Theorem fnmpt 5484

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2824	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2605	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		mptfng.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5483	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2812   |-> cmpt 4170   Fn wfn 5346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-fun 5353  df-fn 5354

This theorem is referenced by:  mpt0  5485  fnmptfvd  5781  ralrnmpt  5818  rexrnmpt  5819  fmpt  5826  fmpt2d  5838  f1ocnvd  6256  offval2  6281  ofrfval2  6282  caofinvl  6291  f1od2  6430  frectfr  6630  omfnex  6681  oeiv  6688  mptelixpg  6968  fifo  7266  nnnninfeq  7418  nninfwlporlemd  7462  cc2lem  7579  seqf1og  10882  ccatlen  11279  ccatvalfn  11285  swrdlen  11340  swrdwrdsymbg  11352  swrdswrd  11393  efcvgfsum  12349  prdsbas3  13492  prdsbascl  13494  quslem  13529  grpinvfng  13749  conjnmz  13988  rrgsupp  14403  neif  14998  tgrest  15026  dvrecap  15570  gausslemma2dlem1f1o  15925  fnmptd  16568