Theorem nnpredlt 4584

Description: The predecessor (see nnpredcl 4583) of a nonzero natural number is less than (see df-iord 4327) that number. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnpredlt	|- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. A )

Proof of Theorem nnpredlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnpredcl 4583	. . . 4 |- ( A e. om -> U. A e. om )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. om )
3		sucidg 4377	. . 3 |- ( U. A e. om -> U. A e. suc U. A )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. suc U. A )
5		nnsucpred 4577	. 2 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> suc U. A = A )
6	4, 5	eleqtrd 2236	1 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   =/= wne 2327   (/)c0 3394   U.cuni 3773   suc csuc 4326   omcom 4550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-iinf 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774  df-int 3809  df-tr 4064  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551

This theorem is referenced by:  nninfisollemne  7075