Theorem fnmpti 5489

Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnmpti.1	|- B e. _V
fnmpti.2	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpti	|- F Fn A

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpti.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	rgenw 2599	. 2 |- A. x e. A B e. _V
3		fnmpti.2	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5486	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	mpbi 145	1 |- F Fn A

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   |-> cmpt 4173   Fn wfn 5349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-fun 5356  df-fn 5357

This theorem is referenced by:  dmmpti  5490  fconst  5565  eufnfv  5919  idref  5931  fo1st  6353  fo2nd  6354  reldm  6382  oafnex  6679  fnoei  6687  oeiexg  6688  mapsnf1o2  6933  nninfctlemfo  12740  1arith  13069  slotslfn  13255  topnfn  13474  fn0g  13605  fnmgp  14083  rlmfn  14618  blfn  14716  fncld  14980  xmetunirn  15240  nnnninfex  16817  nninfnfiinf  16818