Theorem 0fsupp 7305

Description: The empty set is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0fsupp	|- ( Z e. V -> (/) finSupp Z )

Proof of Theorem 0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4262	. . 3 |- (/) e. _V
2	1	a1i 9	. 2 |- ( Z e. V -> (/) e. _V )
3		id 19	. 2 |- ( Z e. V -> Z e. V )
4		fun0 5442	. . 3 |- Fun (/)
5	4	a1i 9	. 2 |- ( Z e. V -> Fun (/) )
6		0fi 7194	. . 3 |- (/) e. Fin
7	6	a1i 9	. 2 |- ( Z e. V -> (/) e. Fin )
8		0ss 3561	. . 3 |- (/) C_ dom (/)
9	8	a1i 9	. 2 |- ( Z e. V -> (/) C_ dom (/) )
10		0ima 5150	. . . 4 |- ( (/) " ( dom (/) \ (/) ) ) = (/)
11		0ss 3561	. . . 4 |- (/) C_ { Z }
12	10, 11	eqsstri 3280	. . 3 |- ( (/) " ( dom (/) \ (/) ) ) C_ { Z }
13	12	a1i 9	. 2 |- ( Z e. V -> ( (/) " ( dom (/) \ (/) ) ) C_ { Z } )
14	2, 3, 5, 7, 9, 13	isfsuppfid 7297	1 |- ( Z e. V -> (/) finSupp Z )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   "cima 4779   Fun wfun 5374   Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293

This theorem is used by: (None)