Theorem nninfisollemne 7329

Description: Lemma for nninfisol 7331. A case where N is a successor and N and X are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	|- ( ph -> X e. ℕ∞ )
nninfisol.0	|- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
nninfisol.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfisollemne.s	|- ( ph -> N =/= (/) )
nninfisollemne.0	|- ( ph -> ( X ` U. N ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfisollemne	|- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Distinct variable group:   i, N

Allowed substitution hints:   ph( i)   X( i)

Proof of Theorem nninfisollemne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisollemne.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` U. N ) = (/) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) = (/) )
3		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
4	3	fveq1d 5641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = ( X ` U. N ) )
5		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
6		eleq1 2294	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = U. N -> ( i e. N <-> U. N e. N ) )
7	6	ifbid 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( i = U. N -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( U. N e. N , 1o , (/) ) )
8		nninfisol.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. om )
9		nnpredcl 4721	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> U. N e. om )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. N e. om )
11		nninfisollemne.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= (/) )
12		nnpredlt 4722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. om /\ N =/= (/) ) -> U. N e. N )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. N e. N )
14	13	iftrued 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( U. N e. N , 1o , (/) ) = 1o )
15		1lt2o 6609	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. 2o
16	14, 15	eqeltrdi 2322	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( U. N e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
17	5, 7, 10, 16	fvmptd3 5740	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = if ( U. N e. N , 1o , (/) ) )
18	17, 14	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = 1o )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = 1o )
20	4, 19	eqtr3d 2266	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) = 1o )
21		1n0 6599	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
22		pm13.181 2484	. . . . . 6 |- ( ( ( X ` U. N ) = 1o /\ 1o =/= (/) ) -> ( X ` U. N ) =/= (/) )
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) =/= (/) )
24	23	neneqd 2423	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> -. ( X ` U. N ) = (/) )
25	2, 24	pm2.65da 667	. . 3 |- ( ph -> -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
26	25	olcd 741	. 2 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
27		df-dc 842	. 2 |- (DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
28	26, 27	sylibr 134	1 |- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   (/)c0 3494   ifcif 3605   U.cuni 3893   |-> cmpt 4150   omcom 4688   ` cfv 5326   1oc1o 6574   2oc2o 6575  ℕ_∞xnninf 7317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-1o 6581  df-2o 6582

This theorem is referenced by:  nninfisol  7331