Theorem fnmpt 5422

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2788	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2571	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		mptfng.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5421	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   |-> cmpt 4121   Fn wfn 5285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-fun 5292  df-fn 5293

This theorem is referenced by:  mpt0  5423  fnmptfvd  5707  ralrnmpt  5745  rexrnmpt  5746  fmpt  5753  fmpt2d  5765  f1ocnvd  6171  offval2  6197  ofrfval2  6198  caofinvl  6207  f1od2  6344  frectfr  6509  omfnex  6558  oeiv  6565  mptelixpg  6844  fifo  7108  nnnninfeq  7256  nninfwlporlemd  7300  cc2lem  7413  seqf1og  10703  ccatlen  11089  ccatvalfn  11095  swrdlen  11143  swrdwrdsymbg  11155  swrdswrd  11196  efcvgfsum  12093  prdsbas3  13234  prdsbascl  13236  quslem  13271  grpinvfng  13491  conjnmz  13730  neif  14728  tgrest  14756  dvrecap  15300  gausslemma2dlem1f1o  15652  fnmptd  15940