Theorem nnpredlt 4751

Description: The predecessor (see nnpredcl 4750) of a nonzero natural number is less than (see df-iord 4492) that number. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnpredlt	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem nnpredlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnpredcl 4750	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ 𝐴 ∈ ω)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ ω)
3		sucidg 4542	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ ω → ∪ 𝐴 ∈ suc ∪ 𝐴)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ suc ∪ 𝐴)
5		nnsucpred 4744	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
6	4, 5	eleqtrd 2313	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∅c0 3512  ∪ cuni 3919  suc csuc 4491  ωcom 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-int 3955  df-tr 4214  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718

This theorem is referenced by:  nninfisollemne  7435