ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfisollemne Unicode version

Theorem nninfisollemne 7075
Description: Lemma for nninfisol 7077. A case where  N is a successor and  N and  X are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfisol.x  |-  ( ph  ->  X  e. )
nninfisol.0  |-  ( ph  ->  ( X `  N
)  =  (/) )
nninfisol.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
nninfisollemne.s  |-  ( ph  ->  N  =/=  (/) )
nninfisollemne.0  |-  ( ph  ->  ( X `  U. N )  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
nninfisollemne  |-  ( ph  -> DECID  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )
Distinct variable group:    i, N
Allowed substitution hints:    ph( i)    X( i)

Proof of Theorem nninfisollemne
StepHypRef Expression
1 nninfisollemne.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  U. N )  =  (/) )
21adantr 274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )  ->  ( X `  U. N )  =  (/) )
3 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )
43fveq1d 5471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )  ->  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 U. N )  =  ( X `  U. N ) )
5 eqid 2157 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
6 eleq1 2220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  U. N  -> 
( i  e.  N  <->  U. N  e.  N ) )
76ifbid 3526 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  U. N  ->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  if ( U. N  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
8 nninfisol.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
9 nnpredcl 4583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  om  ->  U. N  e.  om )
108, 9syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. N  e.  om )
11 nninfisollemne.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  (/) )
12 nnpredlt 4584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  =/=  (/) )  ->  U. N  e.  N )
138, 11, 12syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U. N  e.  N
)
1413iftrued 3512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( U. N  e.  N ,  1o ,  (/) )  =  1o )
15 1lt2o 6390 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  2o
1614, 15eqeltrdi 2248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( U. N  e.  N ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
175, 7, 10, 16fvmptd3 5562 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  U. N )  =  if ( U. N  e.  N ,  1o ,  (/) ) )
1817, 14eqtrd 2190 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `  U. N )  =  1o )
1918adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )  ->  (
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) `
 U. N )  =  1o )
204, 19eqtr3d 2192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )  ->  ( X `  U. N )  =  1o )
21 1n0 6380 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
22 pm13.181 2409 . . . . . 6  |-  ( ( ( X `  U. N )  =  1o 
/\  1o  =/=  (/) )  -> 
( X `  U. N )  =/=  (/) )
2320, 21, 22sylancl 410 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )  ->  ( X `  U. N )  =/=  (/) )
2423neneqd 2348 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )  ->  -.  ( X `  U. N
)  =  (/) )
252, 24pm2.65da 651 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )
2625olcd 724 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X  \/  -.  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X ) )
27 df-dc 821 . 2  |-  (DECID  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X  <->  ( (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X  \/  -.  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X ) )
2826, 27sylibr 133 1  |-  ( ph  -> DECID  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698  DECID wdc 820    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   (/)c0 3394   ifcif 3505   U.cuni 3773    |-> cmpt 4026   omcom 4550   ` cfv 5171   1oc1o 6357   2oc2o 6358  ℕxnninf 7064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-1o 6364  df-2o 6365
This theorem is referenced by:  nninfisol  7077
  Copyright terms: Public domain W3C validator