Theorem fnmpt 5466

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2815	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2596	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		mptfng.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5465	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   |-> cmpt 4155   Fn wfn 5328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-fun 5335  df-fn 5336

This theorem is referenced by:  mpt0  5467  fnmptfvd  5760  ralrnmpt  5797  rexrnmpt  5798  fmpt  5805  fmpt2d  5817  f1ocnvd  6235  offval2  6260  ofrfval2  6261  caofinvl  6270  f1od2  6409  frectfr  6609  omfnex  6660  oeiv  6667  mptelixpg  6946  fifo  7239  nnnninfeq  7387  nninfwlporlemd  7431  cc2lem  7545  seqf1og  10846  ccatlen  11238  ccatvalfn  11244  swrdlen  11299  swrdwrdsymbg  11311  swrdswrd  11352  efcvgfsum  12308  prdsbas3  13450  prdsbascl  13452  quslem  13487  grpinvfng  13707  conjnmz  13946  rrgsupp  14361  neif  14952  tgrest  14980  dvrecap  15524  gausslemma2dlem1f1o  15879  fnmptd  16522