Theorem fnmpt 5490

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fnmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. . 3 |- ( B e. V -> B e. _V )
2	1	ralimi 2607	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A B e. _V )
3		mptfng.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5489	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	sylib 122	1 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   |-> cmpt 4176   Fn wfn 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-fun 5359  df-fn 5360

This theorem is referenced by:  mpt0  5491  fnmptfvd  5787  ralrnmpt  5824  rexrnmpt  5825  fmpt  5832  fmpt2d  5844  f1ocnvd  6265  f1o3d  6271  offval2  6291  ofrfval2  6292  caofinvl  6301  f1od2  6444  frectfr  6644  omfnex  6695  oeiv  6702  mptelixpg  6982  fifo  7280  nnnninfeq  7432  nninfwlporlemd  7476  cc2lem  7596  seqf1og  10907  ccatlen  11308  ccatvalfn  11314  swrdlen  11369  swrdwrdsymbg  11381  swrdswrd  11422  efcvgfsum  12378  quslem  13588  grpinvfng  13799  conjnmz  14032  prdsbas3  14129  prdsbascl  14131  rrgsupp  14512  neif  15132  tgrest  15160  dvrecap  15704  gausslemma2dlem1f1o  16059  fnmptd  16702