Theorem fnmpti 5346

Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnmpti.1	|- B e. _V
fnmpti.2	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpti	|- F Fn A

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpti.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	rgenw 2532	. 2 |- A. x e. A B e. _V
3		fnmpti.2	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5343	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	mpbi 145	1 |- F Fn A

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2739   |-> cmpt 4066   Fn wfn 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-fun 5220  df-fn 5221

This theorem is referenced by:  dmmpti  5347  fconst  5413  eufnfv  5749  idref  5759  fo1st  6160  fo2nd  6161  reldm  6189  oafnex  6447  fnoei  6455  oeiexg  6456  mapsnf1o2  6698  1arith  12367  slotslfn  12490  topnfn  12698  fn0g  12799  fnmgp  13137  fncld  13683  xmetunirn  13943