Theorem nnpredlt 4608

Description: The predecessor (see nnpredcl 4607) of a nonzero natural number is less than (see df-iord 4351) that number. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnpredlt	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem nnpredlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnpredcl 4607	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ 𝐴 ∈ ω)
2	1	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ ω)
3		sucidg 4401	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ ω → ∪ 𝐴 ∈ suc ∪ 𝐴)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ suc ∪ 𝐴)
5		nnsucpred 4601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
6	4, 5	eleqtrd 2249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∅c0 3414  ∪ cuni 3796  suc csuc 4350  ωcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575

This theorem is referenced by:  nninfisollemne  7107