 27	pm5.21ndd 713	. 2 |- ( ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) )
29	28	ex 115	1 |- ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) -> ( ( F supp Z ) = ( G supp Z ) -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   Fun wfun 5327  (class class class)co 6028   supp csupp 6413   Fincfn 6952   finSupp cfsupp 7210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-fsupp 7211

This theorem is referenced by: (None)