ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt0 GIF version

Theorem mpt0 5357
Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpt0 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0
StepHypRef Expression
1 ral0 3538 . . 3 𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2 eqid 2188 . . . 4 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
32fnmpt 5356 . . 3 (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5 fn0 5349 . 2 ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
64, 5mpbi 145 1 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1363  wcel 2159  wral 2467  Vcvv 2751  c0 3436  cmpt 4078   Fn wfn 5225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-fun 5232  df-fn 5233
This theorem is referenced by:  fmptpr  5723
  Copyright terms: Public domain W3C validator