Theorem fmptpr 5845

Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptpr.1	|- ( ph -> A e. V )
fmptpr.2	|- ( ph -> B e. W )
fmptpr.3	|- ( ph -> C e. X )
fmptpr.4	|- ( ph -> D e. Y )
fmptpr.5	|- ( ( ph /\ x = A ) -> E = C )
fmptpr.6	|- ( ( ph /\ x = B ) -> E = D )

Assertion

Ref	Expression
fmptpr	|- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( x e. { A , B } |-> E ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, D   ph, x

Allowed substitution hints:   E( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)

Proof of Theorem fmptpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3676	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
3		mpt0 5460	. . . . . 6 |- ( x e. (/) |-> E ) = (/)
4	3	uneq1i 3357	. . . . 5 |- ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = ( (/) u. { <. A , C >. } )
5		uncom 3351	. . . . 5 |- ( (/) u. { <. A , C >. } ) = ( { <. A , C >. } u. (/) )
6		un0 3528	. . . . 5 |- ( { <. A , C >. } u. (/) ) = { <. A , C >. }
7	4, 5, 6	3eqtri 2256	. . . 4 |- ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = { <. A , C >. }
8		fmptpr.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
9		elex 2814	. . . . . 6 |- ( A e. V -> A e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
11		fmptpr.3	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. X )
12		elex 2814	. . . . . 6 |- ( C e. X -> C e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> C e. _V )
14		uncom 3351	. . . . . . 7 |- ( { A } u. (/) ) = ( (/) u. { A } )
15		un0 3528	. . . . . . 7 |- ( { A } u. (/) ) = { A }
16	14, 15	eqtr3i 2254	. . . . . 6 |- ( (/) u. { A } ) = { A }
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( (/) u. { A } ) = { A } )
18		fmptpr.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> E = C )
19	10, 13, 17, 18	fmptapd 5844	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = ( x e. { A } |-> E ) )
20	7, 19	eqtr3id 2278	. . 3 |- ( ph -> { <. A , C >. } = ( x e. { A } |-> E ) )
21	20	uneq1d 3360	. 2 |- ( ph -> ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ( x e. { A } |-> E ) u. { <. B , D >. } ) )
22		fmptpr.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
23		elex 2814	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
25		fmptpr.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. Y )
26		elex 2814	. . . 4 |- ( D e. Y -> D e. _V )
27	25, 26	syl 14	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
28		df-pr 3676	. . . . 5 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
29	28	eqcomi 2235	. . . 4 |- ( { A } u. { B } ) = { A , B }
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( { A } u. { B } ) = { A , B } )
31		fmptpr.6	. . 3 |- ( ( ph /\ x = B ) -> E = D )
32	24, 27, 30, 31	fmptapd 5844	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. { A } |-> E ) u. { <. B , D >. } ) = ( x e. { A , B } |-> E ) )
33	2, 21, 32	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( x e. { A , B } |-> E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198   (/)c0 3494   {csn 3669   {cpr 3670   <.cop 3672   |-> cmpt 4150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333

This theorem is referenced by: (None)