Theorem mpt0 5154

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 3387	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2089	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 5153	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 7	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 5146	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 144	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360  Vcvv 2620  ∅c0 3287   ↦ cmpt 3905   Fn wfn 5023

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-fun 5030  df-fn 5031

This theorem is referenced by:  fmptpr  5503