Theorem fmptpr 5677

Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptpr.1	|- ( ph -> A e. V )
fmptpr.2	|- ( ph -> B e. W )
fmptpr.3	|- ( ph -> C e. X )
fmptpr.4	|- ( ph -> D e. Y )
fmptpr.5	|- ( ( ph /\ x = A ) -> E = C )
fmptpr.6	|- ( ( ph /\ x = B ) -> E = D )

Assertion

Ref	Expression
fmptpr	|- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( x e. { A , B } |-> E ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, D   ph, x

Allowed substitution hints:   E( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)

Proof of Theorem fmptpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3583	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
3		mpt0 5315	. . . . . 6 |- ( x e. (/) |-> E ) = (/)
4	3	uneq1i 3272	. . . . 5 |- ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = ( (/) u. { <. A , C >. } )
5		uncom 3266	. . . . 5 |- ( (/) u. { <. A , C >. } ) = ( { <. A , C >. } u. (/) )
6		un0 3442	. . . . 5 |- ( { <. A , C >. } u. (/) ) = { <. A , C >. }
7	4, 5, 6	3eqtri 2190	. . . 4 |- ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = { <. A , C >. }
8		fmptpr.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
9		elex 2737	. . . . . 6 |- ( A e. V -> A e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
11		fmptpr.3	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. X )
12		elex 2737	. . . . . 6 |- ( C e. X -> C e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> C e. _V )
14		uncom 3266	. . . . . . 7 |- ( { A } u. (/) ) = ( (/) u. { A } )
15		un0 3442	. . . . . . 7 |- ( { A } u. (/) ) = { A }
16	14, 15	eqtr3i 2188	. . . . . 6 |- ( (/) u. { A } ) = { A }
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( (/) u. { A } ) = { A } )
18		fmptpr.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> E = C )
19	10, 13, 17, 18	fmptapd 5676	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = ( x e. { A } |-> E ) )
20	7, 19	eqtr3id 2213	. . 3 |- ( ph -> { <. A , C >. } = ( x e. { A } |-> E ) )
21	20	uneq1d 3275	. 2 |- ( ph -> ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ( x e. { A } |-> E ) u. { <. B , D >. } ) )
22		fmptpr.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
23		elex 2737	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
25		fmptpr.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. Y )
26		elex 2737	. . . 4 |- ( D e. Y -> D e. _V )
27	25, 26	syl 14	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
28		df-pr 3583	. . . . 5 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
29	28	eqcomi 2169	. . . 4 |- ( { A } u. { B } ) = { A , B }
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( { A } u. { B } ) = { A , B } )
31		fmptpr.6	. . 3 |- ( ( ph /\ x = B ) -> E = D )
32	24, 27, 30, 31	fmptapd 5676	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. { A } |-> E ) u. { <. B , D >. } ) = ( x e. { A , B } |-> E ) )
33	2, 21, 32	3eqtrd 2202	1 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( x e. { A , B } |-> E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577   <.cop 3579   |-> cmpt 4043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195

This theorem is referenced by: (None)