Theorem nninfisollemne 7095

Description: Lemma for nninfisol 7097. A case where N is a successor and N and X are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	|- ( ph -> X e. ℕ∞ )
nninfisol.0	|- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
nninfisol.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfisollemne.s	|- ( ph -> N =/= (/) )
nninfisollemne.0	|- ( ph -> ( X ` U. N ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfisollemne	|- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Distinct variable group:   i, N

Allowed substitution hints:   ph( i)   X( i)

Proof of Theorem nninfisollemne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisollemne.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` U. N ) = (/) )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) = (/) )
3		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
4	3	fveq1d 5488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = ( X ` U. N ) )
5		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
6		eleq1 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = U. N -> ( i e. N <-> U. N e. N ) )
7	6	ifbid 3541	. . . . . . . . . 10 |- ( i = U. N -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( U. N e. N , 1o , (/) ) )
8		nninfisol.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. om )
9		nnpredcl 4600	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> U. N e. om )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. N e. om )
11		nninfisollemne.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= (/) )
12		nnpredlt 4601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. om /\ N =/= (/) ) -> U. N e. N )
13	8, 11, 12	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. N e. N )
14	13	iftrued 3527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( U. N e. N , 1o , (/) ) = 1o )
15		1lt2o 6410	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. 2o
16	14, 15	eqeltrdi 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( U. N e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
17	5, 7, 10, 16	fvmptd3 5579	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = if ( U. N e. N , 1o , (/) ) )
18	17, 14	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = 1o )
19	18	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = 1o )
20	4, 19	eqtr3d 2200	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) = 1o )
21		1n0 6400	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
22		pm13.181 2418	. . . . . 6 |- ( ( ( X ` U. N ) = 1o /\ 1o =/= (/) ) -> ( X ` U. N ) =/= (/) )
23	20, 21, 22	sylancl 410	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) =/= (/) )
24	23	neneqd 2357	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> -. ( X ` U. N ) = (/) )
25	2, 24	pm2.65da 651	. . 3 |- ( ph -> -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
26	25	olcd 724	. 2 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
27		df-dc 825	. 2 |- (DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
28	26, 27	sylibr 133	1 |- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   (/)c0 3409   ifcif 3520   U.cuni 3789   |-> cmpt 4043   omcom 4567   ` cfv 5188   1oc1o 6377   2oc2o 6378  ℕ_∞xnninf 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-1o 6384  df-2o 6385

This theorem is referenced by:  nninfisol  7097