Theorem fnmpt 5505

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2613	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		mptfng.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5504	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4187   Fn wfn 5367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-fun 5374  df-fn 5375

This theorem is referenced by:  mpt0  5506  fnmptfvd  5804  ralrnmpt  5841  rexrnmpt  5842  fmpt  5849  fmpt2d  5861  f1ocnvd  6282  f1o3d  6288  offval2  6308  ofrfval2  6309  caofinvl  6318  f1od2  6461  frectfr  6661  omfnex  6712  oeiv  6719  mptelixpg  7006  fifo  7304  nnnninfeq  7458  nninfwlporlemd  7502  cc2lem  7622  seqf1og  10936  ccatlen  11341  ccatvalfn  11347  swrdlen  11402  swrdwrdsymbg  11414  swrdswrd  11455  efcvgfsum  12412  quslem  13622  grpinvfng  13826  conjnmz  14059  prdsbas3  14164  prdsbascl  14166  rrgsupp  14547  neif  15165  tgrest  15193  dvrecap  15737  gausslemma2dlem1f1o  16093  fnmptd  16746