Theorem fnmpti 5515

Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnmpti.1	|- B e. _V
fnmpti.2	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpti	|- F Fn A

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpti.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	rgenw 2605	. 2 |- A. x e. A B e. _V
3		fnmpti.2	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5512	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	mpbi 145	1 |- F Fn A

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4193   Fn wfn 5375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-fun 5382  df-fn 5383

This theorem is used by:  dmmpti  5516  fconst  5591  eufnfv  5952  idref  5965  fo1st  6395  fo2nd  6396  reldm  6424  oafnex  6721  fnoei  6729  oeiexg  6730  mapsnf1o2  6982  nninfctlemfo  12842  1arith  13175  slotslfn  13436  topnfn  13657  fn0g  13754  fnmgp  14326  rlmfn  14899  blfn  14997  fncld  15324  xmetunirn  15584  nnnninfex  17271  nninfnfiinf  17272