Theorem fmptpr 5898

Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptpr.1	|- ( ph -> A e. V )
fmptpr.2	|- ( ph -> B e. W )
fmptpr.3	|- ( ph -> C e. X )
fmptpr.4	|- ( ph -> D e. Y )
fmptpr.5	|- ( ( ph /\ x = A ) -> E = C )
fmptpr.6	|- ( ( ph /\ x = B ) -> E = D )

Assertion

Ref	Expression
fmptpr	|- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( x e. { A , B } |-> E ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, D   ph, x

Allowed substitution hints:   E( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)

Proof of Theorem fmptpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3712	. . 3 |- { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) )
3		mpt0 5506	. . . . . 6 |- ( x e. (/) |-> E ) = (/)
4	3	uneq1i 3379	. . . . 5 |- ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = ( (/) u. { <. A , C >. } )
5		uncom 3373	. . . . 5 |- ( (/) u. { <. A , C >. } ) = ( { <. A , C >. } u. (/) )
6		un0 3556	. . . . 5 |- ( { <. A , C >. } u. (/) ) = { <. A , C >. }
7	4, 5, 6	3eqtri 2263	. . . 4 |- ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = { <. A , C >. }
8		fmptpr.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
9		elex 2833	. . . . . 6 |- ( A e. V -> A e. _V )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
11		fmptpr.3	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. X )
12		elex 2833	. . . . . 6 |- ( C e. X -> C e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> C e. _V )
14		uncom 3373	. . . . . . 7 |- ( { A } u. (/) ) = ( (/) u. { A } )
15		un0 3556	. . . . . . 7 |- ( { A } u. (/) ) = { A }
16	14, 15	eqtr3i 2261	. . . . . 6 |- ( (/) u. { A } ) = { A }
17	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( (/) u. { A } ) = { A } )
18		fmptpr.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> E = C )
19	10, 13, 17, 18	fmptapd 5897	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. (/) |-> E ) u. { <. A , C >. } ) = ( x e. { A } |-> E ) )
20	7, 19	eqtr3id 2285	. . 3 |- ( ph -> { <. A , C >. } = ( x e. { A } |-> E ) )
21	20	uneq1d 3382	. 2 |- ( ph -> ( { <. A , C >. } u. { <. B , D >. } ) = ( ( x e. { A } |-> E ) u. { <. B , D >. } ) )
22		fmptpr.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
23		elex 2833	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
24	22, 23	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
25		fmptpr.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. Y )
26		elex 2833	. . . 4 |- ( D e. Y -> D e. _V )
27	25, 26	syl 14	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
28		df-pr 3712	. . . . 5 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
29	28	eqcomi 2242	. . . 4 |- ( { A } u. { B } ) = { A , B }
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( { A } u. { B } ) = { A , B } )
31		fmptpr.6	. . 3 |- ( ( ph /\ x = B ) -> E = D )
32	24, 27, 30, 31	fmptapd 5897	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. { A } |-> E ) u. { <. B , D >. } ) = ( x e. { A , B } |-> E ) )
33	2, 21, 32	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> { <. A , C >. , <. B , D >. } = ( x e. { A , B } |-> E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   (/)c0 3520   {csn 3705   {cpr 3706   <.cop 3708   |-> cmpt 4187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379

This theorem is referenced by: (None)