Theorem 0fsupp 7264

Description: The empty set is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0fsupp	|- ( Z e. V -> (/) finSupp Z )

Proof of Theorem 0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supp0 6451	. . 3 |- ( Z e. V -> ( (/) supp Z ) = (/) )
2		0fi 7154	. . 3 |- (/) e. Fin
3	1, 2	eqeltrdi 2325	. 2 |- ( Z e. V -> ( (/) supp Z ) e. Fin )
4		fun0 5419	. . 3 |- Fun (/)
5		0ex 4242	. . 3 |- (/) e. _V
6		funisfsupp 7257	. . 3 |- ( ( Fun (/) /\ (/) e. _V /\ Z e. V ) -> ( (/) finSupp Z <-> ( (/) supp Z ) e. Fin ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1364	. 2 |- ( Z e. V -> ( (/) finSupp Z <-> ( (/) supp Z ) e. Fin ) )
8	3, 7	mpbird 167	1 |- ( Z e. V -> (/) finSupp Z )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   class class class wbr 4114   Fun wfun 5351  (class class class)co 6058   supp csupp 6448   Fincfn 6988   finSupp cfsupp 7251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-supp 6449  df-en 6989  df-fin 6991  df-fsupp 7252

This theorem is referenced by: (None)