ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptpr Unicode version

Theorem fmptpr 5473
Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
fmptpr.2  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
fmptpr.3  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
fmptpr.4  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
fmptpr.5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  E  =  C )
fmptpr.6  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  E  =  D )
Assertion
Ref Expression
fmptpr  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( x  e.  { A ,  B }  |->  E ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, D    ph, x
Allowed substitution hints:    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3448 . . 3  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
21a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) )
3 mpt0 5127 . . . . . 6  |-  ( x  e.  (/)  |->  E )  =  (/)
43uneq1i 3148 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  E )  u.  { <. A ,  C >. } )  =  ( (/)  u.  { <. A ,  C >. } )
5 uncom 3142 . . . . 5  |-  ( (/)  u. 
{ <. A ,  C >. } )  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  (/) )
6 un0 3314 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  C >. }  u.  (/) )  =  { <. A ,  C >. }
74, 5, 63eqtri 2112 . . . 4  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  E )  u.  { <. A ,  C >. } )  =  { <. A ,  C >. }
8 fmptpr.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 elex 2630 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
108, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
11 fmptpr.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
12 elex 2630 . . . . . 6  |-  ( C  e.  X  ->  C  e.  _V )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
14 uncom 3142 . . . . . . 7  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  ( (/)  u.  { A } )
15 un0 3314 . . . . . . 7  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  { A }
1614, 15eqtr3i 2110 . . . . . 6  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  { A }
1716a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  u.  { A } )  =  { A } )
18 fmptpr.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  E  =  C )
1910, 13, 17, 18fmptapd 5472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  (/)  |->  E )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  =  ( x  e.  { A }  |->  E ) )
207, 19syl5eqr 2134 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  E ) )
2120uneq1d 3151 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ( x  e.  { A }  |->  E )  u. 
{ <. B ,  D >. } ) )
22 fmptpr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
23 elex 2630 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  _V )
2422, 23syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
25 fmptpr.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
26 elex 2630 . . . 4  |-  ( D  e.  Y  ->  D  e.  _V )
2725, 26syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
28 df-pr 3448 . . . . 5  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2928eqcomi 2092 . . . 4  |-  ( { A }  u.  { B } )  =  { A ,  B }
3029a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  u.  { B } )  =  { A ,  B } )
31 fmptpr.6 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  E  =  D )
3224, 27, 30, 31fmptapd 5472 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ A }  |->  E )  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( x  e. 
{ A ,  B }  |->  E ) )
332, 21, 323eqtrd 2124 1  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( x  e.  { A ,  B }  |->  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    u. cun 2995   (/)c0 3284   {csn 3441   {cpr 3442   <.cop 3444    |-> cmpt 3891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator