Theorem 0fsupp 7292

Description: The empty set is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0fsupp	|- ( Z e. V -> (/) finSupp Z )

Proof of Theorem 0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supp0 6472	. . 3 |- ( Z e. V -> ( (/) supp Z ) = (/) )
2		0fi 7182	. . 3 |- (/) e. Fin
3	1, 2	eqeltrdi 2329	. 2 |- ( Z e. V -> ( (/) supp Z ) e. Fin )
4		fun0 5437	. . 3 |- Fun (/)
5		0ex 4258	. . 3 |- (/) e. _V
6		funisfsupp 7285	. . 3 |- ( ( Fun (/) /\ (/) e. _V /\ Z e. V ) -> ( (/) finSupp Z <-> ( (/) supp Z ) e. Fin ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1368	. 2 |- ( Z e. V -> ( (/) finSupp Z <-> ( (/) supp Z ) e. Fin ) )
8	3, 7	mpbird 167	1 |- ( Z e. V -> (/) finSupp Z )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   class class class wbr 4128   Fun wfun 5369  (class class class)co 6079   supp csupp 6469   Fincfn 7016   finSupp cfsupp 7279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-supp 6470  df-en 7017  df-fin 7019  df-fsupp 7280

This theorem is used by: (None)