Theorem iunopab 4259

Description: Move indexed union inside an ordered-pair abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iunopab	|- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Distinct variable groups:   x, A   y, A   y, z   x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( z)

Proof of Theorem iunopab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4236	. . . . 5 |- ( w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	rexbii 2473	. . . 4 |- ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3		rexcom4 2749	. . . . 5 |- ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
4		rexcom4 2749	. . . . . . 7 |- ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		r19.42v 2623	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
6	5	exbii 1593	. . . . . . 7 |- ( E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
7	4, 6	bitri 183	. . . . . 6 |- ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
8	7	exbii 1593	. . . . 5 |- ( E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
9	3, 8	bitri 183	. . . 4 |- ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
10	2, 9	bitri 183	. . 3 |- ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
11	10	abbii 2282	. 2 |- { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
12		df-iun 3868	. 2 |- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } }
13		df-opab 4044	. 2 |- { <. x , y >. | E. z e. A ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4i 2196	1 |- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2445   <.cop 3579   U_ciun 3866   {copab 4042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-iun 3868  df-opab 4044

This theorem is referenced by: (None)