Theorem fnmpt 5404

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2783	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2569	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		mptfng.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5403	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   |-> cmpt 4106   Fn wfn 5267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-fun 5274  df-fn 5275

This theorem is referenced by:  mpt0  5405  fnmptfvd  5686  ralrnmpt  5724  rexrnmpt  5725  fmpt  5732  fmpt2d  5744  f1ocnvd  6150  offval2  6176  ofrfval2  6177  caofinvl  6186  f1od2  6323  frectfr  6488  omfnex  6537  oeiv  6544  mptelixpg  6823  fifo  7084  nnnninfeq  7232  nninfwlporlemd  7276  cc2lem  7380  seqf1og  10668  ccatlen  11054  ccatvalfn  11060  swrdlen  11108  swrdwrdsymbg  11120  efcvgfsum  12011  prdsbas3  13152  prdsbascl  13154  quslem  13189  grpinvfng  13409  conjnmz  13648  neif  14646  tgrest  14674  dvrecap  15218  gausslemma2dlem1f1o  15570  fnmptd  15777