Theorem nninfisollemne 7422

Description: Lemma for nninfisol 7424. A case where N is a successor and N and X are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	|- ( ph -> X e. ℕ∞ )
nninfisol.0	|- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
nninfisol.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfisollemne.s	|- ( ph -> N =/= (/) )
nninfisollemne.0	|- ( ph -> ( X ` U. N ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfisollemne	|- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Distinct variable group:   i, N

Allowed substitution hints:   ph( i)   X( i)

Proof of Theorem nninfisollemne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisollemne.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` U. N ) = (/) )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) = (/) )
3		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
4	3	fveq1d 5672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = ( X ` U. N ) )
5		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) )
6		eleq1 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = U. N -> ( i e. N <-> U. N e. N ) )
7	6	ifbid 3644	. . . . . . . . . 10 |- ( i = U. N -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( U. N e. N , 1o , (/) ) )
8		nninfisol.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. om )
9		nnpredcl 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> U. N e. om )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. N e. om )
11		nninfisollemne.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= (/) )
12		nnpredlt 4746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. om /\ N =/= (/) ) -> U. N e. N )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U. N e. N )
14	13	iftrued 3629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( U. N e. N , 1o , (/) ) = 1o )
15		1lt2o 6675	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. 2o
16	14, 15	eqeltrdi 2323	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( U. N e. N , 1o , (/) ) e. 2o )
17	5, 7, 10, 16	fvmptd3 5771	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = if ( U. N e. N , 1o , (/) ) )
18	17, 14	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = 1o )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) ` U. N ) = 1o )
20	4, 19	eqtr3d 2267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) = 1o )
21		1n0 6665	. . . . . 6 |- 1o =/= (/)
22		pm13.181 2494	. . . . . 6 |- ( ( ( X ` U. N ) = 1o /\ 1o =/= (/) ) -> ( X ` U. N ) =/= (/) )
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> ( X ` U. N ) =/= (/) )
24	23	neneqd 2433	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) -> -. ( X ` U. N ) = (/) )
25	2, 24	pm2.65da 667	. . 3 |- ( ph -> -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
26	25	olcd 742	. 2 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
27		df-dc 843	. 2 |- (DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
28	26, 27	sylibr 134	1 |- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   (/)c0 3508   ifcif 3620   U.cuni 3914   |-> cmpt 4171   omcom 4712   ` cfv 5352   1oc1o 6640   2oc2o 6641  ℕ_∞xnninf 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-1o 6647  df-2o 6648

This theorem is referenced by:  nninfisol  7424