Theorem fnmpt 5257

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2700	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2498	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		mptfng.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5256	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	sylib 121	1 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   |-> cmpt 3997   Fn wfn 5126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-fun 5133  df-fn 5134

This theorem is referenced by:  mpt0  5258  ralrnmpt  5570  rexrnmpt  5571  fmpt  5578  fmpt2d  5590  f1ocnvd  5980  offval2  6005  ofrfval2  6006  caofinvl  6012  f1od2  6140  frectfr  6305  omfnex  6353  oeiv  6360  mptelixpg  6636  fifo  6876  cc2lem  7098  efcvgfsum  11410  neif  12349  tgrest  12377  dvrecap  12885  nninfalllemn  13377