Theorem nninfisollemne 7129

Description: Lemma for nninfisol 7131. A case where N is a successor and N and X are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	|- ( ph -> X e. ℕ∞ )
nninfisol.0	|- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
nninfisol.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfisollemne.s	|- ( ph -> N =/= (/) )
nninfisollemne.0	|- ( ph -> ( X ` U. N ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfisollemne	|- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Distinct variable group:   i, N

Allowed substitution hints:   ph( i)   X( i)

Proof of Theorem nninfisollemne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisollemne.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` U. N ) = (/) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) = (/) )
3		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
4	3	fveq1d 5518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = ( X ` U. N ) )
5		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
6		eleq1 2240	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = U. N -> ( i e. N <-> U. N e. N ) )
7	6	ifbid 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( i = U. N -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( U. N e. N , 1o , (/) ) )
8		nninfisol.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. om )
9		nnpredcl 4623	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> U. N e. om )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. N e. om )
11		nninfisollemne.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= (/) )
12		nnpredlt 4624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. om /\ N =/= (/) ) -> U. N e. N )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. N e. N )
14	13	iftrued 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( U. N e. N , 1o , (/) ) = 1o )
15		1lt2o 6443	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. 2o
16	14, 15	eqeltrdi 2268	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( U. N e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
17	5, 7, 10, 16	fvmptd3 5610	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = if ( U. N e. N , 1o , (/) ) )
18	17, 14	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = 1o )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = 1o )
20	4, 19	eqtr3d 2212	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) = 1o )
21		1n0 6433	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
22		pm13.181 2429	. . . . . 6 |- ( ( ( X ` U. N ) = 1o /\ 1o =/= (/) ) -> ( X ` U. N ) =/= (/) )
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) =/= (/) )
24	23	neneqd 2368	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> -. ( X ` U. N ) = (/) )
25	2, 24	pm2.65da 661	. . 3 |- ( ph -> -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
26	25	olcd 734	. 2 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
27		df-dc 835	. 2 |- (DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
28	26, 27	sylibr 134	1 |- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   (/)c0 3423   ifcif 3535   U.cuni 3810   |-> cmpt 4065   omcom 4590   ` cfv 5217   1oc1o 6410   2oc2o 6411  ℕ_∞xnninf 7118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-1o 6417  df-2o 6418

This theorem is referenced by:  nninfisol  7131