ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptpr Unicode version

Theorem fmptpr 5686
Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
fmptpr.2  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
fmptpr.3  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
fmptpr.4  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
fmptpr.5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  E  =  C )
fmptpr.6  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  E  =  D )
Assertion
Ref Expression
fmptpr  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( x  e.  { A ,  B }  |->  E ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, D    ph, x
Allowed substitution hints:    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3588 . . 3  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
21a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) )
3 mpt0 5323 . . . . . 6  |-  ( x  e.  (/)  |->  E )  =  (/)
43uneq1i 3277 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  E )  u.  { <. A ,  C >. } )  =  ( (/)  u.  { <. A ,  C >. } )
5 uncom 3271 . . . . 5  |-  ( (/)  u. 
{ <. A ,  C >. } )  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  (/) )
6 un0 3447 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  C >. }  u.  (/) )  =  { <. A ,  C >. }
74, 5, 63eqtri 2195 . . . 4  |-  ( ( x  e.  (/)  |->  E )  u.  { <. A ,  C >. } )  =  { <. A ,  C >. }
8 fmptpr.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 elex 2741 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
108, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
11 fmptpr.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
12 elex 2741 . . . . . 6  |-  ( C  e.  X  ->  C  e.  _V )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
14 uncom 3271 . . . . . . 7  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  ( (/)  u.  { A } )
15 un0 3447 . . . . . . 7  |-  ( { A }  u.  (/) )  =  { A }
1614, 15eqtr3i 2193 . . . . . 6  |-  ( (/)  u. 
{ A } )  =  { A }
1716a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (/)  u.  { A } )  =  { A } )
18 fmptpr.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  E  =  C )
1910, 13, 17, 18fmptapd 5685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  (/)  |->  E )  u. 
{ <. A ,  C >. } )  =  ( x  e.  { A }  |->  E ) )
207, 19eqtr3id 2217 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  E ) )
2120uneq1d 3280 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ( x  e.  { A }  |->  E )  u. 
{ <. B ,  D >. } ) )
22 fmptpr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
23 elex 2741 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  _V )
2422, 23syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
25 fmptpr.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
26 elex 2741 . . . 4  |-  ( D  e.  Y  ->  D  e.  _V )
2725, 26syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
28 df-pr 3588 . . . . 5  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2928eqcomi 2174 . . . 4  |-  ( { A }  u.  { B } )  =  { A ,  B }
3029a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  u.  { B } )  =  { A ,  B } )
31 fmptpr.6 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  E  =  D )
3224, 27, 30, 31fmptapd 5685 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ A }  |->  E )  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( x  e. 
{ A ,  B }  |->  E ) )
332, 21, 323eqtrd 2207 1  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( x  e.  { A ,  B }  |->  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   _Vcvv 2730    u. cun 3119   (/)c0 3414   {csn 3581   {cpr 3582   <.cop 3584    |-> cmpt 4048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator