ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt0 GIF version

Theorem mpt0 5299
Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpt0 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0
StepHypRef Expression
1 ral0 3496 . . 3 𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2 eqid 2157 . . . 4 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
32fnmpt 5298 . . 3 (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5 fn0 5291 . 2 ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
64, 5mpbi 144 1 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  Vcvv 2712  c0 3395  cmpt 4027   Fn wfn 5167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-fun 5174  df-fn 5175
This theorem is referenced by:  fmptpr  5661
  Copyright terms: Public domain W3C validator