Theorem iunopab 4099

Description: Move indexed union inside an ordered-pair abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iunopab	|- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Distinct variable groups:   x, A   y, A   y, z   x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( z)

Proof of Theorem iunopab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4076	. . . . 5 |- ( w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	rexbii 2385	. . . 4 |- ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3		rexcom4 2642	. . . . 5 |- ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
4		rexcom4 2642	. . . . . . 7 |- ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		r19.42v 2524	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
6	5	exbii 1541	. . . . . . 7 |- ( E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
7	4, 6	bitri 182	. . . . . 6 |- ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
8	7	exbii 1541	. . . . 5 |- ( E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
9	3, 8	bitri 182	. . . 4 |- ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
10	2, 9	bitri 182	. . 3 |- ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
11	10	abbii 2203	. 2 |- { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
12		df-iun 3727	. 2 |- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } }
13		df-opab 3892	. 2 |- { <. x , y >. | E. z e. A ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
14	11, 12, 13	3eqtr4i 2118	1 |- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Syntax hints:   /\ wa 102   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   {cab 2074   E.wrex 2360   <.cop 3444   U_ciun 3725   {copab 3890

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-iun 3727  df-opab 3892

This theorem is referenced by: (None)