Theorem mpt0 5486

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	|- ( x e. (/) |-> A ) = (/)

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 3611	. . 3 |- A. x e. (/) A e. _V
2		eqid 2232	. . . 4 |- ( x e. (/) |-> A ) = ( x e. (/) |-> A )
3	2	fnmpt 5485	. . 3 |- ( A. x e. (/) A e. _V -> ( x e. (/) |-> A ) Fn (/) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( x e. (/) |-> A ) Fn (/)
5		fn0 5478	. 2 |- ( ( x e. (/) |-> A ) Fn (/) <-> ( x e. (/) |-> A ) = (/) )
6	4, 5	mpbi 145	1 |- ( x e. (/) |-> A ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2813   (/)c0 3508   |-> cmpt 4171   Fn wfn 5347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-fun 5354  df-fn 5355

This theorem is referenced by:  fmptpr  5876  swrd00g  11341  swrdlend  11350  mulgnn0gsum  13845  gsumfzfsumlem0  14734  gfsumz  16869