Theorem mpt0 5450

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	|- ( x e. (/) |-> A ) = (/)

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 3593	. . 3 |- A. x e. (/) A e. _V
2		eqid 2229	. . . 4 |- ( x e. (/) |-> A ) = ( x e. (/) |-> A )
3	2	fnmpt 5449	. . 3 |- ( A. x e. (/) A e. _V -> ( x e. (/) |-> A ) Fn (/) )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( x e. (/) |-> A ) Fn (/)
5		fn0 5442	. 2 |- ( ( x e. (/) |-> A ) Fn (/) <-> ( x e. (/) |-> A ) = (/) )
6	4, 5	mpbi 145	1 |- ( x e. (/) |-> A ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   |-> cmpt 4144   Fn wfn 5312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-fun 5319  df-fn 5320

This theorem is referenced by:  fmptpr  5830  swrd00g  11176  swrdlend  11185  mulgnn0gsum  13660  gsumfzfsumlem0  14544