Theorem fnmpt 5412

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2785	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2570	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		mptfng.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5411	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   _Vcvv 2773   |-> cmpt 4113   Fn wfn 5275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-fun 5282  df-fn 5283

This theorem is referenced by:  mpt0  5413  fnmptfvd  5697  ralrnmpt  5735  rexrnmpt  5736  fmpt  5743  fmpt2d  5755  f1ocnvd  6161  offval2  6187  ofrfval2  6188  caofinvl  6197  f1od2  6334  frectfr  6499  omfnex  6548  oeiv  6555  mptelixpg  6834  fifo  7097  nnnninfeq  7245  nninfwlporlemd  7289  cc2lem  7398  seqf1og  10688  ccatlen  11074  ccatvalfn  11080  swrdlen  11128  swrdwrdsymbg  11140  swrdswrd  11181  efcvgfsum  12053  prdsbas3  13194  prdsbascl  13196  quslem  13231  grpinvfng  13451  conjnmz  13690  neif  14688  tgrest  14716  dvrecap  15260  gausslemma2dlem1f1o  15612  fnmptd  15879