Theorem iunopab 4316

Description: Move indexed union inside an ordered-pair abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iunopab	|- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Distinct variable groups:   x, A   y, A   y, z   x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( z)

Proof of Theorem iunopab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4292	. . . . 5 |- ( w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	rexbii 2504	. . . 4 |- ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3		rexcom4 2786	. . . . 5 |- ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
4		rexcom4 2786	. . . . . . 7 |- ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		r19.42v 2654	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
6	5	exbii 1619	. . . . . . 7 |- ( E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
7	4, 6	bitri 184	. . . . . 6 |- ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
8	7	exbii 1619	. . . . 5 |- ( E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
9	3, 8	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
10	2, 9	bitri 184	. . 3 |- ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
11	10	abbii 2312	. 2 |- { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
12		df-iun 3918	. 2 |- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } }
13		df-opab 4095	. 2 |- { <. x , y >. | E. z e. A ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4i 2227	1 |- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   <.cop 3625   U_ciun 3916   {copab 4093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-iun 3918  df-opab 4095

This theorem is referenced by: (None)