Theorem fnmpt 5450

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2593	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		mptfng.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5449	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   |-> cmpt 4145   Fn wfn 5313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-fun 5320  df-fn 5321

This theorem is referenced by:  mpt0  5451  fnmptfvd  5739  ralrnmpt  5777  rexrnmpt  5778  fmpt  5785  fmpt2d  5797  f1ocnvd  6208  offval2  6234  ofrfval2  6235  caofinvl  6244  f1od2  6381  frectfr  6546  omfnex  6595  oeiv  6602  mptelixpg  6881  fifo  7147  nnnninfeq  7295  nninfwlporlemd  7339  cc2lem  7452  seqf1og  10743  ccatlen  11130  ccatvalfn  11136  swrdlen  11184  swrdwrdsymbg  11196  swrdswrd  11237  efcvgfsum  12178  prdsbas3  13320  prdsbascl  13322  quslem  13357  grpinvfng  13577  conjnmz  13816  neif  14815  tgrest  14843  dvrecap  15387  gausslemma2dlem1f1o  15739  fnmptd  16168