Theorem nnpredlt 4641

Description: The predecessor (see nnpredcl 4640) of a nonzero natural number is less than (see df-iord 4384) that number. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnpredlt	|- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. A )

Proof of Theorem nnpredlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnpredcl 4640	. . . 4 |- ( A e. om -> U. A e. om )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. om )
3		sucidg 4434	. . 3 |- ( U. A e. om -> U. A e. suc U. A )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. suc U. A )
5		nnsucpred 4634	. 2 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> suc U. A = A )
6	4, 5	eleqtrd 2268	1 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   =/= wne 2360   (/)c0 3437   U.cuni 3824   suc csuc 4383   omcom 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-tr 4117  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608

This theorem is referenced by:  nninfisollemne  7158