Theorem nninfisollemne 7471

Description: Lemma for nninfisol 7473. A case where N is a successor and N and X are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	|- ( ph -> X e. ℕ∞ )
nninfisol.0	|- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
nninfisol.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfisollemne.s	|- ( ph -> N =/= (/) )
nninfisollemne.0	|- ( ph -> ( X ` U. N ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfisollemne	|- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Distinct variable group:   i, N

Allowed substitution hints:   ph( i)   X( i)

Proof of Theorem nninfisollemne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisollemne.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` U. N ) = (/) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) = (/) )
3		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
4	3	fveq1d 5697	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = ( X ` U. N ) )
5		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
6		eleq1 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = U. N -> ( i e. N <-> U. N e. N ) )
7	6	ifbid 3662	. . . . . . . . . 10 |- ( i = U. N -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( U. N e. N , 1o , (/) ) )
8		nninfisol.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. om )
9		nnpredcl 4770	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> U. N e. om )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. N e. om )
11		nninfisollemne.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= (/) )
12		nnpredlt 4771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. om /\ N =/= (/) ) -> U. N e. N )
13	8, 11, 12	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. N e. N )
14	13	iftrued 3647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( U. N e. N , 1o , (/) ) = 1o )
15		1lt2o 6715	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. 2o
16	14, 15	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( U. N e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
17	5, 7, 10, 16	fvmptd3 5799	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = if ( U. N e. N , 1o , (/) ) )
18	17, 14	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = 1o )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = 1o )
20	4, 19	eqtr3d 2273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) = 1o )
21		1n0 6705	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
22		pm13.181 2502	. . . . . 6 |- ( ( ( X ` U. N ) = 1o /\ 1o =/= (/) ) -> ( X ` U. N ) =/= (/) )
23	20, 21, 22	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) =/= (/) )
24	23	neneqd 2441	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> -. ( X ` U. N ) = (/) )
25	2, 24	pm2.65da 671	. . 3 |- ( ph -> -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
26	25	olcd 746	. 2 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
27		df-dc 847	. 2 |- (DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
28	26, 27	sylibr 134	1 |- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   (/)c0 3520   ifcif 3638   U.cuni 3935   |-> cmpt 4192   omcom 4737   ` cfv 5377   1oc1o 6680   2oc2o 6681  ℕ_∞xnninf 7459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-1o 6687  df-2o 6688

This theorem is used by:  nninfisol  7473