Theorem fnmpt 5487

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2607	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		mptfng.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5486	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   |-> cmpt 4173   Fn wfn 5349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-fun 5356  df-fn 5357

This theorem is referenced by:  mpt0  5488  fnmptfvd  5784  ralrnmpt  5821  rexrnmpt  5822  fmpt  5829  fmpt2d  5841  f1ocnvd  6259  offval2  6284  ofrfval2  6285  caofinvl  6294  f1od2  6433  frectfr  6633  omfnex  6684  oeiv  6691  mptelixpg  6971  fifo  7269  nnnninfeq  7421  nninfwlporlemd  7465  cc2lem  7582  seqf1og  10887  ccatlen  11287  ccatvalfn  11293  swrdlen  11348  swrdwrdsymbg  11360  swrdswrd  11401  efcvgfsum  12357  prdsbas3  13517  prdsbascl  13519  quslem  13554  grpinvfng  13774  conjnmz  14013  rrgsupp  14428  neif  15023  tgrest  15051  dvrecap  15595  gausslemma2dlem1f1o  15950  fnmptd  16593