Theorem fmptpr 5875

Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptpr.1	|- ( ph -> A e. V )
fmptpr.2	|- ( ph -> B e. W )
fmptpr.3	|- ( ph -> C e. X )
fmptpr.4	|- ( ph -> D e. Y )
fmptpr.5	|- ( ( ph /\ x = A ) -> E = C )
fmptpr.6	|- ( ( ph /\ x = B ) -> E = D )

Assertion

Ref	Expression
fmptpr	|- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( x e. { A , B } |-> E ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, D   ph, x

Allowed substitution hints:   E( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)

Proof of Theorem fmptpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3695	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
3		mpt0 5485	. . . . . 6 |- ( x e. (/) |-> E ) = (/)
4	3	uneq1i 3368	. . . . 5 |- ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = ( (/) u. { <. A , C >. } )
5		uncom 3362	. . . . 5 |- ( (/) u. { <. A , C >. } ) = ( { <. A , C >. } u. (/) )
6		un0 3541	. . . . 5 |- ( { <. A , C >. } u. (/) ) = { <. A , C >. }
7	4, 5, 6	3eqtri 2257	. . . 4 |- ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = { <. A , C >. }
8		fmptpr.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
9		elex 2824	. . . . . 6 |- ( A e. V -> A e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
11		fmptpr.3	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. X )
12		elex 2824	. . . . . 6 |- ( C e. X -> C e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> C e. _V )
14		uncom 3362	. . . . . . 7 |- ( { A } u. (/) ) = ( (/) u. { A } )
15		un0 3541	. . . . . . 7 |- ( { A } u. (/) ) = { A }
16	14, 15	eqtr3i 2255	. . . . . 6 |- ( (/) u. { A } ) = { A }
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( (/) u. { A } ) = { A } )
18		fmptpr.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> E = C )
19	10, 13, 17, 18	fmptapd 5874	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = ( x e. { A } |-> E ) )
20	7, 19	eqtr3id 2279	. . 3 |- ( ph -> { <. A , C >. } = ( x e. { A } |-> E ) )
21	20	uneq1d 3371	. 2 |- ( ph -> ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ( x e. { A } |-> E ) u. { <. B , D >. } ) )
22		fmptpr.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
23		elex 2824	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
25		fmptpr.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. Y )
26		elex 2824	. . . 4 |- ( D e. Y -> D e. _V )
27	25, 26	syl 14	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
28		df-pr 3695	. . . . 5 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
29	28	eqcomi 2236	. . . 4 |- ( { A } u. { B } ) = { A , B }
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( { A } u. { B } ) = { A , B } )
31		fmptpr.6	. . 3 |- ( ( ph /\ x = B ) -> E = D )
32	24, 27, 30, 31	fmptapd 5874	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. { A } |-> E ) u. { <. B , D >. } ) = ( x e. { A , B } |-> E ) )
33	2, 21, 32	3eqtrd 2269	1 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( x e. { A , B } |-> E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   u. cun 3208   (/)c0 3507   {csn 3688   {cpr 3689   <.cop 3691   |-> cmpt 4170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358

This theorem is referenced by: (None)