Theorem iunopab 4266

Description: Move indexed union inside an ordered-pair abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iunopab	|- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Distinct variable groups:   x, A   y, A   y, z   x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( z)

Proof of Theorem iunopab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4243	. . . . 5 |- ( w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	rexbii 2477	. . . 4 |- ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3		rexcom4 2753	. . . . 5 |- ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
4		rexcom4 2753	. . . . . . 7 |- ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		r19.42v 2627	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
6	5	exbii 1598	. . . . . . 7 |- ( E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
7	4, 6	bitri 183	. . . . . 6 |- ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
8	7	exbii 1598	. . . . 5 |- ( E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
9	3, 8	bitri 183	. . . 4 |- ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
10	2, 9	bitri 183	. . 3 |- ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
11	10	abbii 2286	. 2 |- { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
12		df-iun 3875	. 2 |- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } }
13		df-opab 4051	. 2 |- { <. x , y >. | E. z e. A ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4i 2201	1 |- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   <.cop 3586   U_ciun 3873   {copab 4049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-iun 3875  df-opab 4051

This theorem is referenced by: (None)