Theorem nnpredlt 4728

Description: The predecessor (see nnpredcl 4727) of a nonzero natural number is less than (see df-iord 4469) that number. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnpredlt	|- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. A )

Proof of Theorem nnpredlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnpredcl 4727	. . . 4 |- ( A e. om -> U. A e. om )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. om )
3		sucidg 4519	. . 3 |- ( U. A e. om -> U. A e. suc U. A )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. suc U. A )
5		nnsucpred 4721	. 2 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> suc U. A = A )
6	4, 5	eleqtrd 2310	1 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> U. A e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   =/= wne 2403   (/)c0 3496   U.cuni 3898   suc csuc 4468   omcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-tr 4193  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695

This theorem is referenced by:  nninfisollemne  7390