Theorem nnpredlt 4595

Description: The predecessor (see nnpredcl 4594) of a nonzero natural number is less than (see df-iord 4338) that number. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnpredlt	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem nnpredlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnpredcl 4594	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ 𝐴 ∈ ω)
2	1	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ ω)
3		sucidg 4388	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ ω → ∪ 𝐴 ∈ suc ∪ 𝐴)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ suc ∪ 𝐴)
5		nnsucpred 4588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
6	4, 5	eleqtrd 2243	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2334  ∅c0 3404  ∪ cuni 3783  suc csuc 4337  ωcom 4561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-int 3819  df-tr 4075  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562

This theorem is referenced by:  nninfisollemne  7086