Theorem nnpredlt 4657

Description: The predecessor (see nnpredcl 4656) of a nonzero natural number is less than (see df-iord 4398) that number. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnpredlt	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem nnpredlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnpredcl 4656	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ 𝐴 ∈ ω)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ ω)
3		sucidg 4448	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ ω → ∪ 𝐴 ∈ suc ∪ 𝐴)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ suc ∪ 𝐴)
5		nnsucpred 4650	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
6	4, 5	eleqtrd 2272	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∅c0 3447  ∪ cuni 3836  suc csuc 4397  ωcom 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-tr 4129  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624

This theorem is referenced by:  nninfisollemne  7192